1、考研数学一（线性方程组）历年真题试卷汇编 1 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2011 年试题，一)设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是 4 阶矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0)是方程组 Ac=0 的一个基础解系，则 A * x=0 的基础解系可为( )（分数：2.00）A. 1 , 3B. 1 , 2C. 1 , 2 ， 3D. 2 , 3 , 43.(2003 年试题，二)设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，
2、其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.4.(2002 年试题，二)设有三张不同的平面，其方程分别为 a i1 x+a i2 y+a i3 z=b i ，i=1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题
3、(总题数：2，分数：4.00)5.(2000 年试题，一)已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_6.(1997 年试题，一)设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：36.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_8.(2004 年试题，三)设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_(2012 年试题，三)已知 （分数：4.00）(1).计算行列式A；（分数：2.00）_(2).当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解（分数：2.00）_(2010 年试题，20)设 （分数：4.00）(1).求 ，；（分数：2.00）_(2).
4、求 Ax=b 的通解（分数：2.00）_(2009 年试题。20)设 （分数：4.00）(1).求满足 A 2 = 3 ，A 2 3 = 1 的所有向量 2 ， 3 ；（分数：2.00）_(2).对(I)中的任意向量 2 ， 3 ，证明 1 ， 2 ， 3 ，线性无关（分数：2.00）_(2008 年试题,21)设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：6.00）(1).证明行列式A=(n+1)a n ；（分数：2.00）_(2).a 为何值，方程组有唯一解?求 x 1 ；（分数：2.00）_(3).a 为何值，方程组有无穷多解?求通解（分数：2.00）_(2006 年试题，20)已知非齐
5、次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 rA=2；（分数：2.00）_(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：2.00）_9.(2002 年试题,九)已知 4 阶方阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4维列向量，其中 2 , 3 , 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：2.00）_10.(1998 年试题，十二)已知线性方程组 (I) 的一个基础解系为(b 11 ，b 12 ，b 1,2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2,2n
6、 ) T ，(b n1 ,b n2 ，b n,2n ) T 试写出线性方程组 () （分数：2.00）_11.(2001 年试题，九)设 1 ， 2 s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， 3 =t 1 1 +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数，试问t 1 ，t 2 满足什么关系时， 1 ， 2 ， s ，也为 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_12.(2007 年试题，21)设线性方程组 （分数：2.00）_13.(2005 年试题，21)已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a,b
7、，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_14.(2003 试题，十)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0；l 2 ：bx+2cy+3a=0；l 3 ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_考研数学一（线性方程组）历年真题试卷汇编 1 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2011 年试题，一)设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是 4 阶矩阵，A
8、 * 为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0)是方程组 Ac=0 的一个基础解系，则 A * x=0 的基础解系可为( )（分数：2.00）A. 1 , 3B. 1 , 2C. 1 , 2 ， 3D. 2 , 3 , 4 解析：解析：因为 Ax=0 基础解系含一个线性无关的解向量，所以 rA=3，于是 r(A * )=1，故 A * x=0 基础解系含 3 个线性无关的解向量，又 A * A=AE=0 且 rA=3，所以 A 的列向量组中含 A * x=0 的基础解系，因为(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的基础解系，所以 1 + 3 =0，故 1 , 2 , 4 或 2 , 3 ,
9、 4 线性无关，显然 2 , 3 , 4 为 A * x=0 的一个基础解系，故选 D3.(2003 年试题，二)设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：分析一，不难排除掉，因为从系数矩阵的秩的大小关系，得不出它们的解的关系，而，的成立是因线性齐
10、次方程组的解空间的维数与系数矩阵的秩的关系而得以保证的设 Ax=0 的一个基础解系为 1 ， 2 r ，而 Bx=0 的一个基础解系为 1 2 s ，则 r=nrA，s=n 一 rB，若 Ax=0 的解全是 Ax=0 的解，则 1 ， r 可由 1 2 S 线性表示，即 rs，从而 rBrA，成立；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r=s，因而有 rA=rB，综上，选 B 齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件是 A，B 的行向量组等价4.(2002 年试题，二)设有三张不同的平面，其方程分别为 a i1 x+a i2 y+a i3 z=b i ，i=1，2，3，它们所组成
11、的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题设，记系数矩阵、增广矩阵分别为二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.(2000 年试题，一)已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：将原方程组增广矩阵化为阶梯形为 ）解析：6.(1997 年试题，一)设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由于曰为三阶非零矩阵，且 AB=0，设 B=( 1 ， 2 ， 3 )，其中 i =(i=1，2，3)是列向量，且不全为 0，因此 AB=0 必有非零解，所以A=0，即 ）解
12、析：三、解答题(总题数：13，分数：36.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：8.(2004 年试题，三)设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对系数矩阵 A 进行初等行变换可得 )解析：解析：矩阵 A 的行列式A可以用特征值之积得到，即 因为矩阵 B 的特征值为 故而矩阵 A 的特征值为 a，a，a，a+ 从而行列式(2012 年试题，三)已知 （分数：4.00）(1).计算行列式A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答
13、案：设矩阵 A 的增广矩阵为 。则 要使方程组 Ax= 有无穷多解，必须有1 一 a 4 =0 且一 a 一 a 2 =0，得 a=一 1代入 得 Ax= 的一个特解为 x=0 的通解为 因此 Ax= 的通解为 )解析：(2010 年试题，20)设 （分数：4.00）(1).求 ，；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解，则 rA=r(A，b)=2 ，则 =1 或一1当 =1 时，rA=1r(A，b)=2，此时线性方程组 Ax=b 无解，排除当 =一 1 时, )解析：(2).求 Ax=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 故原方
14、程组等价为 令 x 3 =0 时, ，则 所以线性方程组 Ax=b 的通解为 )解析：(2009 年试题。20)设 （分数：4.00）(1).求满足 A 2 = 3 ，A 2 3 = 1 的所有向量 2 ， 3 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 rA=2故方程组 A 2 = 1 有一个自由变量，令 x 3 =2，由Ax=0 可解得 x 2 =一 1，x 1 =1求特解：令 x 1 =x 2 =0，得 x 3 =1故有 其中 k 1 为任意常数又 则 r(A 2 )=1故方程组 A 2 3 = 1 有两个自由变量令 x=一 1，由 A 2 x=0 得 x=1，x 3 =0；
15、令 x 2 =0，则有 x 1 =0，x 3 =1求特解：令 x 2 =x 3 =0，得 x 1 = 故最终得到 )解析：(2).对(I)中的任意向量 2 ， 3 ，证明 1 ， 2 ， 3 ，线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明：由(I)可得 又 1 =(一 1，1，一 2) T ，则 )解析：(2008 年试题,21)设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：6.00）(1).证明行列式A=(n+1)a n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用行列式性质，有 )解析：(2).a 为何值，方程组有唯一解?求 x 1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
16、：若使方程组 Ax=b 有唯一解，则A=(n+1)a n 0，即 a0则由克莱姆法则得 )解析：(3).a 为何值，方程组有无穷多解?求通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若使方程组 Ax=b 有无穷多解，则A=(n+1)a n =0，即 a=0把 a=0 代入到矩阵A 中，显然有 r(AB)=rA=n1，方程组有一个基础解向量取自由未知量 x 1 =1，得到它的基础解系为k(1，0，0，0) T (k 为任意常数)；代入 a=0 后方程组化为 )解析：解析：本题的第(I)问亦可采用数学归纳法来证明：当 n=1 时，A=2a=2a，结论成立；当n=2 时, (2006 年试题，20)
17、已知非齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 rA=2；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用线性相关性判断秩的方法设 1 ， 2 ， 3 ，是非齐次方程组的 3 个线性无关的解，则 a 1 一 a 2 ，a 1 a 3 是 Ax=0 线性无关的解，所以 nrA2，即 rA2显然矩阵 A中有 2 阶子式不为 0又因为 rA2，所以秩 rA=2)解析：(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行交换，有 由 rA= )解析：9.(2002 年试题,九)已知 4 阶方阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4
18、)， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4维列向量，其中 2 , 3 , 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设 2 , 3 , 4 线性无关且 1 =2 2 一 3 ，因此 rA=3，同时= 1 + 2 + 3 + 4 ，则方程组 Ax= 的增广矩阵 B=( 1 , 2 , 3 , 4 ，)的秩也为3，即 rB=3，因此方程组 Ax= 有解，由 4 一 rA=1，知 Ax= 有无穷多解，且 Ax=0 的解空间维数等于1，即基础解系中只含一个解向量，又由已知 1 =2 2 一
19、3 ，即 1 一 2 2 + 3 =0，可推出 从而 是 Ax=0 的一个解向量，因此 是 Ax=0 的基础解系同时由 = 1 + 2 + 3 + 4 ，可推出 是 Ax= 的一个特解，从而方程组 Ax= 通解为 其中 C 为任意常数 解析二令 则由 =Ax=( 1 , 2 , 3 , 4 ) 得，x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = 1 + 2 + 3 + 4 将 1 =2 2 一 3 代 上式得，(2x 1 +x 2 3) 2 +(一 x 1 +x 3 )+(x 4 1) 4 =0 因 2 , 3 , 4 线性无关，故而有 解上述方程组得 )解析：10.(1998 年试
20、题，十二)已知线性方程组 (I) 的一个基础解系为(b 11 ，b 12 ，b 1,2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2,2n ) T ，(b n1 ,b n2 ，b n,2n ) T 试写出线性方程组 () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组(I)，引入如下记号 i =( i1 ， i2 ， i,2n )(i=1，2，n)则其系数矩阵 同样对方程组()引入记号 b i =(b i1 ,b i2 ，b i,2n )(i=1，2，n)，相应的系数矩阵则 )解析：解析：欲证明 k 1 1 +k 2 2 +k s s 是 Ax=0 的通解，则须证明：(1) 1 ， 2 s
21、 是 Ax=0 的解；(2) 1 ， 2 s 线性无关；(3)s=nrA，即方程组的任意解均可由向量组 1 ， 2 s 线性表示11.(2001 年试题，九)设 1 ， 2 s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， 3 =t 1 1 +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数，试问t 1 ，t 2 满足什么关系时， 1 ， 2 ， s ，也为 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设 i (i=1，2，s)是 1 ， 2 s 的线性组合，因此 i (i=l，2，s)都是 Ax=0
22、 的解，即 A i =0(i=1，2，s)题目待求结论要求 i (i=1，2，s)也是 Ax=0 的基础解系，结合已知，这等价于要求 1 2 t ，线性无关，于是设 c 1 1 +c 2 2 +c s s =0 将已知 i (i=1，2，s)由 i (i=l，2，s)线性表示的已知表达式代入上式并化简得(t 1 c 1 +t 2 c s ) 1 +(t 2 c 1 +t 1 c 2 ) 2 +(t 2 c s-1 一 1+t 1 c s ) s =0因为 1 ， 2 s 是线性无关的，因此得到关于 c 1 ，c 2 c s 的方程组如下 只要该方程组只有零解，即可得出 t 1 ,t 2 应满足
23、的关系，该方程组行列式为 )解析：解析：本题涉及基础解系的概念和线性无关的证明以及行列式的计算，综合性很强12.(2007 年试题，21)设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组(1)，(2)有公共解，则可组成如下方程组： (3)增广矩阵 则当 a=1 或 a=2 时有公共解当 a=1 时，方程组(3)化为 公共解为 1581 当 a=2 时，方程组(3)化为 公共解为 解析二方程组系数矩阵的行列式为 当 a1 且 a2 时， (1)只有唯一零解，但其不是(2)的解，故此时(1)与(2)无公共解；当 a=1 时 (1)的解为 其中 R为任意常数将其代入方程(2)中知
24、也是(2)的解即(1)与(2)的全部公共解为 1588 其中 R为任意常数；当 a=2 时, (1)的解为 R 为任意常数将其代入方程(2)中得 x 1 +2x 2 +x 3 =21，得 R=一 1，此时(1)与(2)有唯一公共解 )解析：13.(2005 年试题，21)已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a,b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，由 AB=0，得 rA+rB3(1)若 k9，则 rB=2，于是 rA1，显然rA1，故 rA=1可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3 一 rA=2，矩阵 B 的第一、第三列线性
25、无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为 ，k 1 ，k 2 为任意常数(2)若 k=9则 rB=1，从而1rA2若 rA=2，则 Ax=0 的通解为 为任意常数若 rA=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax 1 +bx 2 +cx 2 =0，不妨设 a0，则其通解为 )解析：14.(2003 试题，十)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0；l 2 ：bx+2cy+3a=0；l 3 ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设，三条直线交于一点等价于方程组 有唯一解显然
26、方程组的系数矩阵为 相应的增广矩阵为 必要性由于方程组解唯一，因此必有 rA= =2。从而 =0，即 =3(a+b+c)(a 一 b) 2 +(b 一 c) 2 +(c 一 a) 2 =0 因为已由题设知三条直线不同，因此 a，b，c 不全同，因而(a 一 b) 2 +(b 一 c) 2 +(c 一 a) 2 0 只有 a+b+c=0 从而必要性成立充分性由(a+b+c)=0，有 ，从而 由于 和 A 中共有的子块 的行列式为 所以 且 rA=2，因此原方程组有唯一解，即充分性也成立解析二必要性，设三条直线相交于一点(x 0 ,y 0 )，则 为 Ax=0 的非零解，其中 从而得A=0，即 又依题知(a 一 b) 2 +(b 一 c) 2 +(c 一 a) 2 0，故有 a+b+c=0 充分性，线性方程组 中的三个等式相加，且由 a+b+c=0 可得，方程组等价于 又 )解析：
