1、考研数学三-299 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=x0处附近四阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=f“(x0)=0，f (4)(x0)0，则 y=f(x)在 x=x0处_（分数：4.00）A.有极大值B.有极小值C.有拐点D.无极值和拐点2.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 X，Y 是两个随机变量，且 ，则 Pmin(X，Y)1=_（分数：4.00）A.B.C.D.4.当 x0 时，曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设
2、 an)，b n，c n均为非负数列，且 lima=0，limb=1，limc=，则必有_（分数：4.00）A.anb n对任意 n 成立B.bnc n对任意 n 成立C.极限D.极限6.设 A 是 n 阶方阵，线性方程组 AX=0 有非零解，则线性非齐次方程组 ATX=b 对任何 b=(b1，b 2，b n)T_（分数：4.00）A.不可能有唯一解B.必有无穷多解C.无解D.或有唯一解，或有无穷多解7.设 f(x)在 x=0 处满足 f(0)=f“(0)=f(n)(0)=0，f (n+1)(0)0，则_（分数：4.00）A.当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点B.当 n 为偶数时
3、，x=0 是 f(x)的极小值点C.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点D.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点8.已知 1=(-1，1，a，4) T， 2=(-2，1，5，a) T， 3=(a，2，10，1) T是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为_（分数：4.00）A.a5B.a-4C.a3D.a-3 且 a-4二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 ，又 f(x)在 x=0 处可导，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.
4、00）填空项 1:_12.若矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_13.X，Y 相互独立，同服从 U(0，2)，即(0，2)上的均匀分布，Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)=_（分数：4.00）_14.二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|axb，cyd 上服从均匀分布，则 X 的边缘密度函数为fX(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：9.00）_16.已知某产品的边际成本为 5 元/单位，生产该产品的固定成本为 200 元，边际收益是 R(q)=
5、10-0.02q，则生产该产品多少件时可获得最大利润，这个最大利润是多少?（分数：9.00）_17.计算二重积分 （分数：11.00）_18.设 f(x)在区间0，1上可微，且满足条件 （分数：11.00）_19.试证：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1) 2（分数：10.00）_20.线性方程组（分数：11.00）_21.求一个正交变换，化二次型 （分数：11.00）_22.设总体 XN(，8)， 未知，X 1，X 2，X 36是取自 X 的一个简单随机样本，如果以区间 作为 的置信区间，求置信度 （分数：11.00）_23.设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0，
6、1)，而 X1，X 2，X 9，和 Y1，Y 2，Y 9分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，求统计量（分数：11.00）_考研数学三-299 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=x0处附近四阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=f“(x0)=0，f (4)(x0)0，则 y=f(x)在 x=x0处_（分数：4.00）A.有极大值 B.有极小值C.有拐点D.无极值和拐点解析：考点提示 函数的极值解题分析 因为 f“(x0)=0，f (4)(x0)0，所以函数 f“(x)在 x=x0处取得极大值，即 x=
7、x0的某一去心邻域 0|x-x 0|(0)内有 f“(x)f“(x 0)=0，则 f(x)分别在区间(x 0-，x 0)和(x 0，x 0+)内单调递减。又 f(x0)=0，则当 x(x 0-，x 0)时，f(x)f(x 0)=0；当 x(x 0，x 0+)时，f(x)f(x 0)=0根据极值的定义可知，函数 y=f(x)在 x=x0处有极大值故正确答案为 A2.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 函数的极值解题分析 利用极限的同号性可以判定 f(x)的正负号：*由 1-cosx0，有 f(x)0，即 f(x)在
8、x=0 取极小值应选 D3.设 X，Y 是两个随机变量，且 ，则 Pmin(X，Y)1=_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 随机变量概率的计算解题分析 *故选 C4.当 x0 时，曲线 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 渐近线、间断点解题分析 只有间断点 x=0*，没有铅直渐近线又*有水平渐近线 y=1应选 A5.设 an)，b n，c n均为非负数列，且 lima=0，limb=1，limc=，则必有_（分数：4.00）A.anb n对任意 n 成立B.bnc n对任意 n 成立C.极限D.极限 解析：考点提示 数列极限解题分析 A，B 显然不对，因为内数
9、列极限的不等式性质只能得出数列“当”充分大时”的情况，不可能得出“对任意 n 成立”的性质C 也明显不对，因为“无穷小无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在故应选 D点评 D 项成立也是明显的，因为极限*不是未定式，结论是确定的：*应当知道，当*关于的确定型还有：()+()=()，=，(有界)=；但注意：(有界)不一定为6.设 A 是 n 阶方阵，线性方程组 AX=0 有非零解，则线性非齐次方程组 ATX=b 对任何 b=(b1，b 2，b n)T_（分数：4.00）A.不可能有唯一解 B.必有无穷多解C.无解D.或有唯一解，或有无穷多解解析：考点提示 线性方程组的解解题分析 因为 AX=
10、0 有非零解，而 A 为 n 阶方阵，所以|A|=|A T|=0因此 r(AT)n。于是线性非齐次方程组 ATX=b 在 r(ATb)=r(AT)时有无穷多解；在 r(AT|b)r(A T)时无解故对任何b，A TX=b 不可能有唯一解所以选 A7.设 f(x)在 x=0 处满足 f(0)=f“(0)=f(n)(0)=0，f (n+1)(0)0，则_（分数：4.00）A.当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点B.当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极小值点C.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点D.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点 解析：考点提示 函数
11、奇偶性、极值点解题分析 因为*所以当|x|很小时，f(x)-f(0)与*同号而 f(n+1)(0)0，当 n 为偶数时*在 x=0 点两侧异号，f(0)不是极值点；当 n 为奇数时，在 x=0 点两侧均有*，即f(x)f(0)，亦即 x=0 为 f(x)的极小值点因此选 D8.已知 1=(-1，1，a，4) T， 2=(-2，1，5，a) T， 3=(a，2，10，1) T是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为_（分数：4.00）A.a5 B.a-4C.a3D.a-3 且 a-4解析：考点提示 特征值、特征向量解题分析 因为 1、 2、 3是 A 的属于三个不同特征值
12、的特征向量，所以它们必线性无关即秩( 1、 2、 3)=3*知，其秩为 3 时 a5故选 A二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 ，又 f(x)在 x=0 处可导，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点提示 分段函数的导数解题分析 *而*10.微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(x-4)y 4-Cx=0）解析：考点提示 微分方程的通解解题分析 由微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 可得，*，两边积分得*，化简后即为(x-4)y 4-Cx=011. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确
13、答案：e）解析：考点提示 三角函数求极限解题分析 解法一 *又*故原式=e解法二 设*，则当 x时，u0于是*而由洛必达法则，得*故原式=e12.若矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 逆矩阵解题分析 B=A 2-3A+2E=(A-2E)(A-E)*故*13.X，Y 相互独立，同服从 U(0，2)，即(0，2)上的均匀分布，Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)=_（分数：4.00）_解析：考点提示 随机变量的独立性解题分析 实际上P0Z114.二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|axb，cyd 上服从均匀分布，则 X 的边缘密度函数为fX(x)=_
14、（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 二维随机变量的密度函数解题分析 因*则*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：9.00）_正确答案：(这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数先求*，由复合函数求导法得*再对 y 求导得*)解析：考点提示 复合函数的二阶连续偏导16.已知某产品的边际成本为 5 元/单位，生产该产品的固定成本为 200 元，边际收益是 R(q)=10-0.02q，则生产该产品多少件时可获得最大利润，这个最大利润是多少?（分数：9.00）_正确答案：
15、(这个问题需要分几步来解决设利润函数为 L(q)，成本函数为 C(q)为求最大利润，需要先求出利润函数，由于*固定成本为 200 元等价于 C(0)=200，由此推定出上面积分中的常数 C=200成本函数为C(q)=5q+200同样，收益函数*如果产量 q=0，必然 R(0)=0，由此推定出积分常数 C=0收益函数为R(q)=10q-0.01q2利润函数为L(q)=R(q)-C(q)=(10q-0.01q2)-(5q+200)=-0.01+5q-200为了求出利润函数 L(q)的最大值，按照微积分的知识：先找临界点，再判断L(q)=5-0.02q=0*q=250，而 L“(q)=-0.020，
16、根据二阶导数条件可以推出 q=250 是 L(q)惟一极值点，并且是极大值点这样L(250)=5(250)-0.01(250)2-200=425(元)就是所要找的最大利润，这时的产量为 250 个单位)解析：考点提示 不定积分的应用17.计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：(D 是正方形区域因在 D 上被积函数可表示成*于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分成两块：*)解析：考点提示 二重积分18.设 f(x)在区间0，1上可微，且满足条件 （分数：11.00）_正确答案：(由特证结论可知，若令 (x)=xf(x)，则(x)=f(x)+xf(x)因此，只需证明 (x)在0，1内某
17、一区间上满足罗尔定理的条件令 (x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在*使*由已知条件，有*于是 (1)=f(1)=()，并且 (x)在，1上连续，在(，1)上可导，故由罗尔定理可知，存在 (77，1)*(0，1)使得()=0，即 f()+f()=0)解析：考点提示 微分中值定理的应用19.试证：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1) 2（分数：10.00）_正确答案：(证法一 令 f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2易看出 f(1)=0，且有*(由此，x=1 是极小点，但不能断定它是最小点，因为不知道 x=1 是否是惟一的驻点!)*由此得 x=1 是 f“(x)的最小点，因而
18、 f“(x)f“(1)=20(x0，x1)；由此，f(x)在 x0 上单调增，又由 f(1)=0，f(x)在 x=1 处从左到右由负变正，x=1 是 f(x)的最小点，f(x)f(0)=0(x0)证法二 即证：当 x1 时，(x+1)lnxx-1；当 0x1 时，(x+1)lnxx-1令 (x)=(x+1)lnx-(x-1)，则*由 “(x)在 x=1 处从左到右由负变正，x=1 是 (x)的最小点；(x)(1)=10*(x)在 x0上单调增；又由 (1)=0，有(x)0，x(0，1)；(x)0，x(1，+)由此，f(x)=(x-1)(x)0(x0)证法三 令 f(x)=(x2-1)lnx-(
19、x-1)2求出 f(1)，f(1)，f“(1)，f“(1)后用泰勒-拉格朗日公式，有*( 在 x 与 1 之间)由(-1)与(x-1)同号，立即有f(x)0(x0)解析：考点提示 函数单调性以及函数极值点20.线性方程组（分数：11.00）_正确答案：(1) 因为 Mi(i=1，2，n)是从 A 中划去第 i 列所得的 n-1 阶子式，所以它也是元素 ani的余子式由代数余子式的性质可知，某一行元素的代数余子式与其它行对应元素之积的和为零故 A(M1，-M2，(-1) n-1Mn)=0即可知(M 1，-M 2，(-1) n-1Mn)是该方程组的一个解向量(2) 若 r(A)=n-1，则方程组的
20、解含有 1 个解向量，根据(1)可知，该解向量为(M 1，-M 2，(-1) n-1Mn)，则方程组的通解为 x=k(M1，-M 2，(-1) n-1Mn)，其中 k 为任意实数即可得，若 r(A)=n-1，则方程组的解都是(M 1，-M 2，(-1) n-1Mn)的倍数)解析：考点提示 线性方程组的解21.求一个正交变换，化二次型 （分数：11.00）_正确答案：(二次型的矩阵是*其特征多项式为*所以 A 的特征值是 1= 2=0， 3=9。对于是 1= 2=0，由(0E-A)x=0，即对其系数矩阵作初等变换*从而得到基础解系 1=(2，1，0) T， 2=(-2，0，1) T，即为属于特征
21、值 =0 的特征向量对于 3=9，由(9E-A)x=0，即*得到基础解系 3=(1，-2，2) T由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对 1， 2正交化 1= 1=(2，1，0) T，*把 1， 2， 3单位化，有*那么经正交变换*二次型 f 化为标准形*)解析：考点提示 化二次型为标准型的计算22.设总体 XN(，8)， 未知，X 1，X 2，X 36是取自 X 的一个简单随机样本，如果以区间 作为 的置信区间，求置信度 （分数：11.00）_正确答案：(依题设，置信区间的长度为 2，所以*1-=2(2.12)-1=0.966所以以*作为 的置信区间，其置信度为 0.966)解析：考点提示 置信区间、置信度的计算23.设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0，1)，而 X1，X 2，X 9，和 Y1，Y 2，Y 9分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，求统计量（分数：11.00）_正确答案：(由于 X1，X 2，X 9是来自正态总体的样本，且都服从 N(0，1)，故*由于 Y1，Y 2，Y 9相互独立，且都服从 N(0，1)，则*又因为随机变量 ， 相互独立，由 t 分布知*即统计量 Z 服从 t 分布，参数为 9)解析：考点提示 随机变量的正态分布*分布，t 分布
