1、考研数学一（行列式，矩阵，向量）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：20，分数：40.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1999年试题，二)设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn时，必有行列式AB0B.当 mn时，必有行列式AB=0C.当 nm时，必有行列式AB0D.当 nm时，必有行列式AB=03.(2012年试题，一)设 A为 3阶矩阵，P 为 3阶可逆矩阵，且 （分数：2.00）A.B.C.D.4.(2008年试题，一)设 A为 n阶非
2、零矩阵，E 为 n阶单位矩阵若 A 3 =0，则( )（分数：2.00）A.EA不可逆，E+A 不可逆B.EA不可逆，E+A 可逆C.E一 A可逆，E+A 可逆D.EA可逆，E+A 不可逆5.(2011年试题，一)设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2列加到第 1列得矩阵 B，再交换 B的第 2行与第 3行得单位矩阵，记 （分数：2.00）A.P 1 P 2B.P 1 -1 P 2C.P 2 P 1D.P 2 P 1 -16.(2006年试题，二)设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2行加到第 1行得 B，再将 B的第 1列的一 1倍加到第 2列得 C，记 （分数：2.00）A.C=P -1 APB.
3、C=PAP -1C.C=P T APD.C=PAP T7.(2005年试题，二)设 A为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，A * ，B * 分别为A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：2.00）A.交换 A * 的第 1列与第 2列得 B *B.交换 A * 的第 1行与第 2列得 B *C.交换 A * 的第 1列与第 2列得一 B *D.交换 A * 的第 1行与第 2行得一 B *8.(2004年试题，二)设 A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为( )（分数：2.00）A.B
4、.C.D.9.(2009年试题，一)设 A，B 均为二阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，曰的伴随矩阵，若A=2，B=3，则分块矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.10.(2010年试题，5)设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，且 AB=E，其巾 E为 m阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.rA=rB=m,B.rA=m；rB=nC.rA=n；rB=mD.rA=rB=n11.(1998年试题，二)设矩阵 是满秩的，则直线 与直线 （分数：2.00）A.相交于一点B.重合C.平行但不重合D.异面12.(2012年试题，一)设 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 2
5、 ， 4C. 1 ， 3 ， 4D. 2 ， 3 ， 413.(2007年试题，一)设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1C. 1 一 2 2 ， 2 一 2 3 ， 3 一 2 1D. 1 +2 2 ， 2 +2 3 ， 3 +2 114.(2006年试题，二)设 1 ， 2 ， s 均为 n维列向量，A 是 mn矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关B.若 1
6、， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关15.(2005年试题，二)设 1 ， 2 是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0C. 1 =0D. 2 =016.(2004年试题，二)设 A，B 为满足 AB=0的任意两个非零矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A的列向量组线性相关，B 的行
7、向量组线性相关B.A的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关17.(2003年试题，二)设向量组 I： 1 ， 2 s 可由向量组： 1 2 s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs时，向量组必线性相关C.当 rs时，向量组 I必线性相关18.(2000年试题，二)设 n维列向量组 1 ， m (m 1， m线性无关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.向量组 1 m 可由向量组 1 ， m 线性表示B.向量组 1 ， m 可由向量组 1 m 线性表示C.向量组 1 m 与向量组
8、 1 ， m 等价D.矩阵 A=( 1 m )与矩阵 B=( 1 ， m )等价19.(1997年试题，二)设 则三条直线 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=秩 r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关20.(2009年试题，一)设 1 ， 2 ， 3 是三维向量空间 R 3 的一组基，则由基 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)21.(2006年试题，一)设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_22.(2005年试题，一)设
9、1 ， 2 ， 3 均为 3维列向量，记矩阵 A=( 1 , 2 ， 3 )B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 1 +3 2 +9 3 )如果A=1，那么B= 1.（分数：2.00）填空项 1:_23.(2004年试题，一)设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_24.(2001年试题，一)设矩阵 A满足 A 2 +A一 4E=0，其中 E为单位矩阵，则(AE) -1 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_25.(2012年试题，二)设 X为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 EXX T 的秩为 1.（分数：2.00）填空项 1:_26.(2007年试题，二)设矩
10、阵 （分数：2.00）填空项 1:_27.设 1 =(1，2，一 1，0) T ， 2 =(1，1，0，2) T ， 3 =(2，1，1，) T ，若 1 ， 2 ， 3 形成的向量空间维数是 2，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_28.(2003年试题，一)从 R 2 的基 到基 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：16.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_(1997年试题，八)A 是 n阶可逆方阵，将 A的第 i行和第 j行对换后得到的矩阵记为 B（分数：4.00）(1).证明 B可逆；（分数：2.00）_(2).求 AB -1 （
11、分数：2.00）_30.(2000年试题，十)设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：2.00）_(2008年试题，20)设 ， 为三维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T 为 的转置， T 为 的转置（分数：4.00）(1).证明：rA2；（分数：2.00）_(2).若 ， 线性相关，则 rAn时，必有行列式AB0B.当 mn时，必有行列式AB=0 C.当 nm时，必有行列式AB0D.当 nm时，必有行列式AB=0解析：解析：结合题设，应分析矩阵的秩，从而可判断其行列式是否为 0由已知，AB 是 mm矩阵，则r(AB)m，又由 r(AB)min(rA，rB)，知 r(AB)min(n，m)，由此
12、，当 mn时，r(AB)nm 时，r(AB)m，不能确定等式是否成立，综上，选 B 对于未知矩阵 AB的具体元素，其相关的计算和证明问题往往可考虑转化为利用：(1)矩阵的秩；(2)行或列向量组的线性相关性；(3)方程组解的判定；(4)特征值和相似矩阵的性质等来求解和证明3.(2012年试题，一)设 A为 3阶矩阵，P 为 3阶可逆矩阵，且 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题设 Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 因此 4.(2008年试题，一)设 A为 n阶非零矩阵，E 为 n阶单位矩阵若 A 3 =0，则( )（分数：2.00）A.EA不可逆
13、，E+A 不可逆B.EA不可逆，E+A 可逆C.E一 A可逆，E+A 可逆 D.EA可逆，E+A 不可逆解析：解析：由 A 3 =0可得 EA 3 =(E一 A)(E+A+A 2 )=E和 E+A 3 =(E+A)(E一 A+A 2 )=E显然EA0，E+A0，所以 E一 A和 E+A均可逆故应选 C解析二由 A 3 =0知，A 的任意特征值满足 3 =0，即 =0 是 A的 n重特征值，从而 =是 E一 A和 E+A的 n重特征值，即二者的特征值均不为 0故E一 A和 E+A均可逆。正确答案为 C5.(2011年试题，一)设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2列加到第 1列得矩阵 B，再交换 B
14、的第 2行与第 3行得单位矩阵，记 （分数：2.00）A.P 1 P 2B.P 1 -1 P 2C.P 2 P 1D.P 2 P 1 -1 解析：解析：由题设有 P 2 AP 1 =E，A=P 2 -1 P 1 -1 ，因为 P 2 -1 =P 2 ，所以 A=P 2 P 1 -1 ，故选 D6.(2006年试题，二)设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2行加到第 1行得 B，再将 B的第 1列的一 1倍加到第 2列得 C，记 （分数：2.00）A.C=P -1 APB.C=PAP -1 C.C=P T APD.C=PAP T解析：解析：根据已知条件，用初等矩阵描述有 所以7.(2005年试题，二
15、)设 A为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，A * ，B * 分别为A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：2.00）A.交换 A * 的第 1列与第 2列得 B *B.交换 A * 的第 1行与第 2列得 B *C.交换 A * 的第 1列与第 2列得一 B * D.交换 A * 的第 1行与第 2行得一 B *解析：解析：设 A为 3阶矩阵，用初等矩阵左乘 A得到 B，根据题意有 即有 由此得 因为A=一B，所以 8.(2004年试题，二)设 A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为
16、( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题设，由 A到 B的过程相当于 A右乘初等矩阵 B到 C的过程相当于 B右乘初等矩阵所以9.(2009年试题，一)设 A，B 均为二阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，曰的伴随矩阵，若A=2，B=3，则分块矩阵 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若矩阵 C可逆，则 C * =CC -1 因为A=2，B=3，所以分块矩阵 的行列式 ，则分块矩阵可逆 10.(2010年试题，5)设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，且 AB=E，其巾 E为 m阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.rA=rB=m, B.rA=m；rB=nC
17、.rA=n；rB=mD.rA=rB=n解析：解析：因 AB=E，故 r(AB)=r(E)=m又 r(AB)rA，r(AB)rB，故有 mrA，mrB 又因 A为 mn型矩阵，B 为 nm型矩阵，故 rAm，rBm结合上述不等式可得 rA=rB=m，即正确答案为 A11.(1998年试题，二)设矩阵 是满秩的，则直线 与直线 （分数：2.00）A.相交于一点 B.重合C.平行但不重合D.异面解析：解析：本题综合考查了线性代数与空间解析几何中的若干知识点，具有较强综合性首先，记点 P 1 为(a 1 ，b 1 ，c 1 )，P 2 为(a 2 ，b 2 ，c 2 )，P 3 为(a 3 ，b 3
18、，c 3 )，向量 由已知矩阵满秩，则其行向量组线性无关，因此由解析几何知识可知，三向量 不共面，因此必有三点 P 1 ，P 2 。P 3 不共线，又由题设，直线 通过点 P 3 ，以 为方向向量，而直线 通过点 P 1 ，以 为方向向量，由前述已知，P 1 ，P 2 ，P 3 不共线，可得出两直线必相交于一点，选 A解析二经初等变换矩阵的秩不变，即由 知后者的秩仍为 3，故而两直线的方向向量v 1 =(a 1 一 a 2 ，b 1 一 b 2 ，c 1 一 c 2 )与 v 2 =(a 2 一 a 3 ，b 2 一 b 3 ，c 2 一 c 1 )线性无关，可排除选项 B和 C在这两条直线上
19、各取一点(a 3 ，b 3 ，c 3 )和(a 1 ，b 1 ，c 1 )，可构造另一个向量 v 3 =(a 3 一 a 1 ，b 3 一 b 1 ，c 3 一 c 1 )若 v 1 ，v 2 ，v 3 共面，则两条直线相交；若 v 1 ，v 2 ，v 3 不共面，则两直线异面，不相交此时可用混合积 12.(2012年试题，一)设 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 2 ， 4C. 1 ， 3 ， 4 D. 2 ， 3 ， 4解析：解析：根据题意可知，由于 3 , 4 = 13.(2007年试题，一)设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分
20、数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1C. 1 一 2 2 ， 2 一 2 3 ， 3 一 2 1D. 1 +2 2 ， 2 +2 3 ， 3 +2 1解析：解析：很显然 A选项中：( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 1 )=0，即 A选项的向量组线性相关，故应选 A14.(2006年试题，二)设 1 ， 2 ， s 均为 n维列向量，A 是 mn矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关 B.若 1 ， 2 ， s 线性相
21、关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关解析：解析：用秩的方法判断线性相关性因为(A 1 ，A 2 ，A s )=A( 1 ， 2 ， s )所以 r(A 1 ，A 2 ，A s )r( 1 ， 2 ， s )又因为 1 ， 2 ， s 线性相关r( 1 ， 2 ， s ) 1，A 2，A s)1，A 2，A s线性相关故选 A解析二本题亦可采用排除法，取 A=0，则可排除选项 B和 D；取 A=E，则可排除选项 C故正确答案为 A15
22、.(2005年试题，二)设 1 ， 2 是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0 C. 1 =0D. 2 =0解析：解析：根据特征值特征向量的定义，有 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 = 1 1 + 2 2 ; 1 ，A( 1 + 2 )线性无关 k 1 1 +k 2 A( 1 + 2 )=0，k 1 ，k 2 恒为 0， (k 1 + 1 k 2 ) 1 + 2 k 2 2 =0，k 1 ，k 2 恒为 0因为不同特征值的特征向量线性无关，故 1 , 2 线性
23、无关，所以 而齐次方程组 只有零解 所以选 B解析二因为 1 ，A( 1 + 2 )= 1 ， 1 1 + 2 2 = 1 ， 2 ，且 1 , 2 线性无关，故而若 1 ，A( 1 + 2 )线性无关，则 16.(2004年试题，二)设 A，B 为满足 AB=0的任意两个非零矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解析：由题设 AB=0，且 A0，B0，则线性齐次方程组 AX=0有非零解，则 A的列
24、向量组线性相关；同时由 AB=0，知 B T A T =0，且 B T 0，A T 0，同理线性齐次方程组 B T Y=0也有非零解，因而 B的列向量组，也就是 B的行向量组线性相关综上，选 A解析二赋值法，即可设 A=(1，0)B=(0，1) T ，显然 AB=0但矩阵 A的列向量组线性相关，行向量组线性无关；矩阵 B的行向量组线性相关，列向量组线性无关从而可知，正确答案为 A AB=0 常在考试中出现，与其相关的两个结论考生应记住：(1)AB=0arA+rB 17.(2003年试题，二)设向量组 I： 1 ， 2 s 可由向量组： 1 2 s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 r
25、s时，向量组必线性相关C.当 rs时，向量组 I必线性相关 解析：解析：由题设，向量组 I可由向量组线性表示，则向量组 I的秩向量组的秩，又向量组的秩s，因此有向量组 I的秩 则 1 =0. 1 +0. 2 ，但 1 ， 2 线性无关，排除选项 A；设 则 1 ， 2 可由 1 线性表示，而 1 ， 2 线性无关，故排除选项 B；设 18.(2000年试题，二)设 n维列向量组 1 ， m (m 1， m线性无关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.向量组 1 m 可由向量组 1 ， m 线性表示B.向量组 1 ， m 可由向量组 1 m 线性表示C.向量组 1 m 与向量组 1 ， m
26、 等价D.矩阵 A=( 1 m )与矩阵 B=( 1 ， m )等价 解析：解析：根据题设，逐一分析各个选项关于 A，它是向量组 1 2 m 线性无关的充分条件，但不是必要条件；关于 B，它与 1 2 m 线性无关无直接联系；关于 C，它也是向量组 1 2 m 线性无关的充分但非必要条件；D 是 1 2 m 线性无关的充分必要条件，因为矩阵 A与 B等价的充要条件是经过初等变换后形成的标准形相同综上，选 D 注意两个矩阵等价与两个向量组等价有本质差别两个矩阵等价仅仅是秩相等，而两个向量组等价则要求它们能相互线性表示一般而言，向量组 1 ， 2 s 与向量组 1 2 t 等价矩阵 A=( 1 ，
27、 2 s )与矩阵 B=( 1 2 t )等价，但反过来并不成立19.(1997年试题，二)设 则三条直线 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=秩 r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关 解析：解析：首先明确三条直线交于一点意味着 20.(2009年试题，一)设 1 ， 2 ， 3 是三维向量空间 R 3 的一组基，则由基 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：设( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n )P，则称矩阵 P为基 1 ， 2 ， n
28、到基 1 ， 2 ， n 的过渡矩阵则由基 到 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 的过渡矩阵 P满足( 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 )= 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)21.(2006年试题，一)设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由已知条件 BA=B+2E推知 B(AE)=2E，两边取行列式，有BAE=4因为 ）解析：22.(2005年试题，一)设 1 ， 2 ， 3 均为 3维列向量，记矩阵 A=( 1 , 2 ， 3 )B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 1 +3 2 +9 3 )如果A=1，那么B=
29、1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题意，我们对矩阵 B分块得 所以B=2解析二用行列式性质对行列式作恒等变形得，B= 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 = 1 + 2 + 3 ， 2 +3 3 ， 2 +5 3 = 1 + 2 + 3 ， 2 +3 3 ，2 3 =2 1 ， 2 ， 3 =21=2 解析三本题还可采用赋值法求解，但只适用于填空题和选择题可令 则依题知 从而 ）解析：23.(2004年试题，一)设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设, 则A=30，从而由公式 AA * =A *
30、 A=AE 知 A * =AA -1 =3A -1 ，则A * =3 3 .3 -1 =9将 ABA * =2BA * +E变形为(A 一 2E)BA * =E，则A 一 2EBA * =E，其中 所以 ）解析：解析：在求出(3A 一 6E)B=A后，没必要有继续求出矩阵曰，再计算行列式，而是可直接利用方阵相乘的行列式公式24.(2001年试题，一)设矩阵 A满足 A 2 +A一 4E=0，其中 E为单位矩阵，则(AE) -1 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设，只要将原表达式 A 2 +A一 4E=0改写成形如(AE)(aA+bE)=E 的形式，就可得出(
31、A 一 E) -1 =aA+bE，其中 a，b 为待定常数，按待定系数法的思想，将(AE)(aA+bE)=层展开后，得 aA 2 +bA一 bA一 bE=E，即 aA 2 +(ba)A一(b+1)E=0，与原表达式比较，得出 ，所以 ）解析：25.(2012年试题，二)设 X为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 EXX T 的秩为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题，X 为三维单位列向量，不妨设 X=(1，0，0) T ，则 ）解析：26.(2007年试题，二)设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：27.设 1 =(1，
32、2，一 1，0) T ， 2 =(1，1，0，2) T ， 3 =(2，1，1，) T ，若 1 ， 2 ， 3 形成的向量空间维数是 2，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为由 1 ， 2 ， 3 形成的向量空间维数为 2，所以 r( 1 ， 2 ， 3 )=2对( 1 ， 2 ， 3 )进行初等变换得 ）解析：28.(2003年试题，一)从 R 2 的基 到基 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设，记过渡矩阵为 C，则( 1 , 2 )=( 1 , 2 )C，即 ）解析：解析：考生应注意从 1 ， 2 n 到基 1 2 n 的过渡
33、矩阵和从基 1 2 n 到基 1 ， 2 n 的过渡矩阵是有差异的三、解答题(总题数：7，分数：16.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：(1997年试题，八)A 是 n阶可逆方阵，将 A的第 i行和第 j行对换后得到的矩阵记为 B（分数：4.00）(1).证明 B可逆；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A可逆，则A0，由已知，B 是 A的两行对换所得，则B=一A0。因此 B与可逆)解析：(2).求 AB -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 P ij 是由 n阶单位矩阵，的第 i行与第 j行对换所得的初等矩阵，则由初等矩阵与矩阵初等行
34、变换之间的关系，有 B=P ij ，从而 AB -1 =A.A -1 .P ij -1 =P ij -1 =P ij)解析：解析：本题考查了初等矩阵的概念和性质，考生应清楚初等变换与初等矩阵左右乘的关系以及初等矩阵的逆矩阵的三个公式同时，应注意经初等变换后矩阵的秩不变，即 rB=rA显然，若 A可逆则 B亦可逆30.(2000年试题，十)设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 ABA -1 =BA -1 +3E，两边左乘 A -1 ，有 A -1 ABA -1 =A -1 BA -1 +3A -1 即 BA -1 =A -1 BA -1 +3A -1 上式再由两
35、边右乘 A，有 B=A -1 B+3E又由公式 A * =AA -1 ，即 代入上式，得 由 知A * =8，且AA * =A 4 知A * =A 3 =8，因此A=2从而 于是 B=6(2EA * ) -1 .E=6(2EA * ) -1 易求得 所以 )解析：解析：本题也可先求出 A及 A -1 ，再由 B=A -1 B+3E，移项，即(EA -1 )B=3E，B=3(EA -1 ) -1 求出同样结果(2008年试题，20)设 ， 为三维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T 为 的转置， T 为 的转置（分数：4.00）(1).证明：rA2；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
36、：， 是三维列向量，则 r( T )r()1，r( T )r()1，rA=r( T + T )r( T )+r( T )1+1=2，即 rA2)解析：(2).若 ， 线性相关，则 rA2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 ， 线性相关，不妨设 =ka，则 rA=r( T + T )=r T +(k)(k) T =r(1+k 2 ) T =r( T )12 即有 rA2)解析：31.(2011年试题，20)设向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3
37、，4，) T 线性表示(I)求 a的值；(II)将 1 ， 2 ， 3 用 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)因为 1 ， 2 ， 3 = 所以 r( 1 ， 2 ， 3 )=3又因为 1 ， 2 ， 3 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 r( 1 ， 2 ， 3 )1 ， 2 ， 3 =0，解得 =5 )解析：32.(1998年试题，十一)设 A是 n阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k X=0有解向量 ，且 A k-1 0证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：通常证明向量组线性无关
38、的方法是按照定义，即设常数 c 1 ，c 2 ，c k ，使得 c 1 +c 2 A+c k A k-1 =0(1)如能证明要使(1)成立，则 c 1 ，c 2 ，c k 全为 0即可由题设已知 A k =0，且 A k-1 0，则用 A k-1 左乘(1)c 1 A k-1 =0，从而 c 1 =0，则(1)式变成 c 2 A+c k A k-1 =0(2)同理用 A k-1 左乘(2)c 2 A k-1 =0，从而 c 2 =0余下以此类推，可证得 c 3 =c 4 =c k =0因此向量组 ，A，A k-1 线性无关)解析：解析：涉及到一组抽象向量组的线性相关性的证明，一般可采用定义来证明33.(1997年试题七)设 B是秩为 2的 54矩阵， 1 =1，1，2，3 T ， 2 =一 1，1，4，一 1 T ， 3 =5，一 1，一 8，9 T ，是齐次线性方程组 Bx=0的解向量，求 Bx=0的解空间的一个标准正交基（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，rB=2，故解空间维数为 4一 rB=2，经简单验证，知 1 , 2 线性无关，因而可作为解空间的一组基下面运用施密特正交化方法计算标准正交基，令 再经过标准规范化，得 )解析：解析：由于解空间的基不唯一，施密特正交代后规范正交基也不唯一本题中 1 , 2 , 3 任意两个均可作为解空间的基
