1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 18 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)是定义在(1，1)内的奇函数，且 （分数：2.00）A.aB.aC.0D.不存在3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导4.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x 0 处的微分 dy 是 ( )（分数：2.
2、00）A.与x 同阶但非等价的无穷小B.与x 等价的无穷小C.比x 高阶的无穷小D.比x 低阶的无穷小5.已知函数 f(x)=lnx1，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.函数 y= （分数：2.00）A.(1，0)B.(C.(1，0)D.(7.函数 f(x)= 在 x= 处的 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)= ( )（分数：2.00）A.nf(x) n+1B.n！f(x) n+1C.(n+1)f(x) n+1D.(n+1)！f(x) n+19.函数 y=f(x)满足条件 f(0)
3、=1，f(0)=0，当 x0 时，f(x)0，f(x) 则它的图形是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y=x+ （分数：2.00）填空项 1:_13.设曲线 y=ax 3 +bx 2 +cx+d 经过(2，44)，x=2 为驻点，(1，10)为拐点，则 a，b，c，d 的值分别为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分
4、数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 f(x)=x 3 +4x 2 3x1，试讨论方程 f(x)=0 在(，0)内的实根情况（分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设函数 f(y)的反函数 f 1 (x)及 ff 1 (x)与 ff 1 (x)都存在，且 f 1 f 1 (x)0证明： （分数：2.00）_19.求函数 y= （分数：2.00）_20.设 y= （分数：2.00）_21.设 y=y(x)是由 siny= （分数：2.00）_22.设 y=f(1nx)e f(x) ，其中 f
5、 可微，计算 （分数：2.00）_23.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=e f(x) ，f(2)=1，计算 f (n) (2)（分数：2.00）_24.设曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n ，0)，计算 （分数：2.00）_25.曲线 y= （分数：2.00）_26.设 (x)= （分数：2.00）_27.证明：不等式 1+xln(x+ （分数：2.00）_28.讨论方程 2x 3 9x 2 +12xa=0 实根的情况（分数：2.00）_29.讨论方程 axe x +b=0(a0)实根的情况（分数：2.00）_30.设 f n (
6、x)=x+x 2 +x n ，n=2，3， (1)证明：方程 f n (x)=1 在0，+)有唯一实根 x n ； (2)求 （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 18 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)是定义在(1，1)内的奇函数，且 （分数：2.00）A.a B.aC.0D.不存在解析：解析：由于 f(x)为(1，1)内的奇函数，则 f(0)=0于是 3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极
7、限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析：显然 =f(0)=0，f(x)在 x=0 点连续 由于 所以 f (0)=0 又 4.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x 0 处的微分 dy 是 ( )（分数：2.00）A.与x 同阶但非等价的无穷小B.与x 等价的无穷小 C.比x 高阶的无穷小D.比x 低阶的无穷小解析：解析：由题设可知 f(x 0 )=1，而 dy x=x0 =f(x 0 )x=x，因而 5.已知函数 f(x)=lnx1，则 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.
8、解析：解析：应当把绝对值函数写成分段函数， 当 x1 时，f(x)= ；当 x1 时，f(x)=6.函数 y= （分数：2.00）A.(1，0)B.( C.(1，0)D.(解析：解析：因为 f(x)=x 2 +x+6，所以 f(0)=6故过(0，1)的切线方程为 y1=6x，因此与 x 轴的交点为( 7.函数 f(x)= 在 x= 处的 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：f(x)在 x= 处的左、右导数为： 因此 f(x)在 x= 处不可导，但有 f + ()= 8.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)= ( )（分数：2.
9、00）A.nf(x) n+1B.n！f(x) n+1 C.(n+1)f(x) n+1D.(n+1)！f(x) n+1解析：解析：由 f(x)=f(x) 2 得 f(x)=f(x)=(f(x) 2 =2f(x)f(x)=2f(x) 3 ， 这样 n=1，2 时f (n) (x)=n！f(x) n+1 成立假设 n=k 时，f (k) (x)=k！f(x) k+1 则当 n=k+1 时，有 f (k+1) (x)=k！(f(x) k+1 =(k+1)！f(x) k f(x)=(k+1)！f(x) k+2 ， 由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)9.函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1，f(0
10、)=0，当 x0 时，f(x)0，f(x) 则它的图形是 ( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因函数单调增加，且在 x=0 处有水平切线，选(B)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：正）解析：解析：利用反证法，假设存在点 x 1 a，b，使得 f(x 1 )0又由题意知存在点 x 2 a，b，x 2 x 1 ，使得 f(x 2 )0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x 1 和 x 2 之间，使得
11、f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾11.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用洛必达法则， =b，由于 f(x)在 x=0 处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=1，再由导数的定义及洛必达法则，有12.曲线 y=x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，+)）解析：解析：y=13.设曲线 y=ax 3 +bx 2 +cx+d 经过(2，44)，x=2 为驻点，(1，10)为拐点，则 a，b，c，d 的值分别为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，3，24，16）解析：解析
12、：由条件三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 f(x)=x 3 +4x 2 3x1，试讨论方程 f(x)=0 在(，0)内的实根情况（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(5)=110，f(1)=50，f(0)=10，所以 f(x)在5，1及1，0上满足零点定理的条件，故存在 1 (5，1)及 2 (1，0)，使得 f( 1 )=f( 2 )=0，所以方程 f(x)=0 在(，0)内存在两个不等的实根又因为 f(1)=10，同样 f(x)在0，1上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点
13、 3 ，使得 f( 3 )=0，而 f(x)=0 为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程 f(x)=0 在(，0)内只有两个不等的实根)解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 y x ，令 u= ，所以 y= )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 运用高阶导数公式，得： )解析：18.设函数 f(y)的反函数 f 1 (x)及 ff 1 (x)与 ff 1 (x)都存在，且 f 1 f 1 (x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=f(y)则其反函数为 y=f 1 (x)，对 x=f(y)两边关于 x 求导，得 )
14、解析：19.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 y=y(x)是由 siny= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程中令 x=0 可得，0= +1，故 y(0)=e 2 将方程两边对 x 求导数，得 cos(xy)(y+xy)= 将 x=0，y(0)=e 2 代入，有 e 2 = ，即 y(0)=ee 4 将式两边再对 x 求导数，得 sin(xy)(y+xy) 2 +cos(xy)(2y+xy)= 将 x=0，y(0)=e 2 和 y(0)=ee 4 代入，有 2(ee 4
15、)= )解析：22.设 y=f(1nx)e f(x) ，其中 f 可微，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =f(1nx)e f(x) +f(1nx)e f(x) =f(lnx) )解析：23.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=e f(x) ，f(2)=1，计算 f (n) (2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=e f(x) 两边求导数得 f(x)=e f(x) f(x)=e 2f(x) ， 两边再求导数得 f(x)=e 2f(x) 2f(x)=2e 3f(x) ， 两边再求导数得 f (4) (x)=2e 3f(x) 3f(x)=
16、3！e 4f(x) ， 由以上规律可得 n 阶导数 f (n) (x)=(n1)！e nf(x) ， 所以 f (n) (2)=(n1)！e n )解析：24.设曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n ，0)，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由导数几何意义，曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线斜率 k=f(1)=nx n1 x=1 =n， 所以切线方程为 y=1+n(x1)，令 y=1+n(x1)=0 解得 x n =1 ，因此 )解析：25.曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求曲线 处的切线方程 所以切线斜率
17、k= ，切线方程为 切线与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为 A(3a，0)，B(0， )，于是AOB 的面积为 当切点沿 x 轴正向趋于无穷远时，有 =+； 当切点沿 Y 轴正向趋于无穷远时，有 )解析：26.设 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)=f(x)= 当 x0 时，用复合函数求导法则求导得 当 x=0 时(分段点)，(0)=0，(0)= =0 又 f(x)在 x=0 处可导，于是根据复合函数的求导法则，有 F(0)=f(0)(0)=0 所以 F(x)= )解析：27.证明：不等式 1+xln(x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=1+
18、xln(x+ ，则 f(x)= 令 f(x)=0，得驻点为 x=0，由于f(x)= 0，知 x=0 为极小值点，即最小值点f(x)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切x(，+)，有 f(x)0，即有 1+xln(x+ )解析：28.讨论方程 2x 3 9x 2 +12xa=0 实根的情况（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2x 3 9x 2 +12xa，讨论方程 2x 3 9x 2 +12xa=0 实根的情况，即讨论函数 f(x)零点的情况 显然， )解析：29.讨论方程 axe x +b=0(a0)实根的情况（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=axe
19、 x +b，因为 ，求函数 f(x)=axe x +b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值 f(x)=ae x +axe x =ae x (1+x)， 驻点为 x=1， f(x)=2ae x +axe x =ae x (2+x)， f(1)0，所以，x=1 是函数的极小值点，极小值为 f(1)=b 当 b (0)时，函数 f(x)无零点，即方程无实根； 当 b= (0)时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根； 当 0b )解析：30.设 f n (x)=x+x 2 +x n ，n=2，3， (1)证明：方程 f n (x)=1 在0，+)有唯一实根 x n ； (2)求 （分数：
20、2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f n (x)连续，且 f n (0)=0，f n (1)=n1，由介值定理， x n (0，1)，使 f n (x n )=1，n=2，3，又 x0 时，f n (x)=1+2x+nx n1 0，故 f n (x)严格单增，因此 x n 是 f n (x)=1 在0，+)内的唯一实根 (2)由(1)可得，x n (0，1)，n=2，3，所以x n 有界 又因为 f n (x n )=1=f n+1 (x n+1 )，n=2，3，所以 x n +x n 2 +x n n =x n+1 +x n+1 2 +x n+1 n +x n+1 n+1 ， 即(x n +x n 2 +x n n )(x n+1 +x n+1 2 +x n+1 n )=x n+1 n+1 0，因此 x n x n+1 ，n=2，3，即x n 严格单调减少于是由单调有界准则知 存在，记 =A，由 x n +x n 2 +x n n =1 得 =1因为 0x n x 2 1，所以 =0，于是 =1，解得 A= )解析：
