1、考研数学三-106 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设矩阵 A=(aij)33满足 A*=AT，其中 A*为 AT的伴随矩阵，A *为 A 的转置矩阵若 a11，a 12，a 13为三个相等的正数，则 a11为_（分数：4.00）A.B.C.D.2.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，x 的条件概率密度 fX|Y(x|y)为_（分数：4.00）A.fx(x)B.fY(y)C.fX(x)fY(y)D.3.设 ，其中 f(x)
2、为连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 0P(B)1，且 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，则是下列选项成立的是_（分数：4.00）A.B.P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)C.P(A1+AsD.(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2/su5.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量若秩 ，则线性方程组_AAX= 必有无穷多解 BAX= 必有唯一解（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 1，2，n 均为 n 维向量，下列结论不正确的是_（分数：4.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k1，k2，ks，都有 k11+k
3、22+kss0，则 1，2，n 线性无关B.若 1，2，s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1，k2，ks，有 k11+k22+kss=0C.1，2，s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD.1，2，s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关7.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)在区间-1，1上连续，则 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)有连续的导函数，f(0)=0 且 f(0)=b，若函数（分数：4.00）填空项 1:_10.设 ，其
4、中 f，g 均可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知 f(lnx)=1+x，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设三阶矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(X，y)：1x3，1y3 上的均匀分布，试求随机变量 U=|X-Y|的概率密度 p(u)（分数：9.00）_16.设向量组 1=(a，2，10) T，2=(-2, 1，5) T，3=(-1，
5、1，4) T，=(1，6，c) T试问：当 a，b，c 满足什么条件时，(1) 可由 1，2， 3 线性表示，且表示唯一?(2) 不能由 1，2， 3 线性表示?(3) 可由 1，2， 3 线性表示，但表示不唯一?并求出一般表达式（分数：9.00）_17.考虑一元二次方程 x2+Bx+C=0，其中 B，C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q（分数：11.00）_18.求函数 （分数：11.00）_19.已知 3 阶矩阵 B0，且 B 的每一个列向量都是以下方程组的解：（分数：10.00）_20.假设：(1) 函数 y=f(x)(0x+)满足条件
6、 f(0)=0 和 0f(x)e x-1；(2) 平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex-1 分别相交于点 P1 和 P2；(3) 曲线 y=f(x)、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度求函数 y=f(x)的表达式（分数：11.00）_21.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等以 X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布(信号灯的工作是相互独立的)（分数：11.00）_22.设向量 =(a1，a2，an) T，
7、=(b1，b2，bn) T 都是非零向量，且满足条件 T=0记 n 阶矩阵 A= T求：(1) A2;(2) 矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：11.00）_23.设某产品的成本函数为 C=aq2+bq+c，需求函数为 （分数：11.00）_考研数学三-106 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设矩阵 A=(aij)33满足 A*=AT，其中 A*为 AT的伴随矩阵，A *为 A 的转置矩阵若 a11，a 12，a 13为三个相等的正数，则 a11为_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 伴随矩阵、转置矩阵解题分析
8、 由题意知 A*=AT，即有*于是aij=Aij，i，j=1，2，3，*又由 A*=AT，两边取行列式并利用|A *|=|A|n-1及|A T|=|A|得|A| 2=|A|，从而|A|=1，即*所以选 A2.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，x 的条件概率密度 fX|Y(x|y)为_（分数：4.00）A.fx(x) B.fY(y)C.fX(x)fY(y)D.解析：考点提示 条件概率密度解题分析 因(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 Y 相互独立，从而 PX=x
9、，Y=y=PX=ZPY=y条件概率*两边求导得 fX|Y(x|y)=fX(x)故应选 A3.设 ，其中 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 利用洛必达法则及连续性求解即可解题分析 *所以 B 为正确选项评注 本题主要考查变限积分求导及洛必达法则和函数在连续点处的极限等于该点的函数值等知识点4.已知 0P(B)1，且 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，则是下列选项成立的是_（分数：4.00）A.B.P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B) C.P(A1+AsD.(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2/su解析：
10、考点提示 利用条件概率的定义及性质即得解题分析 详解 1 由题设 P(A1+A2)B-P(A1|B)+P(A2|B)知：*又因为 P(B)0，所以有 P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)故应选 B详解 2 因为 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)，由已知条件 P(A1+A2)|B=P(A2|B)+P(A2|B)，可得 P(A1A2|B)=0，即 P(A1A2B)=0，于是 P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B)故应选 B评注 选项 D 表面上看是全概率公式，但全概率公式中的条件，即 A1，
11、A2 为完备事件组在这里不一定成立5.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量若秩 ，则线性方程组_AAX= 必有无穷多解 BAX= 必有唯一解（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 线性方程组解题分析 由题设，矩阵*是 n+1 阶矩阵，r(A)n，则由已知条件秩*，可知*，从而*必有非零解，所以选 D6.设 1，2，n 均为 n 维向量，下列结论不正确的是_（分数：4.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k1，k2，ks，都有 k11+k22+kss0，则 1，2，n 线性无关B.若 1，2，s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1，k2，ks，有 k11+k22+ks
12、s=0 C.1，2，s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD.1，2，s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：考点提示 线性相关、线性无关解题分析 本题考查向量组线性相关和无关的定义根据定义，知 B 不正确，A 正确，同时由向量组的秩的定义，知 C 正确，由向量组中部分向量线性相关则必然整个向量组线性相关的结论，知 D 正确综上，选 B7.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 函数的连续性与右导数的概念解题分析 令 x=h2，则*于是*又已知函数 f(x)在 x=0 处连续，从而f(0)=f(0+0)=0，所以 B，D
13、 不选又*即 f(0)=0 且 f+(0)存在，故选 C8.设函数 f(x)在区间-1，1上连续，则 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 函数的间断点解题分析 *，即函数 g(x)在 x=0 处极限存在，则 x=0 是该函数的可去间断点故应选 B二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)有连续的导函数，f(0)=0 且 f(0)=b，若函数（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a+b）解析：考点提示 由函数连续的条件，先求*，然后令*即得解题分析 F(x)在 x=0 处连续，则有*从而*从而 A=a+b10.设 ，其中 f，g 均可微
14、，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 复合函数求偏导数解题分析 由题设*11.已知 f(lnx)=1+x，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 先求出 f(x)的表达式，再积分即可解题分析 令 lnx=t，则 x=e，于是由题设有f(t)=1+et，即 f(x)=1+ex积分得*评注 求解这类问题一般先换元，再求不定积分12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 涉及 A*的问题，一般从公式 AA*=A*A=|A|E 着手分析解题分析 因为 AA*=|A|E，从而*评注 本题若先求 A
15、*，再求(A *)-1，计算量将非常大13.设三阶矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1，1，1) T）解析：考点提示 线性相关解题分析 由题设，*由 A 与 线性相关，知 A 与 对应分量成比例，则*所以 a=-1，即 =(-1，1，1) T14.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：考点提示 指数分布解题分析 由题设，X 服从参数为 的指数分布，则*，且 X 的概率密度函数为*从而*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(X，y)：1x3，1y3
16、 上的均匀分布，试求随机变量 U=|X-Y|的概率密度 p(u)（分数：9.00）_正确答案：(由题设，X 和 Y 的联合分布是正方形 G 上的均匀分布，则(X，Y)的联合概率密度为设随机变量 U 的分布函数为 F(u)，则 F(u)=P(Uu)当 u0 时F(u)=0；当 u2 时，F(u)=1；当 0u2 时，如右图所示可知从而综上，随机变量 U=|X-Y|的概率密度为)解析：考点提示 随机变量的分布函数16.设向量组 1=(a，2，10) T，2=(-2, 1，5) T，3=(-1，1，4) T，=(1，6，c) T试问：当 a，b，c 满足什么条件时，(1) 可由 1，2， 3 线性表
17、示，且表示唯一?(2) 不能由 1，2， 3 线性表示?(3) 可由 1，2， 3 线性表示，但表示不唯一?并求出一般表达式（分数：9.00）_正确答案：(由题设，引入一组数 k1，k2，k3，使得k11+k22+k33=，此为关于是 k1，k2，k3 的非齐次线性方程组，写成矩阵乘积形式，则为 ，其中相应的增广矩阵为利用初等行变换可将 B 化为阶梯形：(1) 当 ，即 a-4 时，r(A)=r(B)=3，方程组有唯一解，即 可由 1，2，3 线性表示，且表示唯一；(2) 当 ，即 a=-4 时，原增广矩阵可继续化为)解析：考点提示 线性表示、非齐次线性方程组17.考虑一元二次方程 x2+Bx
18、+C=0，其中 B，C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q（分数：11.00）_正确答案：(详解 1 一枚骰子掷两次，其基本事件总数为 n=66=36，方程有实根的充分必要条件是 B24C，即 ；方程有重根的充分必要条件是 B2=4C，即 相应的基本事件数如下表：故方程有实根的概率方程有重根的概率详解 2 由题设条件知，B、C 是取值分别为 1、2、3、4、5、6 的相互独立的随机变量，取任一值的可能性均为方程有实根的充分必要条件是 B24C；方程有重根的充分必要条件是 B2=4C所以方程有重根的概率方程有实根的概率)解析：考点提示 B、C 是
19、可取值 1、2、3、4、5、6 的随机变量，且任取一值的可能性均为*，当 B24C，该方程有实根；当 B2=4C 时，该方程有重根所以问题的关键是判断 B24C 和 B2=4C 的基本事件数18.求函数 （分数：11.00）_正确答案：(由 ，则 ，令 y=0，得驻点 x1=0，x2=-1，列表如下：则单调递增区间为(-，-1)，(0，+)，单调递减区间为(-1，0)，极小值为 f(0)= ，极大值为由于 ，则得一条渐近线 y=e (x-2)又由于 )解析：19.已知 3 阶矩阵 B0，且 B 的每一个列向量都是以下方程组的解：（分数：10.00）_正确答案：()解析：考点提示 对于(1)，由
20、已知方程组有非零解，得系数行列式|A|=0，可求出 的值对于(2)，由已知可得 AB=0，如|B|0，即 B 可逆，得 A=0，这与已知 A0 相矛盾，得|B|=0解题分析 (1)因 B0故 B 中至少有一个非零列向量，依题意，所给齐次方程组有非零解，故必有系数行列式*由此可得 =1(2) 因 B 的每一列向量都是原方程的解，故 AB=0因 A0 则必有|B|=0事实上，倘若不然，设|B|0，则 B 可逆，故由 AB=0 两边右乘 B-1得 A=0，这与已知条件矛盾，可见必有|B|=020.假设：(1) 函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x-1；(2) 平行
21、于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex-1 分别相交于点 P1 和 P2；(3) 曲线 y=f(x)、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度求函数 y=f(x)的表达式（分数：11.00）_正确答案：(由已知条件，有方程两边对 x 求导得f(x)=ex-f(x)，即 f(x)+f(x)=ex，令 x=0，由原方程得 f(0)=0，于是，原问题就转化为求微分方程 f(x)+f(x)=ex 满足初始条件 f(0)=0 的特解由一阶线性微分方程的通解公式，得代入初始条件 f(0)=0，得从而 )解析：考点提示 由题设条件列出关系式，转化为微分方
22、程求解评注 本题由变化区间0，x上的面积得到变限积分*，转化为含有变限积分的函数方程问题，从而达到综合考查面积问题与微分方程问题的目的类似地，由变化区间上的体积等定积分的应用问题，也可以转化为含有变限积分的函数方程问题21.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等以 X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布(信号灯的工作是相互独立的)（分数：11.00）_正确答案：(显然 X 为离散型随机变量，其所有可能取值为 0，1，2，3以 Ai 表示“汽车在第 i 个路口遇到红灯”(i=
23、1，2，3)，则 A1，A2，A3 相互独立且因此即 X 的概率分布为)解析：考点提示 X 的可能取值为 0，1，2，3问题归结为求概率 PX=k)(k=0，1，2，3)若以 Ai 表示“汽车在第 i 个路口遇到红灯”(i=1，2，3)，可见A1，A2，A3 相互独立则事件 P(X=k)(k=0，1，2，3)可用 A1，A2，A3 相关事件的概率来表示评注 本题的关键在于假设事件 A1，A2，A3，并将 PX=k(k=0，1，2，3)转化为 A1，A2，A3 的相关事件的概率求随机变量的概率分布，其本质就是求事件的概率，应充分利用事件及其概率的性质求解22.设向量 =(a1，a2，an) T，
24、=(b1，b2，bn) T 都是非零向量，且满足条件 T=0记 n 阶矩阵 A= T求：(1) A2;(2) 矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：11.00）_正确答案：(1) 由题设， 都是非零向量，且 T=0，则 T=0，则A2=( T)( T)=( T) T=0，即 A2 为零矩阵(2) 由特征值与特征向量的定义，设 为 A 的特征值，x 为其相应的特征向量，则 Ax=x，x0，由前述知 A2=0，从而 Ax=AAx= 2x= 2x，即 =0，所以 A 的所有特征值都为 0又不失一般性，可设 a10，b10，则由初等行变换可化 A 为由此 Ax=0 的基础解系为)解析：考点提示 矩阵运算、特征值和特征向量23.设某产品的成本函数为 C=aq2+bq+c，需求函数为 （分数：11.00）_正确答案：(1) 利润函数为L=pq-C=(d-eq)q-(aq2+bq+c)=(d-b)q-(e+a)q2-c两边同时对 q 求导，得L=(d-b)-2(e+a)q，令 L=0，得因为 L“=-2(e+a)0，所以，当 时，利润最大，(2) 因为 ，所以需求对价格的弹性为(3) 由|=1，得 )解析：考点提示 首先建立各种函数关系，再用导数讨论即可
