1、考研数学三-186 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 是取自同一正态总体 N(， 2)的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足 （分数：4.00）A.B.C.D.2.a=-5是齐次方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在1，+)内可导，则下列结论中成立的是（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 ax 1x 2x 3b，y=f(x)在(a，b)内二阶可导且 f“(x)0 (x(a，b)，又（分数：4.00）A.B.C.D.6.设偶函数 f(x)
2、的二阶导数 f“(x)在 x=0的某一个邻域内连续，且 f(0)=1，f“(0)=2，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X服从参数为 A(A0)的指数分布，事件 A=X0，B=X2，C=X2，D=X=5，则下列结论一定正确的是（分数：4.00）A.A，B，C 相互独立B.A，B，D 相互独立C.B，C，D 相互独立D.A，B，C，D 两两独立8.已知 54矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(3，1，-2，1) T， 2=(0，1，0，1) T是齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，那么下列命题 1， 3线性无关 1可以由 2， 3线性表出 3， 4线性无关 秩
3、 r( 1， 1+ 2， 3- 4)=3中正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_11.设积分区域 D是由 x轴与直线 x=1，y=x 所围成，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 2x2y=(x+y)2满足定解条件 y(1)=1的特解是_。（分数：4.00）填空项 1:_13.已知矩阵 与 （分数：4.00）填空项 1:_14.设袋中有 8个红球和 2个黑球，每次从袋中摸取 1个球，取后不放回，则第 1次与第 3次都摸到红球的概率是_。（分数：4
4、.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求数列极限 （分数：9.00）_16.求二元函数 f(x，y)=x 3+y3-3xy在区域 D=(x，y)|0x2，-1y2 上的最大值与最小值。（分数：11.00）_17.计算二重积分 （分数：11.00）_设有正项级数 （分数：10.00）(1).求证： （分数：5.00）_(2).判断级数 （分数：5.00）_18.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明：至少存在一点 0，a，使得（分数：9.00）_已知向量 =(a 1，a 2，a 3，a 4)T可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0) T， 3=(0，2
5、，-1，-3)T， 4=(0，0，3，3) T线性表出。（分数：11.01）(1).求 a1，a 2，a 3，a 4应满足的条件；（分数：3.67）_(2).求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；（分数：3.67）_(3).把向量 分别用 1， 2， 3， 4和它的极大线性无关组线性表出。（分数：3.67）_设二次型矩阵 A满足 AB=0，其中 （分数：11.00）(1).用正交变换化二次型 xTAx为标准形，并写出所用正交变换；（分数：5.50）_(2).求(A-3E) 6。 （分数：5.50）_设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D
6、上的均匀分布，其中D=(x，y)|0yx2-y试求：（分数：11.01）(1).X+Y的概率密度；（分数：3.67）_(2).X的边缘概率密度；（分数：3.67）_(3).PY0.2|X=1.5 （分数：3.67）_19.设总体 X的概率密度函数为其中 0 为未知参数，又 x1，x 2，x n是取自总体 X的样本观察值，求未知参数 的矩估计值与最大似然估计值 （分数：11.00）_考研数学三-186 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 是取自同一正态总体 N(， 2)的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足
7、（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 因总体服从正态分布 N(， 2)，则*且*于是*故最小样本容量 n=8，选(B)。2.a=-5是齐次方程组 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 n 个方程 n个未知数的齐次方程组 Ax=0有非零解*|A|=0，又*可见 a=-5能保证|A|=0，但|A|=0 并不必须 a=-5，因而 a=-5是充分条件并非必要条件，故应选(B)。3.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 由题设知函数 f(x)在(-，+)上连续，故 G(x)在(-，+)内可导，且 G(x)=f(x)，于是(A)与(B)不正确。由于 G(x)=f(x)是
8、以点 x=0为分界点的分段函数，从而求 G“(0)要按照定义分别求单侧二阶导数 G“+(0)与 G“-(0)，计算可得*故 G“(0)存在，且 G“(0)=0，应选(D)。分析二 注意可把 f(x)改写成*由此即得*进而可直接计算*于是 G“(0)存在且 G“(0)=0，应选(D)。4.设 f(x)在1，+)内可导，则下列结论中成立的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 首先举例说明(A)，(B)皆错，设*则*但是*上无界，故(A)不成立。又设 f(x)=sinx，则*但是 sinx在1，+)上为有界函数，故(B)也不成立。下面讨论(C)或(D)，假设 f(x)在1，+)上有界，则
9、*M0，使得*1，+)有|f(x)|M。在区间x，2x上应用拉格朗日中值定理即知存在 (x，2x)，使得f(2x)-f(x)=f()(2x-x)=f()x令 x+，上式左边|f(2x)-f(x)|f(2x)|+|f(x)|2M；而右边因 x+时 +，所以*从而导出了矛盾，这表明 f(x)在1，+)上无界，即(C)不成立，故选(D)。*5.设 ax 1x 2x 3b，y=f(x)在(a，b)内二阶可导且 f“(x)0 (x(a，b)，又（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 由题设条件知，y=f(x)是(a，b)上的凸函数，且 k1，k 2，k 3分别是下图中所示线段*的斜率，由*得
10、k 1k 3k 2，因此选(B)。分析二 为比较 k1，k 3的大小关系，考察函数*为比较 k2，k 3的大小关系，考察函数*6.设偶函数 f(x)的二阶导数 f“(x)在 x=0的某一个邻域内连续，且 f(0)=1，f“(0)=2，则级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由于 f(x)为偶函数，可知 f(-x)=f(x)，又由 f(x)在 x=0的某邻域内有二阶连续导数，可知在该邻域 f(x)为奇函数(f(x)=-f(-z)，从而知 f(0)=0，又由题设 f“(0)=2可知 x=0为 f(x)的极小值点，由于 f(0)=1，则在 x=0的某邻域内必有 f(x)1，因此存在
11、N0，当 nN 时，总有*为正项级数。考察两个正项级数*由题设条件及上述推导，可得*取*可知*收敛，由正项级数极限形式的比较判别法知*收敛，进而可知*收敛，且为绝对收敛，因此选(B)。*7.设随机变量 X服从参数为 A(A0)的指数分布，事件 A=X0，B=X2，C=X2，D=X=5，则下列结论一定正确的是（分数：4.00）A.A，B，C 相互独立B.A，B，D 相互独立 C.B，C，D 相互独立D.A，B，C，D 两两独立解析：分析 依题设，A=，P(A)=1，P(D)=0，由于概率为 0或 1的事件与任何事件都是相互独立的，故应选(B)，又因*且 P(B)与 P(C)均大于零，因此 P(B
12、C)=0P(B)P(C)，即 B与 C不独立，因此选项(A)、(C)、(D)均不正确。8.已知 54矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(3，1，-2，1) T， 2=(0，1，0，1) T是齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，那么下列命题 1， 3线性无关 1可以由 2， 3线性表出 3， 4线性无关 秩 r( 1， 1+ 2， 3- 4)=3中正确的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由 1， 2是齐次方程组 Ax=0的解，有*(*)-(*)得 3 1-2 3=0 或*故命题错误，命题正确。由 1， 2是齐次方程组 Ax=0的基础解系，知 n-r(A)=2，那么秩r
13、( 1， 2， 3， 4)=r(A)=2如果 3， 4线性相关，则 4=k 3，又* 2=- 4，与秩 r( 1， 2， 3， 4)=2相矛盾，故命题正确。用排除法知错误，当然也可用初等变换判断出 r( 1， 1+ 2， 3- 4)=r( 1， 2，0)2，得到命题错误。综上分析，可知应选(C)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1，1或-1x1。）解析：分析 求函数 f(x)的定义域，即求使极限存在的 x。当 x1 时，ln(e x+xn)nlnx，故极限*不存在，即 f(x)无定义；当-xx1 时，ln(e x+xn)是
14、有界函数，故*，即 f(x)有定义；当 x-1 且，1 为奇数时 ex+xn0，故函数 f(x)也无定义。因此 f(x)的定义域是：(-1，1或-1x1。10.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：分析 函数 f(x)是以 x=0为分界点的分段函数，在点 x=0处的各阶导数要用定义计算，利用极限的四则运算法则与洛必达法则可得*故*11.设积分区域 D是由 x轴与直线 x=1，y=x 所围成，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于在被积函数的表达式中变量以 x2+y2的形式出现，故可考虑在由 x=rcos，y=rsin定义的极坐标系(r，
15、)中求积分，这时平面图形 D可表示为*d=rdrd，计算可得*12.微分方程 2x2y=(x+y)2满足定解条件 y(1)=1的特解是_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 题设方程可改写为*这是齐次微分方程，令 y=zu，则 y=xu+u，代入即得*分离变量得*2arctan u=ln|x|+C从而原方程的通解为*，它包含定义域分别为 x0 与 x0 的两族函数*将 y(1)=1代入前者有 2arctan 1=C，即得*故所求的特解为*13.已知矩阵 与 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-3，0)(0，3)）解析：分析 由*可知矩阵 A的特征值为 3
16、，3，0，二次型 xTAx正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0。又由*可知矩阵 B的特征值为 3-a，3+a，0。当*即-3a3 时，A 与 B有相同的正、负惯性指数，A 与曰合同，因为 A与 B不相似，所以 A和 B特征值不相同，因此 a0。*14.设袋中有 8个红球和 2个黑球，每次从袋中摸取 1个球，取后不放回，则第 1次与第 3次都摸到红球的概率是_。（分数：4.00）_解析：三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求数列极限 （分数：9.00）_正确答案：(直接计算不易实现，先作恒等变形即分部积分，有*现不必求出*只需对它用适当放大缩小法，利用*即知*又*于是*因此*)解析
17、：16.求二元函数 f(x，y)=x 3+y3-3xy在区域 D=(x，y)|0x2，-1y2 上的最大值与最小值。（分数：11.00）_解析：17.计算二重积分 （分数：11.00）_解析：设有正项级数 （分数：10.00）(1).求证： （分数：5.00）_正确答案：(级数*的部分和 Tn易求出*因为*)解析：(2).判断级数 （分数：5.00）_正确答案：(考察级数*由 Sn与 an的关系：Sn=a1+a2+an-1+an，a n=Sn-Sn-1，将一般项*改写成只与 Sn有关，即*因正项级数的部分和数列 Sn单调上升，上式可放大成*由题(1)*收敛，再由比较原理知，*收敛，因此，原级数
18、绝对收敛。)解析：18.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明：至少存在一点 0，a，使得（分数：9.00）_正确答案：(证明一 利用 f(x)=f(0)+f( 1)(x-0)=f(0)+f( 1)x可得*因 f(x)在0，a上连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理知，存在 m和 M，使，mf(x)M，于是在0，a上有 mxxf( 1)Mx，故*即*由连续函数的介值定理知，至少存在一点 0，a，使得*即*于是*证明二 *因为 f(x)连续，x-a0(x0，a)，故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使得*于是 *证明三 令*则 F(x)可用麦克劳林公式表示为*即*)解析：分析 所给
19、问题为 f(x)的定积分与 f()之间的关系，可以考虑成原函数*与 F“()之间的关系，从而可利用二阶泰勒公式证明。如果认定为考察 f(x)与 f()之间关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明。也可以用积分中值定理*来证明此题。已知向量 =(a 1，a 2，a 3，a 4)T可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0) T， 3=(0，2，-1，-3)T， 4=(0，0，3，3) T线性表出。（分数：11.01）(1).求 a1，a 2，a 3，a 4应满足的条件；（分数：3.67）_正确答案：( 可由 1，2，3，4 线性表出，即方程组 x1 1+x2 2+x
20、3 3+x4 4= 有解，对增广矩阵作初等行变换，有*所以向量 可以由 1， 2， 3， 4线性表出的充分必要条件是：a 1-a2+a3-a4=0)解析：(2).求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；（分数：3.67）_正确答案：(向量组 1， 2， 3， 4的极大线性无关组是： 1， 2， 3，而 4=-6 1+6 2-3 3 )解析：(3).把向量 分别用 1， 2， 3， 4和它的极大线性无关组线性表出。（分数：3.67）_正确答案：(方程组的通解是x1=a1-a2+2a3-6t，x 2=a2-2a3+6t，x 3=a3-3t，x 4
21、=t，其中 t为任意常数，所以 =(a 1-a2+2a3-6t) 1+(a2-2a3+6t) 2+(a3-3t) 3+t 4，其中 t为任意常数，由把 4代入，得=(a 1-a2+2a3) 1+( 2-2a3) 2+a3 3)解析：设二次型矩阵 A满足 AB=0，其中 （分数：11.00）(1).用正交变换化二次型 xTAx为标准形，并写出所用正交变换；（分数：5.50）_正确答案：(由*知，矩阵 B的列向量是齐次方程组 Ax=0的解向量。记*则 A 1=0=0 1，A 2=0=0 2所以 =0 是矩阵 A的特征值(至少是二重)， 1， 2是 =0 的线性无关的特征向量。根据*，有 0+0+
22、3=1+4+1，故知矩阵 A有特征值 =6，因此，矩阵 A的特征值是 0，0，6。设 =6 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有*对 1， 2正交化，令 1=(1，0，1) T，则*再对 1， 2， 3单位化，得*那么经坐标变换 x=Qy，即*二次型化为标准形*)解析：(2).求(A-3E) 6。 （分数：5.50）_正确答案：(因为 AA，有 A-3EA-3E，进而(A-3E) 6(A-3E) 6，又 A-3E=*，所以由 Q-1AQ=A得 Q-1(A-3E)6Q=(A-3E)6=36E。于是(A-3E)6=Q(A-3E)6Q-1=Q
23、(36E)Q-1=36E)解析：*设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D上的均匀分布，其中D=(x，y)|0yx2-y试求：（分数：11.01）(1).X+Y的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：(如图，区域 D即AOB 的面积 SD=1，因此(X，Y)的概率密度为*X+Y的分布函数记为 F(z)，则当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0z2 时，*于是 X+Y的概率密度 f(z)为*或者直接用随机变量和的卷积公式求 X+Y的概率密度，由于 f(x，z-x)只有在 0z-xx2-(z-x)时才不为 0，即只有当*时，*)解析：(2).X的边缘概率密度；（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：(3).PY0.2|X=1.5 （分数：3.67）_正确答案：(当 X=1.5时 fX(1.5)=0.5，条件密度*故*)解析：*19.设总体 X的概率密度函数为其中 0 为未知参数，又 x1，x 2，x n是取自总体 X的样本观察值，求未知参数 的矩估计值与最大似然估计值 （分数：11.00）_正确答案：(1)*解出*于是 的矩估计值为*(2) 似然函数为*令*于是 的最大似然估计值为*)解析：
