1、考研数学三-413 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：21，分数：100.00)设 （分数：8.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_1.求幂级数 （分数：4.00）_2.求幂级数 （分数：4.00）_3.求幂级数 （分数：4.00）_4.求幂级数 （分数：4.00）_5.求幂级数 （分数：4.00）_6.求幂级数 （分数：4.00）_7.求幂级数 （分数：4.00）_8.求幂级数 （分数：4.00）_9.求幂级数 （分数：4.00）_10.求幂级数 （分数：4.00）_11.求幂级数 （分数：4.00）_12.求幂级数
2、 （分数：4.00）_13.求级数 （分数：4.00）_14.求幂级数 （分数：4.00）_(1).验证 （分数：4.00）_(2).求级数 （分数：4.00）_15.将 f(x)=arctanx 展开成 x 的幂级数 （分数：4.00）_16.将 （分数：4.00）_17.将 f(x)=lnx 展开成 x-2 的幂级数 （分数：4.00）_18.将 （分数：4.00）_设有幂级数 （分数：12.00）(1).求该幂级数的收敛域；（分数：4.00）_(2).证明此幂级数满足微分方程 y“-y=-1，（分数：4.00）_(3).求此幂级数的和函数（分数：4.00）_考研数学三-413 (1)答案
3、解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：21，分数：100.00)设 （分数：8.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 取 0 =1，由 根据极限的定义，存在 N0，当 nN 时， 即 0a n b n ，由 收敛得 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得 收敛，从而 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 根据(1)，当 nN 时，有 0a n b n ，因为 发散，所以 发散，由比较审敛法， 发散，进一步得 1.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得收敛半径为 R=1， 当 x=-1
4、时， 发散； 当 x=1 时， 收敛，故幂级数 2.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得收敛半径为 当 时， 发散，故级数的收敛区间为 3.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x-1=t，显然级数 的收敛半径为 R=1，又当 t=1 时， 由 收敛，得级数 绝对收敛，所以级数 4.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 5.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 6.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得收敛半径为 R=4，当 x=4 时，因为 所以幂级数的收敛域为(-4，4) 7.求幂级数 （分数
5、：4.00）_正确答案：()解析：解 幂级数 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(-1，1) 8.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 幂级数 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(-1，1) 9.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 幂级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(-，+) 10.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x+1=t， 得收敛半径为 R=1，当 t=1 时，因为 所以收敛区间为-1t1，从而-2x0 11.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得该级数的收敛半径为 R=1，因为当 x=1 时， 发散，所以
6、级数的收敛区间为(-1，1) 12.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 则收敛半径为 R=2， 当 x=-2 时， 收敛； 当 x=2 时， 发散，故幂级数的收敛域为-2，2) 13.求级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x 2 +x+1=t，则级数化为 由 所以级数 的收敛半径为 R=1，注意到 又 t=1 时，级数 收敛，所以级数 的收敛域为 由 x 2 +x+11 得-1x0，故级数 的收敛域为-1，0 令 x=-1，0 时，S(-1)=S(0)=1，x(-1，0)时 14.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 (1).验证 （分数
7、：4.00）_正确答案：()解析：解 即级数 (2).求级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由(1-x)y“+y=1+x，得 解得 y=C(x-1)-(x-1)ln(1-x)+2，由 y(0)=0 得 C=2， 所以 y=2x-(x-1)ln(1-x)(-1x1)， 15.将 f(x)=arctanx 展开成 x 的幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 16.将 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 17.将 f(x)=lnx 展开成 x-2 的幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 18.将 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设有幂级数 （分数：12.00）(1).求该幂级数的收敛域；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为(2).证明此幂级数满足微分方程 y“-y=-1，（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (3).求此幂级数的和函数（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 f“(x)-f(x)=-1 得 f(x)=C 1 e -x +C 2 e x +1， 再由 f(0)=2，f“(0)=0 得
