1、考研数学三-188 及答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在(-，+)上可导，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(u)可导，且 y+z=xf(y2-z2)确定隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设级数 条件收敛， ，n=1，2，3，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 1， 2， 3， 4是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是 A. 如果 4不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3线性相关 B.
2、 如果 1， 2， 3线性相关， 2， 3， 4线性相关，那么 1， 2， 4也线性相关 C. 如果 3不能由 1， 2线性表出， 4不能由 2， 3线性表出，则 1可以由 2， 3， 4线性表出 D. 如果秩 r( 1， 1+ 2， 2+ 3)=r( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)，则 4可以由 1， 1， 3线性表出（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.7.袋中有 2 个白球和 1 个红球，现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 服从参数
3、=2 的指数分布，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本， 和 S2分别为样本均值和样本方差，已知 ，则 a 的值为（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有连续导数且 f(0)=0，f(0)0， （分数：4.00）填空项 1:_10.已知方程 x3-6x2+9x-k=0 有且只有一个正根，则实数 k 的取值范围是_。（分数：4.00）11.反常积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)可微， （分数：4.00）填空项 1:_13.设 ， 都是 n 维非零列向量，矩阵 A=2E- T，其中 E 是 n 阶
4、单位矩阵，若 A2=A+2E，则 T=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其密度函数为 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：6，分数：94.00)15.1. 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足*求极限* 令*从而利用已知极限*与洛必达法则等可得*设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足 求极限 （分数：10.00）_设函敖 (x)可导，且满足 (0)=0，又 (x)单调减少。（分数：20.01）(1).证明对 x(0，1)，有 (1)xx(x)(0)x；（分数：6.67）_(2).若 (1)0，(0)1，任
5、取 x0(0，1)，令 xn=(x n-1)，n=1，2，证明 （分数：6.67）_(3).设 D 是由直线 y=x+3， 围成的平面区域，计算二重积分 （分数：6.67）_已知曲线 y=f(x)(x0)是微分方程2y“+y-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点的切线斜率为 0。（分数：20.01）(1).求曲线 y=f(x)到 x 轴的最大距离；（分数：6.67）_(2).计算 （分数：6.67）_(3).设幂级数 （分数：6.67）_设 A 是 n 阶反对称矩阵，（分数：11.01）(1).证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A*是对称矩阵；
6、（分数：3.67）_(2).举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；（分数：3.67）_(3).证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值。（分数：3.67）_已知矩阵 （分数：11.00）(1).证明矩阵 A 与 B 合同，并求可逆矩阵 C，使 CTAC=B；（分数：5.50）_(2).如果 A+kE 与 B+kE 合同，求 k 的取值。（分数：5.50）_设随机变量 X 的概率密度为 （分数：22.00）(1).随机变量 X 和 Y 的联合密度 f(x，y)；（分数：5.50）_(2).随机变量 y 的概率密度 f2(y)；（分数：5.50）_(3).X，Y 的相关系数 X
7、Y（分数：5.50）_(4).设 X1，X 2，X n相互独立，且均服从参数为 p(0p1)的 0-1 分布，记（分数：5.50）_考研数学三-188 答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 * 即*，但 f(0)=1，故 f(x)在点 x=0 处极限存在，但不连续，应选(C)。2.设函数 f(x)在(-，+)上可导，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 可举反例否定错误结论，也可直接证明正确结论。设 f(x)=-ln(x2+1)，则有*但*这表明结论(A
8、)不正确。设 f(x)=ln(x2+1)，则有*但*这表明结论(B)不正确。设 f(x)=e-x，则有*但*这表明结论(C)不正确。现直接证明(D)正确，由*知，存在常数 x0，使得 xx 0时 f(x)-1 成立，从而在区间x，x 0上对函数 f(x)用拉格朗日中值定理可得，存在 (x，x 0)，使 f(x)-f(x0)=f()(x-x 0)，注意 f()-1，代入即得 f(x)-f(x0)-(x-x 0)*(x)f(x 0)-x+x0，在不等式两端令 x-取极限就得*3.设函数 f(u)可导，且 y+z=xf(y2-z2)确定隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：4.00）A.B.C. D
9、.解析：解析 令 u=y2-z2，方程 y+z=xf(y2-z2)就可以改写成 y+z=xf(u)，把它看成关于自变量 x 与 y 的恒等式，两端求全微分即得dy+dz=f(u)dx+xf(u)du*dy+dz=f(y2-z2)dx+f(y2-z2)(2ydy-2zdz)，整理得1+2xzf(y2-z2)dz=f(y2-z2)dx+2xyf(y2-z2)-1dy，从而 *这样一来就有*故应选(C)。4.设级数 条件收敛， ，n=1，2，3，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如果*都收敛，则由|u n|=an+bn知*必收敛，矛盾，如果*收敛，*发散，则因*都收敛知*也收敛，与
10、*发散矛盾，同理*收敛，*发散也导致矛盾。所以只可能是*同时发散，故应选(A)。5.已知 1， 2， 3， 4是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是 A. 如果 4不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3线性相关 B. 如果 1， 2， 3线性相关， 2， 3， 4线性相关，那么 1， 2， 4也线性相关 C. 如果 3不能由 1， 2线性表出， 4不能由 2， 3线性表出，则 1可以由 2， 3， 4线性表出 D. 如果秩 r( 1， 1+ 2， 2+ 3)=r( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)，则 4可以由 1， 1， 3线性表出（分数：4.00）A.B. C.D.解
11、析：解析 例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1) T，可知(B)不正确，应选(B)。关于(A)：如果 1， 2， 3线性无关，又因 1， 2， 3， 4是 4 个 3 维向量必线性相关，而知 4必可由 1， 2， 3线性表出。关于(C)：由已知条件，有()r( 1， 2)r( 1， 2， 3)，()r( 2， 3)r( 2， 3， 4)若 r( 2， 3)=1，则必有 r( 1， 2)=r( 1， 2， 3)，与条件()矛盾。故必有 r( 2， 3)=2，那么由()知 r( 2， 3， 4)=3，从而 r( 1， 2， 3， 4)
12、=3。因此 1可以由 2， 3， 4线性表出。关于(D)：经初等变换有( 1， 1+ 2， 2+ 3)( 1， 2， 2+ 3)( 1， 2， 3)，( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)( 4， 1， 2， 3)( 1， 2， 3， 4)，从而 r( 1， 2， 3)=r( 1， 2， 3， 4)因而 4可以由 1， 2， 3线性表出。6.已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如 A=，则 A(k)=A(k)，即若 是 A 属于特征值 A 的特征向量，则 k(k0)仍是矩阵 A 属于特征值 的特征向量。如 A 1= 1，A 2= 2，则 A(k1 1+k2 2)=(k
13、1 1+k2 2)，即若 1， 2是 A 属于特征值 的特征向量，则 k1 1+k2 2(非零时)仍是 A 属于特征值 的特征向量。注意，如 A 1= 1 1，A 2= 2 2， 1 2，则 1+ 2， 1- 2等都不是矩阵 A 的特征向量。所以(A)，(B)，(C)均正确，唯(D)中 2+ 3不再是矩阵 A 的特征向量，故(D)不正确，应选(D)。*7.袋中有 2 个白球和 1 个红球，现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 Ai表示第 i 次取到白球，i=1，2，n，则*由乘法公式*故
14、*所以应选(D)。8.设总体 X 服从参数 =2 的指数分布，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本， 和 S2分别为样本均值和样本方差，已知 ，则 a 的值为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 依题意有*又由题设 *解得 a=-1 故选(A)。二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有连续导数且 f(0)=0，f(0)0， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 先求出 F(x)： * 依题意，有 * 因此 k=2 分析二 不必求 F(x)，而是利用无穷小量阶的运算性质。 注意：由 f(0)=0，f(0)0*x0 时 f
15、(x)是 x 的 1 阶无穷小量；又 f(x)连续*是x 的 2 阶无穷小量，*是 x 的 3 阶无穷小量，*是 x 的 4 阶无穷小量，从而 F(x)是 x 的 3 阶无穷小量，故当 x0 时，F(x)是 x 的 2 阶无穷小量，因此 k=2。 *10.已知方程 x3-6x2+9x-k=0 有且只有一个正根，则实数 k 的取值范围是_。（分数：4.00）解析：解析 引入函数 f(x)=x3-6x2+9x，则方程*因 f(x)=3x2-12x+9=3(x2-4x+3)=3(x-1)(x-3)，故函数 f(x)有两个驻点 x1=1 与 x2=3，列表讨论 f(x)的单调性如下： x (-，1)
16、1 (1，3) 3 (3，+)f + 0 - 0 +f 4 0 此外，还有 f(0)=0，*和*，从而 f(x)的图形如下。*不难看出，当 k0 时 f(x)=k 有唯一根，且为负；当 k=0 时 f(x)=k 有两个根 x1=0 与 x2=3；当 0k4时 f(x)=k 有三个根，且都是正根；当 k=4 时 f(x)=k 有两个根，一个是 x1=1，另一个根 x23；当 k4时 f(x)=k 有唯一根，且为正，故 k 的取值范围为(4，+)。11.反常积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 令 x=tan 作换元，于是 x：0+*且 dx=d(tan)=*1+x
17、2=1+tan2=*代入即得*12.设 f(x，y)可微， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 f(x，x 2)是二元函数 f(x，y)与一元函数 x=x，y=x 2复合而成的一元函数，由 f(x，x 2)=1 及复合函数求导法得*于是*13.设 ， 都是 n 维非零列向量，矩阵 A=2E- T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 A2=A+2E，则 T=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 由 A2=A+2E 得 (A-2E)(A+E)=0，将 A=2E- T代入，有- T(3E- T)=0，即 3 T= T T=( T) T因为 ， 都不
18、是零向量，所以矩阵 T0，于是 T=3，从而 T=( T) T=3亦可直接由 A2=A+2E 即(2E- T)2=(2E- T)+2E 化简。14.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其密度函数为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 利用二维正态分布的标准形式对指数式配方，且该正态分布的相关系数 =0，即 X，Y 独立，由于2x2+y2+8x-4y+14=2(x+2)2+(y-2)2+2从而 *由二维正态分布的标准式可知，*故 *分析二 利用密度函数的积分等于 1 来定出常数是一种常用的方法。*根据泊松积分*可得*于是有 *三、B解答题/B(总题数：6，分数：94.
19、00)15.1. 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足*求极限* 令*从而利用已知极限*与洛必达法则等可得*设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足 求极限 （分数：10.00）_正确答案：(令*从而利用已知极限*与洛必达法则等可得 *)解析：设函敖 (x)可导，且满足 (0)=0，又 (x)单调减少。（分数：20.01）(1).证明对 x(0，1)，有 (1)xx(x)(0)x；（分数：6.67）_正确答案：(方法 1。当 x(0，1)时 (1)x(x)(0)x*当 x(0，1)时 (1)*考察 *其中 x(0，1)，(0，x)，由 (x)单调减少可得 (x)-()0，因
20、此*，故*在(0，1单调减少，从而当 x(0，1)时有*于是 (1)x(x)(0)x方法 2。由于(x)-(0)x=(x)-(0)-(0)x=x()-x(0)=x()-(0)0，其中 x(0，1)，(0，x)，因此有(x)(0)x (x(0，1)令 F(x)=(x)-(1)x*F(x)可导，且 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理知*x 0(0，1)，F(x 0)=0，又 F(x)=(x)-(1)在(0，1)单调减少，于是*F(x)0(x(0，1)，即 (x)(1)x(x(0，1)解析：(2).若 (1)0，(0)1，任取 x0(0，1)，令 xn=(x n-1)，n=1，2，证明 （分数：6.
21、67）_正确答案：(x n(0，1)，由 xn+l=(x n)(0)x nx n知x n单调减少，又由xn+1=(x n)(1)x n n+1(1)x00知x n有下界，故*存在，设*，则 1A0，由 xn=(x n-1)，令 n得 A=(A)，若 A(0，1)，则有 A=(A)(0)AA，矛盾，故 A=0，即*)解析：(3).设 D 是由直线 y=x+3， 围成的平面区域，计算二重积分 （分数：6.67）_正确答案：(由题设知*从而 *)解析：已知曲线 y=f(x)(x0)是微分方程2y“+y-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点的切线斜率为 0。（分数：20.01
22、）(1).求曲线 y=f(x)到 x 轴的最大距离；（分数：6.67）_正确答案：(由题设知函数 f(x)是微分方程初值问题*当 x0 时的特解，方程的特征方程是 2 2+-1=0，其特征根为*与 2=-1，由设非齐次方程特解的规则可知方程有形式为 y*=(Ax+Bx2)e-x的特解，代入方程可确定常数 A=0，B=1，即有特解 y*=x2e-x，不难发现 y*满足初值 y(0)=y(0)=0，从而初值问题，的解就是 y*=x2e-x，即所求曲线的方程为y=f(x)=x2e-x(x0)，由于*可见曲线 y=f(x)(x0)到 x 轴的最大距离在 x=2 处取得，且此最大距离为 f(2)=4e-
23、2。)解析：(2).计算 （分数：6.67）_正确答案：(*)解析：(3).设幂级数 （分数：6.67）_正确答案：(求解本题的关键是确定幂级数*的系数 an(n=0，1，2，)，在系数的递推公式 an=an-1+n-1中依次令 n=1，2，3，即得a1=a0=2，*由此可猜想*对 n=2，3，4，成立，用数学归纳法只需证明若*成立，则*也成立即可，事实上，由(n+1)a n+1=an+n 可得*即系数a n的递推公式对任何 n2 成立，从而幂级数*即和函数*)解析：*设 A 是 n 阶反对称矩阵，（分数：11.01）(1).证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A*是对称
24、矩阵；（分数：3.67）_正确答案：(按反对称矩阵定义：A T=-A，那么|A|=|AT|=|-A|=(-1)n|A|，即1-(-1) n|A|=0若 n=2k+1，必有|A|=0，所以 A 可逆的必要条件是 n 为偶数。因 AT=-A，由(A *)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(-A)*又因(kA) *=kn-1A*，故当 n=2k+1 时，有(A*)T=(-1)2kA*=A*，即 A*是对称矩阵。)解析：(2).举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；（分数：3.67）_正确答案：(例如，*是 4 阶反对称矩阵，且不可逆。)解析：(3).证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必
25、是 A 的特征值。（分数：3.67）_正确答案：(若 是 A 的特征值，有|E-A|=0，那么|-E-A|=|(-E-A) T|=|-E-A T|=|-E+A|=|-(E-A)|=(-1) n|E-A|=0，所以- 是 A 的特征值。)解析：已知矩阵 （分数：11.00）(1).证明矩阵 A 与 B 合同，并求可逆矩阵 C，使 CTAC=B；（分数：5.50）_正确答案：(由矩阵 A 和 B 分别得到二次型*那么经坐标变换*有 *所以矩阵 A 与 B 合同令*则有 CTAC=B)解析：(2).如果 A+kE 与 B+kE 合同，求 k 的取值。（分数：5.50）_正确答案：(由*知矩阵 A 的
26、特征值是 1，1，-1，进而可知 A+kE 的特征值是 k+1，k+1，k-1；B+kE 的特征值是k+2，k+1，k-2。当 k2 时，二次型 xT(A+kE)x 与 xT(B+kE)x 均有正惯性指数 p=3，而负惯性指数 q=0；当-1k1 时，二次型 xT(A+kE)x 与 xT(B+kE)x 均有正惯性指数 p=2，而负惯性指数 q=0；当 k-2 时，二次型 xT(A+kE)x 与 xT(B+kE)x 均有正惯性指数 p=0，而负惯性指数 q=3。所以 A+kE 与 B+kE 合同*k2-1k1k-2。)解析：设随机变量 X 的概率密度为 （分数：22.00）(1).随机变量 X
27、和 Y 的联合密度 f(x，y)；（分数：5.50）_正确答案：(由条件知，对任意 x0，随机变量 Y 关于 X=x 的条件分布是区间(0，x)上的均匀分布，故 * 由密度函数的乘法公式，有 *)解析：(2).随机变量 y 的概率密度 f2(y)；（分数：5.50）_正确答案：(当 y0 时，显然 f2(y)=0；当 y0 时，*所以*由此可知，Y 服从参数为 =2 的指数分布，)解析：(3).X，Y 的相关系数 XY（分数：5.50）_正确答案：(* 由于 Y 服从指数分布，=2，故* 又* 从而* 于是*)解析：(4).设 X1，X 2，X n相互独立，且均服从参数为 p(0p1)的 0-
28、1 分布，记（分数：5.50）_正确答案：(先求 EY，记 q=1-p，由PYi=1=PXi+Xi+1=1=PXi=1，X i+1=0+PXi=0，X i+1=1=PXi=1PXi+1=0+PXi=0PXi+1=1=2pq可知，Y i(i=1，2，n-1)服从参数为 2pq 的 0-1 分布，因此当 ji+1，随机变量 Yj与 Yi独立，故 cov(Yi，Y j)=0当 J=i+1 时，有PYiYi+1=1=PY1Y2=1=PY1=1，Y 2=1=PX1+X2=1，X 2+X3=1=PX1=1，X 2=0，X 3=1+PX1=0，X 2=1，X 3=0=p2q+Pq2=Pqeov(Yi，Y i+1)=EYiYi+1-EYiEYi+1=PYi+1=1-(2pq)2=pq-42q2=Pq(1-4pq)，故*)解析：
