1、考研数学三线性代数（矩阵）-试卷 3 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 A= （分数：2.00）A.3B.2C.1D.1 或 33.设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式A=a0A * 是 A 的伴随矩阵，则A * 等于( )（分数：2.00）A.aB.C.a n-1D.a n4.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.AB=BAC.AB=BAD.(A+B) -1 =A -1 +B -15.设 n
2、 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E6.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1D.r 与 r 1 的关系依 C 而定7.设三阶矩阵 A= （分数：2.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0D.ab 或 a+2b08.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第
3、 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知矩阵 A= ，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 =A，E 为 n 阶单位阵，则 r(A)+r(A-E)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A= （分数：2.
4、00）填空项 1:_16.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，-1) T ， 3 =(-1，1，0) T ，且 A 1 =(2，1) T ，A 2 =(-1，1) T ，A 3 =(3，-4) T ，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.设矩阵 A 与 B= （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O，则 r(4E-A)+r(2E+A)= 1（分数
5、：2.00）填空项 1:_21.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.(1)设 A= ，求 (A)=A 10 -5A 9 ； (2)设 A= （分数：2.00）_24.设 A= （分数：2.00）_25.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_26.设矩阵 A= （分数：2.00）_27.已知 A= （分数：2.00）_设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记
6、分块矩阵 （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.00）_28.设 ， 为 3 维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别为 ， 的转置证明：r(A)2（分数：2.00）_29.设 A= （分数：2.00）_考研数学三线性代数（矩阵）-试卷 3 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 A= （分数：2.00）A.3B.2C.1D.1 或
7、 3 解析：解析：A 是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式 3.设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式A=a0A * 是 A 的伴随矩阵，则A * 等于( )（分数：2.00）A.aB.C.a n-1 D.a n解析：解析：对 AA * =AE 两边取行列式，得 AA * =AE=A n 由A=a0，可得A * =A=a n-1 所以应选 C4.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.AB=BAC.AB=BA D.(A+B) -1 =A -1 +B -1解析：解析：因为AB=AB=BA=BA，所以 C 正确 对于选项 A，取 B=-A，则A+B=0
8、，而A+B不一定必为零，故 A 错误 对于选项 B，由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确 对于选项 D，因(A+B)(A -1 +B -1 )E，故 D 也不正确 所以应选 C5.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E 解析：解析：由题设 ABC=E，可知 A(BC)=E 或(AB)C=E， 即 A 与 BC 以及 Aj5与 C 均互为逆矩阵，从而有 (BC)A=BCA=E 或 C(AB)=CAB=E， 比较四个选项，所以应选 D6.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n
9、 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1 D.r 与 r 1 的关系依 C 而定解析：解析：因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A)所以应选 C7.设三阶矩阵 A= （分数：2.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0 D.ab 或 a+2b0解析：解析：根据矩阵 A 与其伴随矩阵 A * 秩的关系可知，r(A)=2，即 A 为降秩矩阵，从而 8.设
10、A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题设，有9.已知矩阵 A= ，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 AA= ，那么只要和矩阵 A 有相同的特征值，它就一定和 A 相似，也就一定与 A 相似 (1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和3，所以它们均与 A 相似，对于(3)和(4)，由二、填空题(总题数：12，分数：24.00)1
11、0.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：对 A 作初等变换，12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AB=0，则有 r(A)+r(B)3，又已知矩阵 BO，因此 r(B)1，那么 r(A)3，则行列式A=0而13.已知 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据 A 2 -A=A(A-E)，已知矩阵 A= 14.设 n
12、 阶矩阵 A 满足 A 2 =A，E 为 n 阶单位阵，则 r(A)+r(A-E)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：由已知 A 2 =A，则有 A(A-E)=A 2 -A=A-A=O，所以 r(A)+r(A-E)n 又 r(A-E)=r(E-A)， 则 r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)r(A+E-A)=r(E)=n， 因此 r(A)+r(A-E)=n15.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘矩阵 A，并把等式 AA * =AE 代入已知矩阵方程，得XX=E+2AX，移项可得(AE-2A
13、)X=E，因此 X=(AE-2A) -1 已知A=4，所以 16.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，-1) T ， 3 =(-1，1，0) T ，且 A 1 =(2，1) T ，A 2 =(-1，1) T ，A 3 =(3，-4) T ，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分块矩阵，得 A 1 ， 2 ， 3 =A 1 ，A 2 ，A 3 = ，那么 17.设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用已知条件
14、AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B-2E，于是有 AB-2A-3B+6E=6E，则有(A-3E)(B-2E)=6E从而18.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由(E-B -1 A) T B T X=E，得B(E-B -1 A) T X=E，即(BE-BB -1 A) T X=E，也就是 (B-A) T X=E，因此 X -1 =(B-A) T = 19.设矩阵 A 与 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：矩阵 A 与 B 相似，则 A-2E 与 B-2E 相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，
15、则有 r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=320.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O，则 r(4E-A)+r(2E+A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：根据已知 A 2 -2A-8E=O，可得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知 r(4E-A)+r(2E+A)n， 同时 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n， 因此 r(4E-A)+r(2E+A)=n21.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项
16、 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知，A 可逆，已知 A -1 BA=6A+BA，在该等式的两端右乘 A -1 ，则有 A -1 B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得 B=6A+AB，则有(E-A)B=6A，即 B=6(E-A) -1 A，且 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.(1)设 A= ，求 (A)=A 10 -5A 9 ； (2)设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 的特征多项式为 解得 A 的特征值为 1 =1， 2 =5 对于 1 =1，解方程(A-E)x=0
17、，得单位特征向量 对于 2 =5，解方程(A-5E)x=0，得单位特征向量 于是有正交矩阵 P= ，使得 P -1 AP=diag(1，5)=A，从而 A=PAP -1 ，A k =PA k P -1 因此 (2)A 的特征多项式为 A 的特征值为 1 =-1， 2 =1， 3 =5 对于 1 =-1，解方程(A+E)x=0，得单位特征向量 对于 2 =1，解方程(A-E)x=0，得单位特征向量 对于 3 =5，解方程(A-5E)x=0，得单位特征向量 于是有正交矩阵 使得 P -1 AP=diag(-1，1，5)=A，A=PAP -1 因此 (A)=P(A)P -1 =P(A 10 -6A
18、9 +5A 8 )P -1 =PA 8 (A-E)(A-5E)P -1 =Pdiag(1，1，5 8 )diag(-2，0，4)diag(-6，-4，0)P -1 =Pdiag(12，0，0)P -1 )解析：24.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一：r(B)=2，因此可设 B= ，由 AB=O，即 解此非齐次线性方程组，得唯一解 故所求矩阵为 B= 方法二：设矩阵 B 按列分块 B=(b 1 ，b 2 )，由于 r(B)=2，所以 b 1 ，b 2 线性无关 因为 AB=O，即 A(b 1 ，b 2 )=O，得 Ab 1 =O 且 Ab 2 =O，也就是 b 1 ，b
19、 2 是方程 Ax=0 的解又 r(A)=2，则 b 1 ，b 2 是它的一个基础解系 )解析：25.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 r(A)=n 时，A0，则有 A * =A N-1 0 从而 A * 可逆，即r(A * )=n (2)当 r(A)=n-1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n-1 阶子式不为零，即 A * 中至少有一个元素不为零，故 r(A * )1 又因 r(A)=n-1 时，有A=0，且由 AA * =AE 知，AA * =O 因此根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A * )n，
20、 把 r(A)=n-1 代入上式，得 r(A * )1 综上所述，有r(A * )=1 (3)当 r(A)n-2 时，A 的所有 n-1 阶子式都为零，也就是 A * 的任一元素均为零，即 A * =O，从而 r(A * )=0)解析：26.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 与 A 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=-4，=y 是 A 的特征值 因为 =-4 是 A 的特征值，所以有 解得 x=4 已知相似矩阵的行列式相同，于是由 所以有-20y=-100，y=5 当 =5 时，解方程(A-5E)x=0，得两个线性无关的特征向量 ，将它们正交化、单位化得： 当
21、 =-4 时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量 ，单位化得： 于是有正交矩阵 )解析：27.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =3，=0 当 =3 时，有(3E-A)x=0，且 得特征向量 1 =(1，-2，0) T ， 2 =(0，0，1) T 当 =0 时，有(0E-Ax)=0，且 得特征向量 3 =(-1，-1，1) T 那么，令 )解析：设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=AE
22、 及 A * =AA -1 有 )解析：(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 )解析：28.设 ， 为 3 维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别为 ， 的转置证明：r(A)2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一： r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )r()+r()2 方法二：因为 A= T + T ，A 为 33 矩阵，所以 r(A)3 因为 ， 为 3 维列向量，所以存在向量 0，使得 T =0， T 0， 于是 A= T + T =0， 所以 Ax=0 有非零解，从而 r(A)2)解析：29.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先观察 下面用数学归纳法证明此结论成立： 当 n=2 时，结论显然成立；假设 n=k 时成立，则 n=k+1 时， )解析：
