1、考研数学三-67 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：2，分数：2.00)1.设 （分数：1.00）2.设 为非零向量， （分数：1.00）二、选择题(总题数：5，分数：5.00)3.设 A 是 ms 矩阵，B 为 sn 矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是_（分数：1.00）A.r(A)=sB.r(A)=mC.r(B)=sD.r(B)=n4.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是_ AAX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 B 1 + 2 为 A
2、X=b 的解 C方程组 AX=0 的通解为 k( 1 - 2 ) DAX=b 的通解为 （分数：1.00）A.B.C.D.5.设有方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 矩阵，下列四个命题： (1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解 (3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B) (4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解 以上命题正确的是_（分数：1.00）A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)6.设 A 是 mn 矩阵
3、，B 是 nm 矩阵，则_（分数：1.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解7.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是_（分数：1.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示三、解答题(总题数：18，分数：93.00)8.设向量组 1 ， 2 ， n-1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交
4、证明： 1 ， 2 线性相关 （分数：5.00）_9.设齐次线性方程组 （分数：5.00）_10.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 （分数：5.00）_11.a，b 取何值时，方程组 （分数：5.00）_12.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解 （分数：5.00）_设() 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1 = （分数：6.00）(1).求方程组()的基础解系；（分数：2.00）_(2).求方程组()BX=0 的基础解系；（分数：2.00）_(3).(
5、)与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解（分数：2.00）_设() () （分数：6.00）(1).求()，()的基础解系；（分数：3.00）_(2).求()，()的公共解（分数：3.00）_13. （分数：5.00）_14.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 （分数：5.00）_15.设 的一个基础解系为 写出 （分数：5.00）_16.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与 ABX=0 是同解方程组 （分数：5.00）_设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n（分数：6.00）(1).证明 （分
6、数：3.00）_(2).设 1 ， 2 ， r 与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 Ax=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：3.00）_17.设 A 为 n 阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0 （分数：5.00）_18.证明：r(AB)minr(A)，r(B) （分数：5.00）_19.证明：r(A)=r(A T A) （分数：5.00）_20.设 A 是 mn 矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 （分数：5.00）_21.讨论方程组 （分数：5.00）_22
7、.设 （分数：5.00）_考研数学三-67 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：2，分数：2.00)1.设 （分数：1.00）解析：2 1解析 2.设 为非零向量， （分数：1.00）解析：3 k(-3，1，2) T 解析 AX=0 有非零解，所以|A|=0，解得 a=3，于是 二、选择题(总题数：5，分数：5.00)3.设 A 是 ms 矩阵，B 为 sn 矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是_（分数：1.00）A.r(A)=s B.r(A)=mC.r(B)=sD.r(B)=n解析：解析 设 r(A)=s，显然方程组 BX=0 的解一
8、定为方程组 ABX=0 的解，反之，若 ABX=0。因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0 只有零解，故 BX=0，即方程组 BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选 A4.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是_ AAX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 B 1 + 2 为 AX=b 的解 C方程组 AX=0 的通解为 k( 1 - 2 ) DAX=b 的通解为 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为 A * O，所以 r(A
9、)=n-1， 2 - 1 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选 C5.设有方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 矩阵，下列四个命题： (1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解 (3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B) (4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解 以上命题正确的是_（分数：1.00）A.(1)(2)B.(1)(3) C.(2)(4)D.(3)(4)解析：解析 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则 n-r
10、(A)n-r(B)，从而 r(A)r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选 B6.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则_（分数：1.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解 B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解解析：解析 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B)，所以r(AB)m，于是方程
11、组 ABX=0 有非零解，选 A7.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是_（分数：1.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析：解析 方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AX=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选 D三、解答题(总题数：18，分数：93.00)8.设向量组 1 ， 2 ， n-1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关 （分数：5.00）_正
12、确答案：()解析：证明 令 9.设齐次线性方程组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 (1)当 ab，a(1-n)b 时，方程组只有零解； (2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0，其通解为 X=k 1 (-1，1，0，0) T +k 2 (-1，0，1，0) T +k n-1 (-1，0，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k n-1 为任意常数)； (3)令 10.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1 (1)当 k9
13、时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (2)当 k=9 时，r(B)=1，1r(A)2，当 r(A)=2 时，方程组 AX=0 的通解为 当 r(A)=1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0， 由 得通解为 11.a，b 取何值时，方程组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 (1)a1 时， 唯一解为 (2)a=1，b-1 时，r(A) 12.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解 （分数：5.00）_正确答案
14、：()解析：证明 方程组 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解 因为 所以方程组 设() 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1 = （分数：6.00）(1).求方程组()的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 方程组()的基础解系为(2).求方程组()BX=0 的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 r(B)=2，所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解向量，(3).()与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 方程组()的通解为 方程组()的通解
15、为 令 ，则有 设() () （分数：6.00）(1).求()，()的基础解系；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 的基础解系为 的基础解系为 (2).求()，()的公共解（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 ()，()公共解即为 的解， ()，()的公共解为 方法二 ()的通解 代入() =2k 2 ， 故()，()的公共解为(-k，k，2k，k) T =k(-1，1，2，1) T (k 为任意常数) 方法三 ()的通解为 ()的通解为 令 ()，()的公共解为 13. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 方法一 的通解为 把()的通解代入()，得 方法二 因为
16、()，()同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，()的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关 1 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表出， 1 =-2 1 + 2 +a 2 a=-1， 2 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表出， 2 = 1 + 2 - 3 b=-2， 3 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表出， 3 =3 1 + 2 + 3 14.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 令 方程组()可写为 AX=b，方程组()、()可分别写为 A T Y=0 及 若方程组()有解，则 r(A)=r( )，从而 又因为()的解一定为(
17、)的解，所以()与()同解； 反之，若()与()同解，则 从而 r(A)=r( 15.设 的一个基础解系为 写出 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 则()可写为 AX=0， 令 其中 则()可写为 BY=0，因为 1 ， 2 ， n 为()的基础解系，因此 r(A)=n， 1 ， 2 ， n 线性无关， 16.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与 ABX=0 是同解方程组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解令 r(B)=r 且 1 ， 2 ， n-r 是
18、方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 ABX=0 有一个解 0 不是方程组 BX=0 的解，即 B 0 0，显然 1 ， 2 ， n-r ， 0 线性无关，若 1 ， 2 ， n-r ， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n-r ，k 0 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r +k 0 0 =0，若 k 0 =0，则 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r +k 0 0 =0，因为 1 ， 2 ， n-r 线性无关，所以 k 1 =k 2 =k n-r =0，从而 1 ， 2 ， n-r ， 0 线性无关，所以 k 0 0，故 0 可由
19、1 ， 2 ， n-r 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B 0 =0，矛盾，所以 1 ， 2 ， n-r ， 0 线性无关，且为方程组 ABX=0 的解，从而 n-r(AB)n-r+1，r(AB)r-1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0 与 ABX=0 同解设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n（分数：6.00）(1).证明 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 n=r(CA+DB)= 所以(2).设 1 ， 2 ， r 与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 Ax=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r ， 1 ，
20、2 ， s 线性无关（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 所以方程组 17.设 A 为 n 阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)n，从而|A|=0，于是 A * b=A * AX=|A|X=0 反之，设 A * b=0，因为 b0，所以方程组 A * X=0 有非零解，从而 r(A * )n，又 A 11 0，所以 r(A * )=1，且 r(A)=n-1 因为 r(A * )=1，所以方程组 A * X=0 的基础
21、解系含有 n-1 个线性无关的解向量，而 A * A=0，所以 A 的列向量组 1 ， 2 ， n 为方程组 A * X=0 的一组解向量 由 A 11 0，得 2 ， n 线性无关，所以 2 ， n 是方程组 A * X=0 的基础解系 因为 A * b=0，所以 b 可由 2 ， n 线性表示，也可由 1 ， 2 ， n 线性表示，故r(A)= 18.证明：r(AB)minr(A)，r(B) （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有 n-r 个线性无关的解向量， 因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的
22、线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 n-r(AB)n-r(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB) T =r(AB)=r(B T A T )r(A T )=r(A)， 所以 r(AB)minr(A)，r(B)19.证明：r(A)=r(A T A) （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 只需证明 AX=0 与 A T AX=0 为同解方程组即可 若 AX 0 =0，则 A T AX 0 =0 反之，若 A T AX 0 =0，则 X 0 T A T AX 0 =0 (AX 0 ) T (AX 0 )=0 20.设 A 是 mn 矩阵，
23、且非齐次线性方程组 AX=b 满足 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 n-r 个线性无关的解向量，设为 1 ， 2 ， n-r 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解， 令 0 = 0 ， 1 = 1 + 0 ， 2 = 2 + 0 ， n-r = n-r + 0 ，显然 0 ， 1 ， 2 ， n-r 为方程组 AX=b 的一组解 令 k 0 0 +k 1 1 +k n-r n-r =0，即 (k 0 +k 1 +k n-r ) 0 +k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r =0， 上式两边左乘 A 得(
24、k 0 +k 1 +k n-r )b=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k 0 +k 1 +k n-r =0，于是 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r =0， 注意到 1 ， 2 ， n-r 线性无关，所以 k 1 =k 2 =k n-r =0， 故 0 ， 1 ， 2 ， n-r 线性无关，即方程组 AX=b 存在由 n-r+1 个线性无关的解向量构成的向量组设 1 ， 2 ， n-r+2 为方程组 AX=b 的一组线性无关解， 令 1 = 2 - 1 ， 2 = 3 - 1 ， n-r+1 = n-r+2 - 1 ，根据定义，易证 1 ， 2 ， n-r+1 线性无关，又 1
25、 ， 2 ， n-r+1 为齐次线性方程组 AX=0 的一组解，即方程组AX=0 含有 n-r+1 个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意 n-r+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b的线性无关的解向量的个数最多为 n-r+1 个21.讨论方程组 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 (1)当 a-1，b-2 时因为 D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得 (2)当 a=-1，b-2 时， 当 b-1 时，方程组无解 当 b=-1 时， 方程组的通解为 (3)当 a-1，b=-2 时， 当 a=1 时， 方程组的通解为 当 a1 时，显然 r(A)=2 22.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 X=(X 1 ，X 2 ，X 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，方程组 AX=B 等价于 则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r( )， 由 r(A)=r( )得 a=1，b=2，c=-2，此时 AX 1 = 1 的通解为 AX 2 = 2 的通解为 AX 3 = 3 的通解为 则
