1、考研数学三-295 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在点 x=4 处连续，且 （分数：4.00）A.y=29x-8B.y=29x+8C.y=8x-29D.y=8x+292.设 （分数：4.00）A.a=2，n=3B.a=-2，n=3C.a=2，n=4D.a=-2，n=43.微分方程 满足 y(0)=1 的特解 y(x)在点 x=1 处的函数值 y(1)= A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设a n 为单调递减数列，收敛于 0，且 ，n=1，2，则幂级数 （分数：4.00）A.(-3，-1)
2、B.-3，-1C.(-3，-1D.-3，-1)5.已知 （分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件6.已知 n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t（分数：4.00）A.如秩 r()=r()，则()与()向量组等价B.如秩 r()r()，则()可由()线性表出C.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出D.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出7.设随机变量 XN(0，1)和 YN(1，1)，且相互独立，则 PY1-X= A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 的概率密度为
3、，-x+，其中参数 (0)未知若 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是 的估计量，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.若函数 F(x)=x 3 +9x 2 +24x+k 的极大值是负数，则参数 k 取值的区间是 1 （分数：4.00）11.设 y=f(x，t)，其中 t 是由方程 F(x，y，t)=0 所确定的 x，y 的函数，若 f，F 均可微，则 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.3 阶非零实对称矩阵如果将其按合同来分类，则一共有 1 类 （分数：4.00）
4、14.袋中有 4 个球，其中有 2 个白球和 2 个黑球，从中任意取出 2 个球，如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验，否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球，直到取到 1 个白球和 1 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则数学期望 EX= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在区间(0，+)内连续，且 f(1)=2，若当 x0，y0 时 （分数：10.00）_16.设函数 z(x，y)由方程 ze z =xe x +ye y 所确定，又 ，求 （分数：10.00）_设函数 f(x)可导，函数 g(x)连续，且当
5、 f(x)0 时 g(x)可导，求证：（分数：10.00）(1).当 f(x 0 )0 时 F(x)=|f(x)|g(x)在点 x=x 0 处必可导（分数：5.00）_(2).当 f(x 0 )=0 时 F(x)=|f(x)|g(x)在点 x=x 0 处可导的充分必要条件是 g(x 0 )f“(x 0 )=0（分数：5.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.将函数 y=ln(1-2x-3x 2 )展开为幂级数，并指出其收敛域 （分数：10.00）_19.已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是四阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，
6、2，2，1) T +k(1，-2，4，0) T ，又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 Bx=3 1 +5 2 - 3 的通解 （分数：11.00）_已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，1，0，且 =(1，1，1) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：11.01）(1).求 A 的特征向量（分数：3.67）_(2).求秩 r(A-E)（分数：3.67）_(3).如 =(1，3，5) T ，求 A n （分数：3.67）_已知随机变量 X 的概率密度 （分数：11.01）(1).随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么?
7、（分数：3.67）_(2).计算条件概率 与 （分数：3.67）_(3).求证：Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布（分数：3.67）_设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 EX 与 EX 2 （分数：5.50）_(2).求 的最大似然估计量 （分数：5.50）_考研数学三-295 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在点 x=4 处连续，且 （分数：4.00）A.y=29x-8B.y=29x+8C.y=8x-29 D.y=8x+29解析
8、：解析 由题设 可知分子的极限 ，即 ，由 f(x)在 x=4 的连续性可得 令 1-x=x 又有 即 2.设 （分数：4.00）A.a=2，n=3B.a=-2，n=3 C.a=2，n=4D.a=-2，n=4解析：解析 本题考查等价无穷小的概念与性质，利用 与 各自的等价无穷小进行比较，即可得到正确的选项 因为当 x0 时， ，故 ， ，故 从而 3.微分方程 满足 y(0)=1 的特解 y(x)在点 x=1 处的函数值 y(1)= A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 方程可改写为 ，即 ，积分得方程的通解为 ，即 利用初值 y(0)=1可确定常数 C=1，故方程满
9、足初值 y(0)=1 的特解为 ，故4.设a n 为单调递减数列，收敛于 0，且 ，n=1，2，则幂级数 （分数：4.00）A.(-3，-1)B.-3，-1C.(-3，-1D.-3，-1) 解析：解析 因为 ，n=1，2，故级数 发散； 因为a n 是单调递减的正项数列，故级数 收敛 所以当 x=-1 时， 发散； 当 x=-3 时， 收敛 而当-3x-1 时，幂级数 5.已知 （分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析 由 BC，A(B-C)=O，知齐次方程组 Ax=0 有非零解而 Ax=0 有非零解的充分必要条件是秩r(A
10、)n 因为 6.已知 n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t（分数：4.00）A.如秩 r()=r()，则()与()向量组等价B.如秩 r()r()，则()可由()线性表出C.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出 D.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出解析：解析 因 r(，)=r()，说明()的极大线性无关组也是向量组(，)的极大线性无关组，所以()必可由()线性表出，请举反例说明 A、B、D 均可不正确7.设随机变量 XN(0，1)和 YN(1，1)，且相互独立，则 PY1-X= A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析
11、XN(0，1)，YN(1，1)，且 X 与 Y 相互独立，则 X+YN(1，2)，X+Y 的概率密度具有对称中心 1 所以 本题如果不用 X+YN(1，2)具有对称性，而直接利用公式： 其中 ，这样的计算量会大大增加，当然结果也是 8.设总体 X 的概率密度为 ，-x+，其中参数 (0)未知若 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是 的估计量，则 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：ln2 解析 10.若函数 F(x)=x 3 +9x 2 +24x+k 的极大值是负数，
12、则参数 k 取值的区间是 1 （分数：4.00）解析：(-，16) 解析 因为 F“(x)=3x 2 +18x+24=3(x 2 +6x+8)=3(x+2)(x+4)，从而可列表如下： x (-，-4) -4 (-4，-2) -2 (-2，+) F“(x) + 0 - 0 + F(x) 极大值 极小值 由此司见函数 F(x)的极大值为 F(-4)=-16+k，要便极大值为负数必须且只需 k16，即 k 取值的区间是(-，16)11.设 y=f(x，t)，其中 t 是由方程 F(x，y，t)=0 所确定的 x，y 的函数，若 f，F 均可微，则 （分数：4.00）解析： 解析 由 y=f(x，t
13、)得 由 F(x，y，t)=0 得 代入解得 12. （分数：4.00）解析：解析 13.3 阶非零实对称矩阵如果将其按合同来分类，则一共有 1 类 （分数：4.00）解析：9 解析 A B 合同 p A =p B ，q A =q B 这 9 类是： 14.袋中有 4 个球，其中有 2 个白球和 2 个黑球，从中任意取出 2 个球，如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验，否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球，直到取到 1 个白球和 1 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则数学期望 EX= 1 （分数：4.00）解析： 解析 如果把每次取 2 个球看作为一次试验如
14、果取到的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就理解为这次试验“成功”，否则就认为是失败又由于取后放回，所以各次试验是独立重复试验，不难看出不断独立重复试验直到成功为止，其试验次数 X 应服从几何分布 PX=k=p(1-p) k-1 ，k=1，2，其中 p 为每次试验取得成功的概率 我们知道：当|x|1 时， ， 所以 如果记得几何分布 PX=k=p(1-p) k-1 ，k=1，2，的数学期望为 本题是填空题可以直接把 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在区间(0，+)内连续，且 f(1)=2，若当 x0，y0 时 （分数：10.00）_正确答案：()解析：
15、解 固定 x，在题设等式两边对 y 求导，得 令 y=1，有 对上述等式两边求导，得 f(x)+xf“(x)=2+f(x)， 即 16.设函数 z(x，y)由方程 ze z =xe x +ye y 所确定，又 ，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 而 于是， 解析 本题考查二元隐函数求 2 阶偏导数 最后的结果允许带 z，但不能含有 1 阶偏导数如 设函数 f(x)可导，函数 g(x)连续，且当 f(x)0 时 g(x)可导，求证：（分数：10.00）(1).当 f(x 0 )0 时 F(x)=|f(x)|g(x)在点 x=x 0 处必可导（分数：5.00）_正确答案：()解析：
16、证明 若 f(x 0 )0，则存在 0，使得当|x-x 0 | 时 f(x)0，于是在该区间内必有|f(x)|g(x)=f(x)g(x)或|f(x)|g(x)=-f(x)g(x)之一成立，故函数|f(x)|g(x)在点 x=x 0 处必可导(2).当 f(x 0 )=0 时 F(x)=|f(x)|g(x)在点 x=x 0 处可导的充分必要条件是 g(x 0 )f“(x 0 )=0（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 若 f(x 0 )=0，于是 F(x 0 )=|f(x 0 )|g(x 0 )=0，从而函数 F(x)=|f(x)|g(x)在点 x=x 0 的左导数与右导数分别为 故当
17、f(x 0 )=0 时， |F(x)|在点 x=x 0 可导 g(x 0 )|f“(x 0 )|=-g(x 0 )|f“(x 0 )| g(x 0 )|f“(x 0 )|=0 g(x 0 )f“(x 0 )=0 解析 在上面的证明中用到 与 ，其实更一般地必有 这是因为任何两个数 a，b 之差与这两个数的绝对值之差成立不等式 ，由此即知若 必有 17.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 记 D 1 =(x，y)|x+y2，x-y-2，y0， D 2 =(x，y)|x 2 +y2 1，y0 则 其中 类似， 故 18.将函数 y=ln(1-2x-3x 2 )展开为幂级数，并指出其
18、收敛域 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 求导： 其中 积分： 当 时，一般项 ，级数在 处发散； 当 时，一般项为 ， 故幂级数在 处收敛，所以其收敛域为 解析 先将函数 y 求导得有理函数，再分解成部分分式之和即可将 y“展开成幂级数，积分后才是本题的答案 函数展开成幂级数，一般都是“间接展开”即利用幂级数能“逐项求导，逐项积分”的重要性质和一些基本初等函数的幂级数展开式，将所求函数展开为幂级数常用的基本初等函数的展开式为 特别是 19.已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是四阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1
19、) T +k(1，-2，4，0) T ，又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 Bx=3 1 +5 2 - 3 的通解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由方程组 Ax= 的解的结构，可知 r(A)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3， 且 1 +2 2 +2 3 + 4 =， 1 -2 2 +4 3 =0 因为 B=( 1 ， 2 ， 3 ，- 4 )=( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 )，且 1 ， 2 ， 3 线性相关，而知 r(B)=2 由 知(-1，5，3，0) T 是方程组 Bx=3 1 +5 2 - 3 的一个解 又 已知 3
20、阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，1，0，且 =(1，1，1) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：11.01）(1).求 A 的特征向量（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由 A=0=0，知 =(1，1，1) T 是矩阵 A 关于特征值 =0 的特征向量设 A 关于特征值=1 的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有 x 1 +x 2 +x 3 =0 基础解系 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，1) T 是矩阵 A 关于特征值 =1 的线性无关的特征向量 故 A 关 =1 的特征向量为：k 1 1 +k
21、2 2 ，k 1 ，k 2 不全为 0， =0 的特征向量为：k，k0(2).求秩 r(A-E)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 A 是实对称矩阵必与对角矩阵相似，有 故 ，所以 (3).如 =(1，3，5) T ，求 A n （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，解出 已知随机变量 X 的概率密度 （分数：11.01）(1).随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么?（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由题设知：在 X=x(x0)的条件下，Y 的条件密度为 根据乘法公式得 由于 (
22、2).计算条件概率 与 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 其中 所以 (3).求证：Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 通过计算 Z=X-Y 的分布给出讦明其方法有： 方法一 (分布函数法)Z=X-Y 分布函数 当 z0 时，F Z (z)=0， 当 z0 时， 综上得 由此可知 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布 方法二 (公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X-Y 的概率密度 其中 由此可知：当 z0 时，f Z (z)=0； 当 z0 时， 综上得 所以 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布 解析 仿照上述方法可以求得
23、 Z=X+Y 的概率密度 f Z (z) 方法一 (分布函数法) Z=X+Y 的分布函数 F Z (z)=PX+Yz 由 f(x，y)非零定义域知：当 z0 时，F Z (z)=0； 当 z0 时， 综上得 方法二 (公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X+Y 的概率密度 其中 由此可知：当 z0 时，f Z (z)=0； 当 z0 时， 综上得 设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 EX 与 EX 2 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 可以把 看成服从正态分布 N(0， 2 )的随机变量 X 1 的概率密度函数，所以 即 即 EX 2 =2 2 解析 给出密度函数就有 (2).求 的最大似然估计量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设 x 1 ，x 2 ，x n 为样本观测值，似然函数 当 x 1 ，x 2 ，x n 0 时， 令 ，即 解得 从而 的最大似然估计量 解析 有了 f(x；)就可构造似然函数
