1、考研数学三-416 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在1，2上有二阶导数，f(1)=f(2)=0，F(x)=(x-1) 2 f(x)，则 F“(x)在(1，2)内_（分数：4.00）A.没有零点B.至少有一个零点C.有两个零点D.有且仅有一个零点2.设 （分数：4.00）A.I1I2B.I1=I2C.I1I2D.必须给出 a 的值才可比较 I1，I2 的大小3.已知级数 发散，则_ A 一定收敛 B 一定发散 C 不一定收敛 D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 ，则 f“(1)=_ A B C D （
2、分数：4.00）A.B.C.D.5.实二次型 经正交变换后化为 （分数：4.00）A.a=0，b=0B.a=0，b=1C.a=1，b=0D.a=1，b=16.若 1 = (-1，1，a，4) T ， 2 =(-2，1，5，a) T ， 3 =(a，2，10，1) T 是齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，则 a 的取值为_（分数：4.00）A.a5B.a-4C.a-3D.a-3 且 a-47.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 独立同分布且其方差存在，记 W=X 1 +X 2 +X 3 ，Z=X 3 +X 4 +X 5 ，则 W 与 Z 的相关系数 为_ A B C
3、D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别来自总体 X 与 Y 且容量都为 n 的两个相互独立的简单随机样本，样本均值分别为 ，样本方差分别为 ，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.曲线 y=sinx(0x2)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 1 （分数：4.00）11.幂级数 （分数：4.00）12.设函数 y=y(x)满足 ，且 y(1)=0，则 （分数：4.00）13.设 A
4、为 3 阶方阵，|A|=4，则|(A*)*-2A|= 1 （分数：4.00）14.设 X 和 Y 为两个随机变量，且满足 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.证明：函数 （分数：10.00）_17.若曲线上任一点处的切线，坐标轴以及过切点平行于 x 轴的直线所围成的梯形面积等于 4，且曲线过点(2，2)，求该曲线 （分数：10.00）_18.求 （分数：10.00）_19.求二元函数 x=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值， （分数：10.00）
5、_20.设向量 1 ， 2 ， m 线性无关，向量 1 可用它们线性表示，向量 2 不能用它们线性表示，证明： 1 ， 2 ， n ， 1 + 2 ( 为常数)线性无关 （分数：11.00）_设二次型 ，矩阵 A 满足 AB=O，其中 （分数：11.00）(1).用正交变换化二次型 x T Ax 为标准形，并写出所用正交变换；（分数：5.50）_(2).求(A-3E) 2016 （分数：5.50）_设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 （分数：11.01）(1).PX+Y=0；（分数：3.67）_(2).随机变量 Y 的分布函数；（分数：3.67）_(3).E(Y)（分数：3.67）_设
6、 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：11.00）(1). 的矩估计量；（分数：5.50）_(2). 的最大似然估计量（分数：5.50）_考研数学三-416 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在1，2上有二阶导数，f(1)=f(2)=0，F(x)=(x-1) 2 f(x)，则 F“(x)在(1，2)内_（分数：4.00）A.没有零点B.至少有一个零点 C.有两个零点D.有且仅有一个零点解析：解析 F“(x)=2(x-1)f(x)+(x-1) 2 f“(x) 由 f(
7、1)=f(2)=0，F(1)=F(2)=0，由罗尔定理，存在 c(1，2)，使得 F“(c)=0 再根据 F“(1)=F“(c)=0，再由罗尔定理，至少存在一个点 (1，c) 2.设 （分数：4.00）A.I1I2 B.I1=I2C.I1I2D.必须给出 a 的值才可比较 I1，I2 的大小解析：解析 当 0ax+y1 时，ln(x+y)0，sin(x+y)0，所以 I 1 I 2 ，选 A.3.已知级数 发散，则_ A 一定收敛 B 一定发散 C 不一定收敛 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 若 收敛，则加括号后的级数收敛，即 收敛，矛盾故4.设 ，则 f“(1)=_ A
8、B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 5.实二次型 经正交变换后化为 （分数：4.00）A.a=0，b=0 B.a=0，b=1C.a=1，b=0D.a=1，b=1解析：解析 相似， 6.若 1 = (-1，1，a，4) T ， 2 =(-2，1，5，a) T ， 3 =(a，2，10，1) T 是齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，则 a 的取值为_（分数：4.00）A.a5 B.a-4C.a-3D.a-3 且 a-4解析：解析 由于 1 ， 2 ， 3 是 Ax=0 的基础解系，所以必线性无关，于是 7.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 独立
9、同分布且其方差存在，记 W=X 1 +X 2 +X 3 ，Z=X 3 +X 4 +X 5 ，则 W 与 Z 的相关系数 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 D(X i )= 2 ，i=1，2，3，4，5，则 Cov(W，Z)=Cov(X 1 +X 2 +X 3 ，X 3 +X 4 ，+X 5 ，) =Cov(X 1 ，X 3 )+Cov(X 1 ，X 4 ，)+Cov(X 1 ，X 5 ，)+ Cov(X 2 ，X 3 )+Cov(X 2 ，X 4 ，)+Cov(X 2 ，X 5 )+ Cov(X 3 ，X 3 )+Cov(X 3 ，X 4 )+Cov(X
10、 3 ，X 5 ) =Cov(X 3 ，X 3 ) =D(X 3 )= 2 ， 8.设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别来自总体 X 与 Y 且容量都为 n 的两个相互独立的简单随机样本，样本均值分别为 ，样本方差分别为 ，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设， 相互独立 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 10.曲线 y=sinx(0x2)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 1 （分数：4.00）解析： 2 解析 如下图 11
11、.幂级数 （分数：4.00）解析：(-1，1) 解析 当 x=0 时，级数收敛； 当 x0 时， 当|x|1 时，幂级数收敛，且为绝对收敛；而当 x=1 时， 12.设函数 y=y(x)满足 ，且 y(1)=0，则 （分数：4.00）解析： 解析 如下图 13.设 A 为 3 阶方阵，|A|=4，则|(A*)*-2A|= 1 （分数：4.00）解析：32 解析 |A|=40，A*=|A|A -1 (A*)*=|A|A -1 |(|A|A -1 ) -1 =|A| 3 |A| -1 |A| -1 A =|A|A=4A |(A*)*-2A|=|4A-2A|=|2A|=2 3 |A|=3214.设
12、X 和 Y 为两个随机变量，且满足 （分数：4.00）解析：解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.证明：函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 f“(x)=0，得驻点 ，且当 时，f“(x)0，f(x)； 当 时，f“(x)0，f(x) f(x)在 时取得极小值(如下图) 又 17.若曲线上任一点处的切线，坐标轴以及过切点平行于 x 轴的直线所围成的梯形面积等于 4，且曲线过点(2，2)，求该曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设所求曲线 y=f(x)，切点为(x，y)，切线方程为 Y-
13、y=y“(X-x)， 令 Y=0，得切线在 x 轴上的截距 此梯形下底长即 X，上底长为 x，高为 y，故梯形面积 ，即 2(xy-4)y“=y 2 ， 即 (一阶性并齐次微分方程) 先解 ，积分得 lnx=2lny+lnC， x=Cy 2 (齐通) 再解非齐次微分方程，常数变易法， 令 x=C(y)y 2 ， 代入式得 即 又 x=2，y=2，得 所求曲线方程为 18.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如下图，在 D 1 上， ，在 D 2 上， ，于是 19.求二元函数 x=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极
14、值、最大值与最小值， （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 20.设向量 1 ， 2 ， m 线性无关，向量 1 可用它们线性表示，向量 2 不能用它们线性表示，证明： 1 ， 2 ， n ， 1 + 2 ( 为常数)线性无关 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 按定义证明 设有实数 k 1 ，k 2 ，k m ，k，使得 k 1 1 +k 2 2 +kmm+k( 1 + 2 )=0，假设 k0，反证 若 k0，那么 又 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则存在一组数 l 1 ，l 2 ，l m ，使得 1 =l 1 1 +l 2 2 +l m m ， 于是 1 =
15、l 1 1 +l 2 2 +l m m ， 式-式，得 设二次型 ，矩阵 A 满足 AB=O，其中 （分数：11.00）(1).用正交变换化二次型 x T Ax 为标准形，并写出所用正交变换；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 AB=O，既有 由|A-E|=- 2 (-6)=0，得 1 = 2 =0， 3 =6 当 = 1 =0 时，由(A-0E)x=0，得 当 = 3 =6 时，由(A-6E)x=0，得 把 1 ， 2 正交化， 取 1 = 1 ， 单位化，得 取 令 x=Py， (2).求(A-3E) 2016 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设随机变量 X 服从参
16、数为 的指数分布，令 （分数：11.01）(1).PX+Y=0；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 PX+Y=0=P|X|1 =PX-1+PX1=PX1 =1-PX1=1-(1-e - ) =e - (2).随机变量 Y 的分布函数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=PYy )(如下图)当 y-1 时， F Y (y)=PYy=PX-y =1-PX-y =1-(1-e y ) =e y ； )当-1y0 时， F Y (y)=PYy=P-1Xy+PX1 =0+1-PX1 =1-(1-e - ) =e - ； )当 0y1 时， F Y (y)=PYy =P-1X0+P0Xy+PX1 =0+F(y)+1-PX1 =1-e -y +1-(1-e - ) =1-e -y +e - ； )当 y1 时， F Y (y)=PYy =PX0 =1-PX0=1 (3).E(Y)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：11.00）(1). 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令 ，得 的矩估计量 (2). 的最大似然估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 似然函数为 取对数得 求导，得 得 则 的最大似然估计量
