1、考研数学三-100 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 U=X+Y 与 V=X-Y 不相关的充分必要条件为_（分数：4.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2C.E(X2)=E(Y2)D.E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)22.设线性无关的函数 y1，y 2，y 3都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1、C 2是任意常数，则该非齐次方程是通解是_（分数：4.00）A.C1-y1+C2y2+
2、y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y2D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y33.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则_（分数：4.00）A.当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)使 f()=0B.对任何 (a，b)有 limf(x)-f()=0C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)-f(a)=f()(b-a)4.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 ，则下列命题正确的是_（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00
3、）A.B.C.D.7.A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则_（分数：4.00）A.A 不可逆，E-A 也不可逆B.A 可逆，E+A 也可逆C.A2-A+E 与 A2+A+E 均可逆D.A 不可逆，且 A2必为 08.如图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上图形分别是直径为 1 的下、上半圆周，在区间-2，0，0，2上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F(x)= ，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 a 为非 0 常数，则 （分数：4.00）填
4、空项 1:_11.设生产函数为 Q=AL K ，其中 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而 A， 均为大于零的参数，则当 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(u，v)是二元可微函数 （分数：4.00）填空项 1:_13.如右图所示，曲线 y=x2与直线 y=x+2 所围的平面图形面积为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 Xij(i，j=1，2n；n2)独立同分布，E(X ij)=2，则行列式（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(u)具有二阶连续导数，且 （分数：9.0
5、0）_16.计算二重积分 （分数：9.00）_17.两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时，停用而另一台自动开动试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差（分数：11.00）_18.已知曲线 与曲线 （分数：11.00）_19.将函数 （分数：10.00）_20.计算二重积分 （分数：11.00）_21.设 f(x)、g(x)在-a，a上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A 为常数)(1) 证明(2) 利用(1)的结论计算定积分 （分数：11.00）_22.设某商
6、品的需求函数为 Q=100-5P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量() 求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0)；() 推导 （分数：11.00）_23.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1和 p2；销售量分别为 q1和 q2；需求函数分别为 q1=24-0.2p1和 q2=10-0.05p2，总成本函数为 C=35+40(q1+q2)试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?（分数：11.00）_考研数学三-100 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二随机变量(X，
7、Y)服从二维正态分布，则随机变量 U=X+Y 与 V=X-Y 不相关的充分必要条件为_（分数：4.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2 C.E(X2)=E(Y2)D.E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2解析：考点提示 二维随机变量的正态分布解题分析 因为 U 与 V 不相关的充要条件是 cov(U，V)=0即 cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)=D(X)-D(Y)=E(X2)-E2(X)-E(Y2)-E2(Y)=0故 B 正确2.设线性无关的函数 y1，y 2，y 3都是二阶非齐次线
8、性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1、C 2是任意常数，则该非齐次方程是通解是_（分数：4.00）A.C1-y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y2D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3 解析：考点提示 非齐次方程的通解解题分析 非齐次线性方程的通解应该是相应齐次线性方程的通解加上一个非齐次线性方程的特解C 1y1+C2y2不是相应齐次方程的通解，显然 A 不对；B 写成 C1(y1-y3)+C2(y2-y3)，y 1-y3与 y2-y3是相应齐次方程的解，因而 B 是相应齐次方程的通解，而不是非
9、齐次方程的通解：C 写成 c1(y1+y3)+c2(y2+y3)-y3，y 1+y3与 y2+y3并非相应齐次方程的解，显然也不对；应选 D实际 D 可以写成 c1(y1-y3)+c2(y2-y3)+y3，y 1-y3与 y2-y3显然是线性无关的相应齐次方程的解，y 3是非齐次方程的特解3.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则_（分数：4.00）A.当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)使 f()=0B.对任何 (a，b)有 limf(x)-f()=0 C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)-f(
10、a)=f()(b-a)解析：考点提示 微分中值定理成立的条件、连续性解题分析 由题设，f(x)在(a，b)内可导，则 f(x)在(a，b)内连续，即对任一点 (a，b)，都有*，故(B)成立但 f(x)在a，b上有定义，得不出 f(x)在a，b上连续的结论，因此 A，C，D 都不一定成立4.级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 级数的敛散性解题分析 *收敛*原级数绝对收敛应选 C5.设 ，则下列命题正确的是_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 条件收敛、绝对收敛解题分析 本题考查条件收敛与绝对收敛的定义，由题设，当*条件收敛时，则*综上，选 B6.设 （分数
11、：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 函数的连续和可导解题分析 由于*即*不存在，当然在 x=1 处 f(x)不连续，故 A 正确7.A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则_（分数：4.00）A.A 不可逆，E-A 也不可逆B.A 可逆，E+A 也可逆C.A2-A+E 与 A2+A+E 均可逆 D.A 不可逆，且 A2必为 0解析：考点提示 可逆矩阵解题分析 因为 A3=0，所以|A|=0，即矩阵 A 不可逆又由 A3=0 可得E=E-A3=(E-A)(E+A+A2)，E=E+A 3=(E+A)(E-A+A2)，所以 E+A、A 2-A+E 与 A2+A+E 均可逆故正确答案为 C8.如
12、图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上图形分别是直径为 1 的下、上半圆周，在区间-2，0，0，2上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F(x)= ，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 定积分的几何意义解题分析 *的大小与曲线 f(x)与 x 轴所围面积的大小有关因为*故应选 C二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 微分方程的特解解题分析 因为*将*及 F(1)=0 代入得*即*故*10.设 a 为非 0 常数，则 （分数：4.00）填空项
13、 1:_ （正确答案：e 2a）解析：考点提示 函数的极限解题分析 *11.设生产函数为 Q=AL K ，其中 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而 A， 均为大于零的参数，则当 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 弹性、隐函数求导解题分析 由题设，Q=1，则 AL K =1 确定了 K 为 L 的函数，两边对 L 求导，得AL -1 K +L K -1 K=0，从而*则由弹性的定义知*12.设 f(u，v)是二元可微函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 求偏导数解题分析 已知*
14、，于是*13.如右图所示，曲线 y=x2与直线 y=x+2 所围的平面图形面积为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 先求两曲线的交点，画出草图(见右图)，然后确定积分变量和积分区域，直接积分即可*解题分析 由*得两交点为(-1，1)和(2，4)，所求平面图形面积为*评注 用定积分计算由曲线所围平面图形的面积，一般先求曲线交点，作草图，然后根据平面图形的形状，被积函数的形式选择适当的积分变量和积分区域14.设随机变量 Xij(i，j=1，2n；n2)独立同分布，E(X ij)=2，则行列式（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点提示 行列式的定
15、义、数学期望解题分析 由题没，根据行列式的定义和数学期望的性质，有*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(u)具有二阶连续导数，且 （分数：9.00）_正确答案：(由于故 )解析：考点提示 多元复合函数求偏导16.计算二重积分 （分数：9.00）_正确答案：(详解 1 由 x2+y2x+y+1，得令 ，则在极坐标系下于是详解 2 作坐标轴的平移变换则G 关于，u，v 具有对称性，u+v 关于 v，u 为奇函数，从而详解 3 视 x2+y2x+y+1 为密度为 1 的薄板占据的平面闭区域，其质心显然为 ，由质心公式)解析：考点提示 利用坐标变换计算二重积分17.两台同样自动记录
16、仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时，停用而另一台自动开动试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差（分数：11.00）_正确答案：(由题设，设先开动的一台记录仪的无故障工作时间为 T1，后开动的一台记录仪的无故障工作时间为 T2，则由已知，T i的概率密度为且显然 T1与 T2独立由于 T=T1+T2，则由卷积公式可得出当 t0 时 T 的概率密度，即所以 T 的概率密度为又 Ti服从参数为 5 的指数分布，则 ，则 T 的数学期望为T 的方差为)解析：考点提示 卷积公式、概率密度、期望、方差18.已知曲线 与曲
17、线 （分数：11.00）_正确答案：(1) 如图，由于 在点(x 0，y 0)处有公切线，所以有将 分别代入两曲线方程得：于是故常数 ，切点为(e 2，1)(2) 旋转体体积为)解析：考点提示 曲线积分评注 本题考查导数和定积分的应用，求解这类问题，一般要画出草图19.将函数 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：20.计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：()解析：考点提示 二重积分解题分析 积分区域 D 如右图，为一无界区域：*21.设 f(x)、g(x)在-a，a上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A 为常数)(1) 证明(2) 利用(
18、1)的结论计算定积分 （分数：11.00）_正确答案：(1) 又因此(2) 取 f(x)=arctanex，g(x)=|sinx|， ，则 f(x)，g(x)在 上连续，g(x)为偶函数，由知 arctanex+arctane-x为常数，取 x=0 得，所以 ，于是由(1)有评注 对称区间上的定积分有下列重要结论：)解析：考点提示 对称区间上的定积分*一般分解为*再对第一个积分作变换 x=-t 即可22.设某商品的需求函数为 Q=100-5P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量() 求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0)；() 推导 （分数：11.00）_正确答案：() 由题发，利用弹性的计
19、算公式可知() 由 R=PQ 两边对 P 求导，得此外，由 ，可解得 P=10当 10P20 时，E d1，从而 )解析：考点提示 导数的应用、弹性23.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1和 p2；销售量分别为 q1和 q2；需求函数分别为 q1=24-0.2p1和 q2=10-0.05p2，总成本函数为 C=35+40(q1+q2)试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?（分数：11.00）_正确答案：(详解 1 总收入函数为总利润函数为L=R-C=(p1q1+p2q2)-35+40(q1+q2)由极值的必要条件，得方程组由问题的实际
20、含义可知当 p1=80，p 2=120 时，厂家获得的总利润最大，最大总利润为详解 2 两个市场的价格函数分别为 p1=120-5q1和 p2=200-20q2，总收入函数为 R=p1q1+p2q2=(120-5q1)q1+(200-20q2)q2，总利润函数 L=R-C=(120-5q1)q1+(200-20q2)q2-35+40(q1+q2)由极值的必要条件，得方程组由问题的实际含义可知当 q1=8，q 2=4，即 p1=80，p 2=120 时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为)解析：考点提示 本题为多元函数极值、最大值在经济领域的应用，关键是求出总利润函数与总收入函数及总成本函数之间的关系，然后利用多元函数求极值的方法求解
