1、考研数学三-63 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)1.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有|f“(x)|g1，令 u n =f(u n-1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：4.00）_2.设 f(x)在(-，+)内一阶连续可导，且 证明： 收敛，而 （分数：4.00）_3.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 证明：级数 （分数：4.00）_4.设 y=y(x)满足 y“=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：4.00）_5.求幂级数 （分数：4.00）_6.求函数
2、 f(x)=ln(1-x-2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域 （分数：4.00）_7.求幂级数 （分数：4.00）_8.求幂级数 （分数：4.00）_9.求幂级数 （分数：4.00）_10.求 （分数：4.00）_设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“+y=e x 的满足 （分数：4.00）(1).求 F(x)关于 x 的幂级数；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_11.将函数 （分数：4.00）_设 （分数：4.00）(1).求 f(x)满足的微分方程；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_12.证明 （分数：4.00）_13
3、.设 u n 0，且 存在证明：当 q1 时级数 收敛，当 q1 时级数 （分数：4.00）_14.设级数 收敛，且 绝对收敛证明： （分数：4.00）_15.设 ，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：4.00）_设函数 f 0 (x)在(-，+)内连续， （分数：4.00）(1).证明： （分数：2.00）_(2).证明： （分数：2.00）_16.设 a 0 =1，a 1 =-2， 证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：4.00）_设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_(2).若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_17.设有微
4、分方程 y“-2y=(x)，其中 （分数：4.00）_18.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解 （分数：4.00）_19.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：4.00）_20.设 f(x)为偶函数，且满足 （分数：4.00）_21.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解 （分数：4.00）_考研数学三-63 答案解析(总分：100.00，做题时间：90
5、分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)1.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有|f“(x)|g1，令 u n =f(u n-1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由|u n+1 -u n |=|f(u n )-f(u n-1 )|=|f“( 1 )|u n -u n-1 |q|u n -u n-1 |q n |u n-1 -u n-2 |q n |u 1 -u 0 | 且 收敛，所以 收敛，于是 2.设 f(x)在(-，+)内一阶连续可导，且 证明： 收敛，而 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明
6、由 得 f(0)=0，f“(0)=1，于是 因为 ，所以存在 0，当|x| 时，f“(x)0， 于是存在 N0，当 nN 时， ， 由莱布尼兹审敛法知 收敛， 因为 发散，所以 3.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 证明：级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 ，得 f(0)=0，f“(0)=0由泰勒公式得 ，其中 介于 0 与 x 之间 又 f“(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有|f“(x)|M，其中 M0 为 f“(x)在该闭区间上的界 所以对充分大的 n，有 因为 收敛，所以 收敛，即 4.设 y=y(
7、x)满足 y“=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 y“=x+y 得 y“=1+y“，再由 y(0)=1 得 y“(0)=1，y“(0)=2，根据麦克劳林公式，有 因为 且 收敛，所以 5.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ， 幂级数 的收敛半径为 ， 当 时，因为 发散， 所以 的收敛区间为 ； 幂级数 的收敛半径为 ， 当 时，因为 发散， 所以 的收敛区间为 ， 故 的收敛区间为 6.求函数 f(x)=ln(1-x-2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 f(x)=l
8、n(1-x-2x 2 )=ln(x+1)(1-2x)=ln(1+x)+ln(1-2x)， 因为 所以 7.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(-，+) 令 ， 则 8.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 显然该幂级数的收敛区间为-1，1， 令 ， 则 而 则 S(x)=x+(1-x)ln(1-x)(-1x1) 当 x=1 时， 所以 9.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(-，+)， 令 ， 则 10.求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令
9、显然其收敛域为(-1，1)， 则 于是 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“+y=e x 的满足 （分数：4.00）(1).求 F(x)关于 x 的幂级数；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 xy“+y=e x 得 ，解得 因为 ，所以 C=-1，于是 (2).求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 11.将函数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由逐项可积性得 所以 设 （分数：4.00）(1).求 f(x)满足的微分方程；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 则 f(x)满足的微分方程为 f“(x)-f(x)=xe x ， 因
10、为 a 0 =1，所以 f(0)=1，从而 C=1，于是 (2).求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 12.证明 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 显然级数的收敛域为(-，+)， 显然 S(x)满足微分方程 y (4) -y=0 y (4) -y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 cosx+C 4 sinx， 由 S(0)=1，S“(0)=S“(0)=S“(0)=0 得 ，C 4 =0，故和函数为 13.设 u n 0，且 存在证明：当 q1 时级数 收敛，当 q1 时级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 当 q1 时，取 ，
11、因为 ，所以存在 N0，当 nN 时， 从而有 所以有 ，而 收敛，所以 收敛，故 收敛 当 q1 时，取 ，因为 ，所以存在 N0，当 nN 时， 从而有 所以有 ，而 发散，所以 发散，故 14.设级数 收敛，且 绝对收敛证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 S n =(a 1 -a 0 )+(a 2 -a 1 )+(a n -a n-1 )，则 S n =a n -a 0 因为级数 收敛，所以 存在，设 ，则有 ，即 存在，于是存在 M0，对一切的自然数 n 有|a n |M 因为 绝对收敛，所以正项级数 收敛，又 0|a n b n |M|b n |，再由 收敛，根
12、据正项级数的比较审敛法得 收敛，即级数 15.设 ，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 ，即 ，所以 (1)当 0 时，因为级数 收敛，所以级数 收敛； (2)当 0 时，因为级数 发散，所以级数 设函数 f 0 (x)在(-，+)内连续， （分数：4.00）(1).证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 n=1 时， ，等式成立； 设 n=k 时， 则 n=k+1 时， 由归纳法得 (2).证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 对任意的 x(-，+)，f 0 (t)在0，x或x，0上连续，于是存在 M0(M 与 x 有关
13、)，使得|f 0 (t)|M(t0，x或 tx，0)，于是 因为 ，所以 收敛，根据比较审敛法知 16.设 a 0 =1，a 1 =-2， 证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 ，得幂级数的收敛半径 R=1，所以当|x|1 时，幂级数 收敛由 ，得 ，所以 设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 y“+ay=f(x)的通解为 ， 由 y(0)=0 得 C=0，所以 (2).若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 当 x0 时，17.设有微分方
14、程 y“-2y=(x)，其中 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 x1 时，y“-2y=2 的通解为 y=C 1 e 2x -1，由 y(0)=0 得 C 1 =1，y=e 2x -1； 当 x1 时，y“-2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x ，根据给定的条件， y(1+0)=C 2 e 2 =y(1-0)=e 2 -1，解得 C 2 =1-e -2 ，y=(1-e -2 )e 2x ， 补充定义 y(1)=e 2 -1，则得在(-，+)内连续且满足微分方程的函数 18.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x
15、2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y，Q(x，y)=f“(x)+x 2 y，因为xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f“(x)+f(x)=x 2 ， 解得 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2，由 f(0)=0，f“(0)=1 得 C 1 =2，C 2 =1， 所以 f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2 原方程为xy 2 -(2cosx+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x
16、2 y)dy=0，整理得 (xy 2 dx+x 2 ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0， 即 ， 原方程的通解为 19.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 代入整理得 的特征方程为 2 +2+1=0，特征值为 1 = 2 =-1， 则 20.设 f(x)为偶函数，且满足 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 则有 ，因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)是奇函数， 于是 f“(0)=0，代入上式得 f(0)=1 将 21.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 y=e 2x +(1+x)e x 代入原方程得 (4+2a+b)e 2x +(3+2a+b)e x +(1+a+b)xe x =ce x ，则有
