1、考研数学三线性代数（矩阵）-试卷 2 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.E-A 不可逆，E+A 不可逆B.E-A 不可逆，E+A 可逆C.E-A 可逆，E+A 可逆D.E-A 可逆，E+A 不可逆3.设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C
2、.D.4.设 A 为 mn 矩阵，B 为 n，n 矩阵，若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.r(A)=m，r(B)=mB.r(A)=m，r(B)=nC.r(A)=n,r(B)=mD.r(A)=n，r(B)=n5.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 +A=O，若 A 的秩为 3，则 A 相似于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设矩阵 A= ，矩阵 B 满足=AB+B+A+2E=O，则B+E=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算正确的是( )（分数：2.00）A.(A+B)(A-B)=A 2 -B 2B.(A+B) -
3、1 =A -1 +B -1C.(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2D.(AB) * =B * A *8.设 A=E-2 T ，其中 =(x 1 ，x 2 ，x n ) t 且有 T =1则 (1)A 是对称阵； (2)A 2 是单位阵； (3)A 是正交阵； (4)A 是可逆阵 上述结论中，正确的个数是( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.设 A= ，那么(P -1 ) 2010 A(Q 2011 ) -1 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1
4、 A=B二、填空题(总题数：13，分数：26.00)11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）填空项 1:_16.设矩阵 X 满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 A= （
5、分数：2.00）填空项 1:_21.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_22.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_23.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_25.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag(1，1，1，8)，且 ABA -1 =BA -1 +3E，求 B（分数：2.00）_26.设方阵 A 满足 A 2 -A-2E=O，证明 A 及 A+2E 都可逆，并求 A -1 及(A+2E) -1（分数：2.00）_设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A * ，证明：（分
6、数：4.00）(1).若A=0，则A * =0；（分数：2.00）_(2).A * =A n-1（分数：2.00）_27.设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求 （分数：2.00）_28.设 A= （分数：2.00）_29.证明 r(A)=1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 b T ，使 A=ab T（分数：2.00）_30.设向量组 （分数：2.00）_考研数学三线性代数（矩阵）-试卷 2 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
7、_解析：2.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.E-A 不可逆，E+A 不可逆B.E-A 不可逆，E+A 可逆C.E-A 可逆，E+A 可逆 D.E-A 可逆，E+A 不可逆解析：解析：已知(E-A)(E+A+A 2 )=E-A 3 =E，(E+A)(E-A+A 2 )=E+A 3 =E 故 E-A，E+A 均可逆故应选 C3.设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若矩阵 A 的行列式A0，A 可逆
8、，且，A -1 = 的行列式 =(-1) 22 AB=23=6，即分块矩阵可逆，那么根据公式有 4.设 A 为 mn 矩阵，B 为 n，n 矩阵，若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.r(A)=m，r(B)=m B.r(A)=m，r(B)=nC.r(A)=n,r(B)=mD.r(A)=n，r(B)=n解析：解析：本题主要考查矩阵的秩的性质 因为 AB=E，所以 r(AB)=m又 r(AB)=mminr(A)，r(B)，即 r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m，所以，r(A)=m，r(B)=m故选 A5.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 +A=O，若 A 的秩为 3，
9、则 A 相似于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题考查的是矩阵相似的性质，实对称矩阵可对角化的性质，矩阵的特征值，矩阵的秩等 设 A 的特征值为 ，因为 A 2 +A=O，所以 2 +=0，即 (+1)=0，则 =0 或 =-1 又因为 r(A)=3，而由题意 A 必可相似对角化，且对角矩阵的秩也是 3，所以 =-1 是三重特征根，则 6.设矩阵 A= ，矩阵 B 满足=AB+B+A+2E=O，则B+E=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：化简矩阵方程，构造 B+E，用分组因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=-E，即(A+E)(B+E)=-E
10、， 两边取行列式，由行列式乘法公式得 A+E.B+E=1，7.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算正确的是( )（分数：2.00）A.(A+B)(A-B)=A 2 -B 2B.(A+B) -1 =A -1 +B -1C.(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2D.(AB) * =B * A * 解析：解析：矩阵的乘法没有交换律，因此 A，B 可逆不能保证 AB=BA，例如 A= ，所以 A、C 均不正确 A，B 可逆时，A+B 不一定可逆，即使 A+B 可逆，其逆一般也不等于 A -1 +B -1 所以 8.设 A=E-2 T ，其中 =(x 1 ，x 2 ，x n ) t 且有 T
11、 =1则 (1)A 是对称阵； (2)A 2 是单位阵； (3)A 是正交阵； (4)A 是可逆阵 上述结论中，正确的个数是( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：A T =(E-2 T ) T =E T -(2 T ) T =E-2 T =A，(1)成立 A 2 =(E-2 T )(E-2 T )=E-4 T +4 T T =E-4 T +4( T ) T =E，(2)成立 由(1)、(2)，得 A 2 =AA T =E，故 A 是正交阵，(3)成立 由(3)知正交阵是可逆阵，且 A -1 =A T ，(4)成立 故应选 D9.设 A= ，那么(P -1 ) 2010
12、A(Q 2011 ) -1 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：P、Q 均为初等矩阵，因为 P -1 =P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的 1、3 两行，那么 P 2010 A 表示把 A 的 1、3 两行互换 2010 次，从而(P -1 ) 2010 A=P 2010 A=A 又(Q 2011 ) -1 =(Q -1 ) 2011 ，且Q -1 = 10.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：由于对矩阵 A mn 施行一次初等变换相当于在 A 的左边乘以相应
13、的 m 阶初等矩阵；对 A mn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第 1 行加到第 3 行上，再把所得的矩阵的第 1、2 两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P 2 与 P 1 ，因此选项 C 正确二、填空题(总题数：13，分数：26.00)11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：对 A 作初等行变换，则有12.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
14、案：2）解析：解析：因为13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：因为矩阵 B 为 3 阶非零矩阵，并且满足 AB=O，因此可见线性方程 Ax=0 有非零解，因此14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题可以采用单位矩阵恒等变形的技巧则 B-E=(E-A)(E+2A) -1 -(E+2A)(E+2A) -1 =(E-A)-(E+2A)(B+2A) -1 =-3A(E+2A) -1 因此可得(B-E) -1 =-3A(E+2A) -1 -1 = 根据已知可得 15.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * =
15、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AA * =AE，因此 A=A(A * ) -1 ，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得A * =-8=A 3 ，因此A=-2，又 16.设矩阵 X 满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 A=17.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 B 按列分块，设 B=( 1 ， 2 ， 3 )，则 AB=A( 1 ， 2 ， 3 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=0， 因此可得 A 1 =0，A 2 =0，A 3 =0，因此
16、 1 ， 2 ， 3 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量 对于齐次线性方程组 AB=0，求出其通解 对 A 作初等行变换 则 Ax=0 有通解k(-2，-1，1) T ，令 1 ， 2 ， 3 都是齐次线性方程组 Ax=0 的通解，再合并成矩阵 B，即得 B= 18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据已知 Ax+2B=BA+2X，得 AX-2X=BA-2B，即(A-2E)X=B(A-2E)，由于 A-2E= 是可逆的，因此 X=(A-2E) -1 B(A-2E)，那么 X 2 =(A-2E) -1 B 2 (A-2E) 19.设矩阵 A
17、= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：依矩阵乘法直接计算得 20.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由 AB+2A=A(B+2E)，且 是可逆矩阵，因此 r(AB+2A)=r(A(B+2E)=r(A) 因为经过初等变换，矩阵的秩不变，则21.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A * 也是可逆的，因此 r(AXA * )=r(X)=2=r(B)， 因此可得B=0，则 22.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
18、：正确答案：*）解析：解析：根据 BA T =O 可知，r(B)+r(A T )3，即 r(A)+r(B)3又因为 BO，因此 r(B)1，从而有 r(A)3，即A=0，因此 23.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A -1 (A -1 ) * =A -1 E，则(A -1 ) * =A -1 A= 由题干可知A=6，因此 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：25.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag(1，1，1，8)，且 ABA -1 =BA -1 +3E，求 B（
19、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知 A -1 存在，A * =AA -1 两端取行列式可得A * =A 4 A -1 =A 3 ， 因为 A * =diag(1，1，1，8)，所以A=8，即A=2由 ABA -1 =BA -1 +3E 移项并提取公因 式得，(A-E)BA -1 =3E，右乘 A 得(A-E)B=3A，左乘 A -1 得(E-A -1 )B=3E 且由已求结果A=2，知 )解析：26.设方阵 A 满足 A 2 -A-2E=O，证明 A 及 A+2E 都可逆，并求 A -1 及(A+2E) -1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 -A-2E=0，
20、得 A(A-E)=2E两端同时取行列式A(A-E)=2，即 AA-E=2，故A0，所以 A 可逆 而由 A 2 -A-2E=0 可得 A+2E=A 2 两端同时取行列式 A+2E=A 2 =A 2 0， 所以 A+2E 也可逆 由 A(A-E)=2E，得 A -1 = (A-E) 又 A 2 -A-2E=0，通过添加项并整理可得(A+2E)(A-3E)=-4E，则有 (A+2E) -1 (A+2E)(A-3E)=-4(A+2E) -1 ， 因此(A+2E) -1 = )解析：设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A * ，证明：（分数：4.00）(1).若A=0，则A * =0；（分数：2.00）
21、_正确答案：(正确答案：(反证法)假设A * 0，由矩阵可逆的充分必要条件可知 A * 是可逆矩阵，则有 A * (A * ) -1 =E，又因为 A * =A -1 A，这里A0，由此得 A=AE=AA * (A * ) -1 =AE(A * ) -1 =0，所以 A * =O这与A * 0 矛盾，故当A=0 时，有A * =0)解析：(2).A * =A n-1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AA * =AE，两端同时取行列式得AA * =A n 当A0 时，A * =A n-1 ；当A=0 时，A * =0 综上，有A * =A n-1 成立)解析：27.设 n 阶矩阵
22、A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 ，其中，X 1 为 ns 矩阵，X 2 为 nn 矩阵，X 3 为 ns 矩阵，X 4 为 sn 矩阵，由矩阵互逆的定义可得 (2)将 ，其中，X 1 为 nn 矩阵，X 2 为 ns 矩阵，X 3 为 sn 矩阵，X 4 为 ss 矩阵，由矩阵互逆的定义可得 )解析：28.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 作初等变换， )解析：29.证明 r(A)=1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 b T ，使 A=ab T（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性：设
23、 a=(a 1 ，a 2 ，a m ) T ，b=(b 1 ，b 2 ，b m ) T ，设 a 1 b 1 0，根据矩阵秩的性质 r(AB)minr(A)，r(B)，因为 A=ab T ，所以 r(A)r(a)=1 另一方面，根据假设 a 1 b 1 0 可知，A 的第一行第一列的元素 a 1 b 1 0，所以 r(A)1 综上所述 r(A)=1 必要性：设 A=(a ij ) mn ，因 r(A)=1，设 a 11 0，由矩阵的等价可知，存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可逆阵 Q，使 其中 a= )解析：30.设向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=(a 3 ，a 4 ，a 1 ，a 2 )，并对矩阵 A 作初等行变换 )解析：
