1、考研数学三-231 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 处处连续，则 f(0)=_ A0 B不存在 C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 是微分方程 的解，则 的表达式为 _ （分数：4.00）A.B.C.D.4.二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r1，则_ A.rr 1 B.rr 1 C.r=r1 D.r
2、 与 r1的关系依 C 而定（分数：4.00）A.B.C.D.6.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则_ A. 必可由 ， 线性表示 B.p 必不可由 ， 线性表示 C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是_ A 与不相容 B 与 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布分为 则下列式子正确的是_ AX=Y BPX=Y=0 C （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.求 （分数：
3、4.00）填空项 1:_10.求数列 （分数：4.00）填空项 1:_11.计算 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 u=f(x-y，y-z，t-z)，求 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B，A+B 都是可逆矩阵，试求(A -1+B-1)-1=_.（分数：4.00）填空项 1:_14.将 n 个球随机地放入 N 个盒中，每个球放入各个盒是等可能的，求有球的盒子数 X 的数学期望_.（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求积分 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：在(a，b)内存在一
4、个 ，使得 （分数：10.00）_17.计算下列积分 （分数：10.00）_18.把 （分数：10.00）_19.设 y+2my+n 2y=0，y(0)=a，y(0)=b求 （分数：10.00）_20.设四元线性方程组()为 （分数：11.00）_21.设向量 =(a 1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T都是非零向量，且满足条件 T=0，记 n 阶矩阵 A= T，求：(1)A 2；(2)矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：11.00）_22.设 X 与 Y 相互独立，且都服从(0，a)上的均匀分布，试求 Z=X/Y 的分布密度与分布函数.（分数：11.00）_23.设 X1，
5、X 2，X n为总体 X 的一个样本，X 的概率密度为 f(x，)= （分数：11.00）_考研数学三-231 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然 x=0 是函数*的间断点因为 * 故 x=0 是该函数的无穷型间断点，即 x=0 是该曲线的铅直渐近线 又因* 故原曲线有水平渐近线 y=1，故选 D2.设函数 处处连续，则 f(0)=_ A0 B不存在 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 * * 所以*，故选 D3.已知 是微分方程 的解，则 的表达
6、式为 _ （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 将*代入微分方程*，得 * 即* 也即*(令 lnx=u). 于是*. 故选 A4.二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 取* 因*，(k 为常数) 而此极限值随 k 的变化而变化，即*不存在，因而 f(x，y)在点(0，0)处不连续 但因* 故*同理*可见 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在 取* 因为*(无穷小与有界函数之积仍为无穷小)， 所以 f(x，y)在点(0，0)处连续 但* 显然此极限不存在，即*不存在同理可知*也不存在. 由上述两例可见，多元函数在某
7、点处连续和偏导数存在之间无必然的关系 故选 D5.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r1，则_ A.rr 1 B.rr 1 C.r=r1 D.r 与 r1的关系依 C 而定（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 B=AC=EAC， 其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵 B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A) 故 C 入选 本题也可利用矩阵的初等变换进行推演 因 B=AC，且 C可逆，而可逆矩阵等于有限个初等矩阵的乘积，故用可逆矩阵 C 右乘矩阵 A 相当于对 A 实施有限次
8、初等列变换，根据初等变换不改变矩阵的秩， 可知 r(AC)=r(A) 故选 C.6.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则_ A. 必可由 ， 线性表示 B.p 必不可由 ， 线性表示 C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 ， 线性无关知， 和 线性无关又由 ， 线性相关知， 可由 和 线性表示(且表示式唯一，为什么？)，从而可由 ， 线性表示，故 C 入选，对于选项A，B，可用反倒说明，如取 =0，由 ， 线性无关可知， 不能由 ， 线性表示，此时也不能由 ， 线性表示，A 不正确取 =，显然 可由 ， 线性表示，B 也不
9、正确故选C7.设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是_ A 与不相容 B 与 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为*，所以 * 从而 P(A-B)=P(A)，D 入选， 对于 A，B 可用反例排除，如取=1，2，3，A=1，B=2，则*，但*，故 A 不正确 若取 A=1，B=2，3，显然*，但*，故*，即*与*不相容，B 也不正确. 对于 C，由于*，所以 P(AB)0，但由题设可知，P(A)P(B)0，因此 C 也不正确故选 D8.设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布分为 则下列式子正确的是_ AX=Y BPX=Y=0 C （分数
10、：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为随机变量 X 和 Y 可以取不同的值，所以排除 A，D. 又因为 X 和 Y 也可以取相同的值，所以排除 B，故 C 正确事实上，由于 X=Y=X=-1，Y=-1X=1，Y=1， 考虑到事件X=-1，Y=-1与X=1，Y=1互斥以及随机变量 X 和 Y 相互独立，有 PX=Y=PX=-1，Y=-1+PX=1，Y=1 =PX=-1PY=-1+PX=1PY=1 * 故选 C.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.求 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 本题是*型极限，若直接用洛必达法则，可知所得结果比没用法则前还
11、复杂，这违背了运算的原则，也不符合所介绍的其他两种方法，因此只有变量替换法可用了 *10.求数列 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n=5）解析：解析 令*(由数列的分母可知 x2)， *令 x5 时，f(x)0， 因为当 2x5 时，f(x)0，当 x5 时，f(x)0， 所以 x=5 为 f(x)的极小值点，*， 故数列*的最小项的项数为n=511.计算 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 积分域是 x2+y2a 2，显然关于 x 轴，y 轴，原点对称，于是*又*故*12.设 u=f(x-y，y-z，t-z)，求 （分数：4.00）填空项 1:_ （正
12、确答案：0）解析：解析 * * 故*13.设 A，B，A+B 都是可逆矩阵，试求(A -1+B-1)-1=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：A(A+B) -1B）解析：解析 用定义法，设(A -1+B-1)-1=X，则(A -1+B-1)X=I，上式两边左乘 A，得 A(A-1+B-1)X=(AA-1+AB-1)X=(I+AB-1)X=A，于是(I+AB -1)X=(BB-1+AB-1)X=(A+B)B-1X=A，由(A+B)B -1X=A 两边左乘(A+B) -1，再左乘 B，得 X=B(A+B)-1A.故(A -1+B-1)-1=X=A(A+B)-1B.14.将 n 个球随
13、机地放入 N 个盒中，每个球放入各个盒是等可能的，求有球的盒子数 X 的数学期望_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 引入随机变量*i=1，2，N. 显然 X=X1+X2+XN因为*，i=1，2，于是*，故*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求积分 （分数：10.00）_正确答案：(* 因为* * 所以 I=0)解析：16.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：在(a，b)内存在一个 ，使得 （分数：10.00）_正确答案：(令* 由 f(x)的连续性及变上限与变下限积分的性质可知 F(x)在a，b上连续， 又*，(因为 f(x)
14、0) *，(因为 f(x)0) 可知 F(x)满足零值定理，于是存 (a，b)，使 F()=0，即* 亦即* 又* 故*)解析：17.计算下列积分 （分数：10.00）_正确答案：(积分区域如图所示，因为积分*与*都不能用有限形式表示出来，所以在直角坐标系下积分无法计算，但注意到*，因此所求积分在极坐标系下有可能积出来 * 直线 x+y=1 的极坐标方程为*，x 轴，y 轴分别为 =0，*于是 D 的极坐标表达式为 *)解析：18.把 （分数：10.00）_正确答案：(* * 于是，* * 又*，故*)解析：19.设 y+2my+n 2y=0，y(0)=a，y(0)=b求 （分数：10.00）
15、_正确答案：(特征方程为*原方程通解为 y=C1e 1x+C2e 2x，由初始条件，有C1+C2=a， 1C1+ 2C2=b，故*)解析：20.设四元线性方程组()为 （分数：11.00）_正确答案：(1)方程组()的系数矩阵为*故()的基础解系为 1=(0，0，1，0)， 2=(-1，1，0，1)(2)方法一：由()，()的通解表达式相等，得k1(0，1，1，0)+k 2(-1，2，2，1)=k 3(0，0，1，0)+k 4(-1，1，0，1)即*因为*故上述方程组的解为 k(-1，1，1，1)，于是()，()的所有非零公共解为 k(-1，1，1，1)，k0 为任意常数方法二：将()的通解代
16、入方程组()，则有*解得 k1=-k2，则向量k1(0，1，1，0)+k 2(-1，2，2，1)=-k 2(0，1，1，0)+k 2(-1，2，2，1)=k 2(-1，1，1，1)是方程组()，()的公共解，当 k20，有 k2(-1，1，1，1)0，故方程组()，()的所有非零公共解是 k(-1，1，1，1)，其中 k 是任意非零常数)解析：21.设向量 =(a 1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T都是非零向量，且满足条件 T=0，记 n 阶矩阵 A= T，求：(1)A 2；(2)矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：11.00）_正确答案：(1)由 A= T和 T=0，有A
17、2=AA=( T)( T)=( T) T=( T) T=( T) T( T)=0，即 A2=0(2)设 为 A 的任一特征值，A 的属于特征值 的特征向量为 x(0)，则*因为 A2=0，所以 2X=0，又 x0，故 2=0，=0，即矩阵 A 的特征值全为零，不妨设向量 ， 中分量 a10，b 10，对齐次线性方程组(0E-A)x=0 的系数矩阵施行初等行变换*由此得该方程组的基础解系为*于是，A 的属于特征值 =O 的全部特征向量为 k1 1+k2 2+kn-1 n-1(k1，k 2，k n-1是不全为零的任意常数)解析：22.设 X 与 Y 相互独立，且都服从(0，a)上的均匀分布，试求 Z=X/Y 的分布密度与分布函数.（分数：11.00）_正确答案：(由题意*所以*分布函数*(i)当 z0 时，F Z(z)=0；(ii)当 0z1 时，*；(iii)当 z1 时，*于是*)解析：23.设 X1，X 2，X n为总体 X 的一个样本，X 的概率密度为 f(x，)= （分数：11.00）_正确答案：(似然函数为*，xi，取对数得*，则*，*可见*，x i，i=1，2，n. 所以当=minx 1，x n时，ln 取最大值由*可得*于是 ， 的最大似然估计量为：*)解析：
