1、考研数学三-250 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，f(x)=ln(1+x)-(ax 2 +bx)与 g(x)=xtan x 是等价的无穷小，则常数 a，b 的取值为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.使函数 f(x)=x 3 +ax+b 在区间(-，+)内只有一个零点 x 0 (且 x 0 0)的常数 a，b 的取值范围是（分数：4.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b03.已知 f(x)的导函数的图形如下图所示，记 I 1 =f(1)-f(0)，I 2 =f(2)-
2、f(1)，则必有 （分数：4.00）A.f(1)f(2)，I1I2B.f(1)f(2)，I1I2C.f(1)f(2)，I1I2D.f(1)f(2)，I1I24.设某商品的需求函数为 Q=80-2p，其中 Q，P 分别表示需要量和价格，若该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（分数：4.00）A.10B.20C.30D.405.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ms 矩阵，若矩阵方程 AX=B 有解，则必有（分数：4.00）A.矩阵 A 的列向量组可由矩阵 B 的列向量组线性表示B.矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示C.矩阵 A 的行向量组可由矩阵 B 的行向量组线性表示D
3、.矩阵 B 的行向量组可由矩阵 A 的行向量组线性表示6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的秩为 2，且矩阵 A 满足 A 2 +A=O，则与 A 相似的矩阵是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自总体 X 的简单随机样本， 为样本均值，若概率 P| （分数：4.00）A.a=bB.a=2bC.2a=bD.a=4b8.设 X 1 ，X 2 ，X n (n1)是取自总体 X 的简单随机样本，且 DX= 2 0， 为样本均值，则 X n - 与 的相关系数为 A-1
4、B0 C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.以 y=C 1 cos x+C 2 sin x+e 2x (其中 C 1 ，C 2 为任意常数)为通解的二阶线性常系数非齐次微分方程是 1 （分数：4.00）11.设 z=f(xy，x 2 -y 2 )，其中 f(u,v)具有二阶连续偏导数，则 （分数：4.00）12.曲线 y=e x 与该曲线过原点的切线及 y 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 1 （分数：4.00）13.设 3 阶矩阵 A 与 B 相似， 1 =1， 2 =-2 是矩阵 A 的两个
5、特征值，且矩阵 B 的行列式|B|=1，则行列式|A * +E|= 1 （分数：4.00）14.在区间0，上随机取两个数 X 与 Y，则概率 Pcos(X+Y)0= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) 求极限 （分数：10.00）_16.(本题满分 11 分) 设 ，其中 （分数：11.00）_17.(本题满分 11 分) 已知某商品的需求量 Q 和供给量 S 都是价格 p 的函数： Q=Q(p)= ，S=S(p)=bp，其中常数 a0，b0，又价格 p 是时间 t 的函数，且满足 (k 为正的常数)， 假设当 t=0 时价格为 1，试
6、求 ()价格函数 p(t)； ()极限 （分数：11.00）_18.(本题满分 10 分) 设区域 D 由曲线 y=-x 3 ，直线 x=1 与 y=1 围成，计算二重积分 （分数：10.00）_19.(本题满分 10 分) 将函数 展开成(x-1)的幂级数，指出级数的收敛范围，并利用展开式求数项级数 （分数：10.00）_20.(本题满分 10 分) 已知两个向量组()： 1 =(1，2，3) T ， 2 =(1，0，1) T 与() 1 (-1，2，k) T ， 2 =(4，1，5) T ，试问 k 取何值时()与()等价?并写出等价时()与()相互表出的线性表示式 （分数：10.00）_
7、21.(本题满分 11 分) 设矩阵 （分数：11.00）_22.(本题满分 11 分) 设二维随机变量的联合概率密度为 （分数：11.00）_23.(本题满分 10 分) 某人接连不断、独立地对同一目标射击，直到击中为止，以 X 表示命中时已射击的次数假设他共进行了10 轮这样的射击，各轮射击的次数分别为 1，2，3，4，4，5，3，3，2，3，试求此人命中率 p 的矩估计和最大似然估计 （分数：10.00）_考研数学三-250 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，f(x)=ln(1+x)-(ax 2 +bx)与 g
8、(x)=xtan x 是等价的无穷小，则常数 a，b 的取值为 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查无穷小阶的问题见到确定无穷小阶的问题，就想“三法”等价无穷小代换定阶法、泰勒公式定阶法、求导定阶法(具体的方法解读请读者参阅考研数学复习教程)，此处用等价无穷小代换处理 g(x)，用泰勒公式处理 ln(1+x)可快速求得结果 解 x0 时，g(x)x 2 由 ln(1+x)=x- +o(x 2 )，得 f(x)=x- +o(x 2 )-(ax 2 +bx)=(1-b)x-(a+ )x 2 +o(x 2 )由题设可知 1-b=0，-(a+ )=1，即有 b=1，
9、a= 2.使函数 f(x)=x 3 +ax+b 在区间(-，+)内只有一个零点 x 0 (且 x 0 0)的常数 a，b 的取值范围是（分数：4.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b0 解析：解析 本题考查函数零点问题见到函数零点或方程实根以及两曲线交点的问题，就要先找函数再定区间，然后用零点定理若还要研究个数，则必用函数的单调性及极(最)值处理 解 因 f(x)在(-，+)内连续， ， 3.已知 f(x)的导函数的图形如下图所示，记 I 1 =f(1)-f(0)，I 2 =f(2)-f(1)，则必有 （分数：4.00）A.f(1)f(2)，I1I2 B.f(1)f(2
10、)，I1I2C.f(1)f(2)，I1I2D.f(1)f(2)，I1I2解析：解析 本题考查函数的单调性及定积分的几何意义首先要能够从所给图形看出 f(x)在包含x=1，x=2 的区间内单调减少(因导函数图形在 x 轴下方)，然后把 I 1 ，I 2 写成定积分可得 解 由所给 y=f“(x)的图形可知，f(x)在包含 x=1，x=2 的区间内单调减少，故 f(1)f(2)又 I 1 =f(1)-f(0)= ，I 2 =f(2)-f(1)= 4.设某商品的需求函数为 Q=80-2p，其中 Q，P 分别表示需要量和价格，若该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（分数：4.00）A.10B.
11、20 C.30D.40解析：解析 解 由需求弹性定义可得 令 5.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ms 矩阵，若矩阵方程 AX=B 有解，则必有（分数：4.00）A.矩阵 A 的列向量组可由矩阵 B 的列向量组线性表示B.矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示 C.矩阵 A 的行向量组可由矩阵 B 的行向量组线性表示D.矩阵 B 的行向量组可由矩阵 A 的行向量组线性表示解析：解析 本题考查向量组间的线性表示问题，这需要由条件建立相应的线性表示式将矩阵 A，B按列分块，再由矩阵乘法即可看出 解 记 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， s )，则由条件有 6.设
12、二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的秩为 2，且矩阵 A 满足 A 2 +A=O，则与 A 相似的矩阵是 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题求 A 的相似矩阵首先要清楚二次型的矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵必可相似对角化，且与其特征值为主对角线上元素的对角矩阵相似；另外要清楚可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数(重根计重数)，那么问题便转化为求矩阵 A 的特征值上来了这是求抽象矩阵的特征值问题见到 n 阶矩阵 A 的多项式方程 f(A)=O，就知 A 的特征方程为 f()=0. 解 设 是矩阵 A 的任意一个特征值， 是相应的特征向
13、量，即 A=用 右乘题设等式条件，得 A 2 +A=0， 即有( 2 +)=0因 0，故有 2 +=0，从而 =0 或 =-1又由矩阵 A 的秩为 2 可知，矩阵 A 的特征值为 0，-1，-1，实对称矩阵 A 必与以它的特征值 0，-1，-1 为主对角线元素的对角矩阵相似 注 实对称矩阵与以其特征值为主对角线元素的对角矩阵也是合同的7.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自总体 X 的简单随机样本， 为样本均值，若概率 P| （分数：4.00）A.a=bB.a=2b C.2a=bD.a=4b解析：解析 本题考查已知正态分布求概率问题见到已知正态
14、分布求概率问题，就要想到以下三点：1标准化； 2PX=PX= ( 为该正态分布的数学期望)； 3服从正态分布的随机变量 X 在数学期望 左右两侧对称区间上取值的概率相等 本题用标准化，分别将 X，X 标准化即可看出 解 因 由 知， 故由题设条件可得 8.设 X 1 ，X 2 ，X n (n1)是取自总体 X 的简单随机样本，且 DX= 2 0， 为样本均值，则 X n - 与 的相关系数为 A-1 B0 C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查求统计量的数字特征问题，用“运算性质法”及“已知分布法”求解即可 解 由题设条件可知，DX i = 2 ， ，故 由于 X 1
15、 ，X 2 ，X n 相互独立，所以 in 时，cov(X n ，X i )=0，于是 因此 X n - 与 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：e -2 解析 本题是求 型未定式极限问题先用等价无穷小代换处理其中的无穷小因子，再用洛必达法则及第二个重要极限可得 解 因 x0 时，arcsin xx，故 10.以 y=C 1 cos x+C 2 sin x+e 2x (其中 C 1 ，C 2 为任意常数)为通解的二阶线性常系数非齐次微分方程是 1 （分数：4.00）解析：y“+y=5e 2x 解析 本题考查由二阶线性常系数微分方程的解反求微分方程问题见到已知
16、二阶常系数线性方程的通解，就要想到从中先找特征根定出齐次方程，再求导定自由项，最后可得所求方程 解 由所给通解可看出对应齐次方程的特征根为i，从而得齐次方程为 y“+y=0令 y“+y=f(x)，将通解中的非齐次方程的特解 y=e 2x 代入，可得 f(x)=5e 2x ，于是所求的微分方程为 y“+y=5e 2x 11.设 z=f(xy，x 2 -y 2 )，其中 f(u,v)具有二阶连续偏导数，则 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查求二元抽象复合函数的偏导数问题，按复合函数的链式法则求解即可 解 注 当 f(u，v)具有二阶连续偏导数时， 12.曲线 y=e x 与该曲线过原点的切线
17、及 y 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 1 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查定积分的几何应用中求旋转体的体积问题，要先求出曲线过原点的切线方程，找到相应的平面图形，利用微元法求解 解 设切点坐标为(x 0 ，y 0 )，则切线方程为 y-y 0 =e x0 (x-x 0 )因切线过原点，且 y 0 -e x0 ，可求得 x 0 =1，y 0 =e故切线方程为 y=ex，于是所求旋转体的体积为 注 旋转体体积亦可为 13.设 3 阶矩阵 A 与 B 相似， 1 =1， 2 =-2 是矩阵 A 的两个特征值，且矩阵 B 的行列式|B|=1，则行列式|A * +E|
18、= 1 （分数：4.00）解析：-1 解析 本题考查求抽象行列式值的问题由于题设有特征值、矩阵相似等条件，故考虑用特征值法求解，即只要求得 A * +E 的全部特征值即可 解 因 A 与 B 相似，故 A 与 B 有相同的特征值，且行列式的值相等，从而有 |A|= 1 2 3 =1(-2) 3 = .进而可得 A * +E 的特征值为 ，i=1，2，3，即 因此|A * +E|=2 14.在区间0，上随机取两个数 X 与 Y，则概率 Pcos(X+Y)0= 1 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查二维几何概型求概率问题，只要求得相应的面积即可 解 因二维随机变量(X，Y)服从区域 D=(x
19、，y)|0x，0y)上的均匀分布，如下图所示 当 X+Y 时(图中阴影部分)，有 cos(X+Y)0，故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) 求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 解析 本题考查求0(或16.(本题满分 11 分) 设 ，其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 x-t=u，则 当 0x 时， 当 x 时， 于是 显然，当 x0 且 x 时，f(x)可导又 可见 f(x)在 17.(本题满分 11 分) 已知某商品的需求量 Q 和供给量 S 都是价格 p 的函数： Q=Q(p)= ，S=S(p)=bp，其中常数
20、a0，b0，又价格 p 是时间 t 的函数，且满足 (k 为正的常数)， 假设当 t=0 时价格为 1，试求 ()价格函数 p(t)； ()极限 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由条件得 分离变量，得 积分得 由 p(0)=1，得 C=1- 于是价格函数为 () 令 Q(p)=S(p)，即 ，得 18.(本题满分 10 分) 设区域 D 由曲线 y=-x 3 ，直线 x=1 与 y=1 围成，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如下图所示，用 y=x 3 分区域 D 为 D 1 ，D 2 两部分显然 D 1 ，D 2 分别关于 y 轴、x 轴对称，故 19.(
21、本题满分 10 分) 将函数 展开成(x-1)的幂级数，指出级数的收敛范围，并利用展开式求数项级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因 f(x)=lnx-ln(1+x)，由 得 故当 x(0，2时，有 上式中令 x=2，得 即有 20.(本题满分 10 分) 已知两个向量组()： 1 =(1，2，3) T ， 2 =(1，0，1) T 与() 1 (-1，2，k) T ， 2 =(4，1，5) T ，试问 k 取何值时()与()等价?并写出等价时()与()相互表出的线性表示式 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 对矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )作初等行变换，得
22、可见 k=1 时， 1 ， 2 均可由 1 ， 2 线性表示，此时由 得 当 k=1 时，对矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )作初等行变换，得 可见 1 ， 2 均可由 1 ， 2 线性表示，因此 k=1 时，向量组()与()等价由 得 21.(本题满分 11 分) 设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由 trA= ，得 a+b+2=4又由矩阵 A 有一个特征值为 2，知行列式|2E-A|=0，即 得 a=0，从而 b=2 ()因 A 是实对称矩阵，故(AP) T AP=P T A 2 P，其中 求可逆矩阵 P，使(AP) T AP 为对角矩阵，即相当于对 A 2 作合同变换
23、，使之对角化可求出 A 2 的特征值、特征向量，再把 A 2 的特征向量正交单位化后，以其为列组成的矩阵即为所求但这样做比较繁琐，故考虑借助二次型求解 考虑二次型 用配方法将它化为标准形，得 令 则由线性变换 有 故令 ,则|P|0，此时 22.(本题满分 11 分) 设二维随机变量的联合概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：(X，Y)的概率密度 f(x，y)的非零区域如下图所示由 ，得 () () ()因 当 z-1 时， F Z (z)=0； 当-1z0 时， 当 z0 时，F Z (z)=1 故 解析 本题考查二维连续型随机变量的有关问题对于求概率密度中的常数 k，由概率
24、密度的性质 23.(本题满分 10 分) 某人接连不断、独立地对同一目标射击，直到击中为止，以 X 表示命中时已射击的次数假设他共进行了10 轮这样的射击，各轮射击的次数分别为 1，2，3，4，4，5，3，3，2，3，试求此人命中率 p 的矩估计和最大似然估计 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由题设条件可得 X 的分布律为 PX=k=(1-p) k-1 p， k=1，2，3， 求矩估计因 令 EX= ，即 ，得 为 p 的矩估计值 求最大似然估计似然函数 L(p)=PX 1 =1，X 2 =2，X 3 =3，X 10 =3)=p 10 (1-p) 20 ， 于是 ln L(p)=10ln p+20ln(1-p) 令 得 是户的最大似然估计值 注 上述求解过程中求数学期望 EX 时用到了幂级数的和函数，即由 z(-1，1)，得 令 x=1-p,得
