1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 34 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在|x| 内有定义且|f(x)|x 2 ，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：2.00）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f(0)=0D.可微但 f(0)03.设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导4.设 y=y(x)由 （分数：2.00）A.2e 2B.2e -2C.e 2 一 1D.e -2 15.设
2、函数 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.设 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(a)存在，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 y=y(x)满足： （分数：2.00）填空项 1:_9.设 2 xy +3x=y，则|dy| x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_10.曲线 e x+y 一 sin(xy)=e 在点(0，1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设y=x 5 +5 x 一 tan(x 2 +1)，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.则 y=
3、 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.f(sinx)=cos2x+3x+2，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.y=x sin2(2x+1) ，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.x y =y x ，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：34.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_求下列导数：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_求下列导数：（分数：4.00）(1).设 x y =y x ，求 （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_17.设 （
4、分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.设 y=ln(4x+1)，求 y (n) （分数：2.00）_20.设 f(x)=g(a+bx)一 g(a 一 bx)，其中 g(a)存在，求 f(0)（分数：2.00）_21.(1)设 f(x)=|x 一 a|g(x)，其中 g(x)连续，讨论 f(a)的存在性 (2)讨论 在 x=0 处的可导性 (3)设 （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 且 （分数：2.00）_24.设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100)，求 f(0)（分数：2.00）_25.设 y=ln(2+3 -x )，求
5、dy| x=0 （分数：2.00）_26.(1)设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定，求 y“(0) (2)设 y=y(x)是由 e xy 一 x+y 一 2=0 确定的隐函数，求 y“(0)（分数：2.00）_27.(1)由方程 sinxy+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 (2)设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y 确定，求 dy| x=0 (3)设由 e -y +x(y 一 x)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0) (4)设 y=y(x)由 确定，求 （分数：2.00）_28.(1)求 (2)设 求 df(x)| x=1 (3)设
6、（分数：2.00）_29.设 y=x 2 lnx，求 y (n) (n3)（分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 34 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在|x| 内有定义且|f(x)|x 2 ，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：2.00）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f(0)=0 D.可微但 f(0)0解析：解析：显然 f(0)=0，且 所以 f(x)在 x=0 处连续 又由|f(x)|x 2 得
7、 根据夹逼定理得 3.设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析：因为 所以 f(x)在 x=0 处连续； 4.设 y=y(x)由 （分数：2.00）A.2e 2 B.2e -2C.e 2 一 1D.e -2 1解析：解析：当 x=0 时，由 得 y=1， 两边对 x 求导得 选(A)5.设函数 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续 解析：解析：因为 所以 f(x)在 x=0 处连续； 由 得 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0； 当x0 时， 当 x0 时，f(x)=2x， 因为二、填空题
8、(总题数：10，分数：20.00)6.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：7.设 f(a)存在，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：8.设 y=y(x)满足： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 由 y(1)=3 得 C=3，故 ）解析：9.设 2 xy +3x=y，则|dy| x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：当 x=0 时，y=1， 2 xy +3x=y 两边对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得 ）解析：10.曲线 e x+y 一 sin(xy)=e 在点(0
9、，1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x+y 一 sin(xy)=e 两边对 x 求导得 e x+y (1+y)一 cos(xy)(y+xy)=0，将 x=0，y 一 1 代入得 所求的切线为 ）解析：11.设y=x 5 +5 x 一 tan(x 2 +1)，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=5x 4 +5 x ln52xsec 2 (x 2 +1)）解析：12.则 y= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：13.f(sinx)=cos2x+3x+2，则 f(x)= 1（分数：
10、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 f(sinx)=cos2x+3x+2，得 f(sinx)=1 一 2sin 2 x+3x+2， f(x)=1 一 2x 2 x+3arcsinx+2， ）解析：14.y=x sin2(2x+1) ，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*则*）解析：15.x y =y x ，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 x y =y x ，得 ylnx=xlny，两边求导数得 解得 ）解析：三、解答题(总题数：16，分数：34.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_
11、解析：求下列导数：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=e tanx.ln(1+x2) ，则 )解析：求下列导数：（分数：4.00）(1).设 x y =y x ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x y =y x 得 ylnx=xlny，两边对 x 求导得 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边对 x 求导得 )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(0 一 0)=b，f(0)=f(0+0)=0，由 f(x)在 x=0 处连续得
12、b=0； )解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 y=ln(4x+1)，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： y“=4 2 (一 1)(4x+1) -2 ，y“=4 3 (一 1)(一 2)(4x+1) -3 ， 由归纳法得 )解析：20.设 f(x)=g(a+bx)一 g(a 一 bx)，其中 g(a)存在，求 f(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.(1)设 f(x)=|x 一 a|g(x)，其中 g(x)连续，讨论 f(a)的存在性 (2)讨论 在 x=0 处的可导性 (3)设 （分数：2.00）_正
13、确答案：(正确答案：(1)由 得 f - (a)=-g(a)； 由 得 f + (a)=g(a) 当 g(a)=0 时，由 f - (a)=f + (a)=0 得 f(x)在 x=a 处可导且 f(a)=0； 当 g(a)0 时，由 f - (a)f + (a)得 f(x)在 x=a 处不可导 (2)因为 所以 f(x)在 x=0 处连续 则 即 f(x)在处可导. 由 f(0-0)=f(0+0)=f(0)得 f(x)在 x=0 处连续； )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)=
14、x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100)，求 f(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 由 f(x)=(x 一 1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x 一 1)(x一 99) 得 f(0)=(一 1)2(一 3)100=100! 方法二 )解析：25.设 y=ln(2+3 -x )，求 dy| x=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.(1)设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定，求 y“(0) (2)设 y=y(x)是由 e xy 一 x+y 一 2=0 确定的隐函数，求 y“(0)（
15、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 x=0 代入得 y=0， e y +6xy+x 2 一 1=0 两边对 x 求导得 将 x=0，y=0代入得 y(0)=0 )解析：27.(1)由方程 sinxy+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 (2)设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y 确定，求 dy| x=0 (3)设由 e -y +x(y 一 x)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0) (4)设 y=y(x)由 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 x=0 代入 sinxy+ln(yx)=x 得 y=1， 对 sinxy+ln(yx)=x
16、 两边关于 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得 (2)当 x=0 时，y=1， 对 2 xy =x+y 两边关于 x 求导，得 将x=0，y=1 代入得 故 dy| x=0 =(ln21)dx (3)x=0 时，y=0 对 e -y +x(yx)=1+x 两边关于 x 求导得 一 e -y y+yx+x(y一 1)=1，将 x=0，y=0 代入得 y(0)=一 1； 对一 e -y y+yx+x(y一 1)一1 两边关于 x 求导，得 e -y (y) 2 一 e -y y“+2(y一 1)+xy“=0，将 x=0,y=0,y(0)=一 1 代入，得y“(0)=-3 (4)x=0 时，y=1 对 两边关于 x 求导得 将 x=0，y=1，代入得 )解析：28.(1)求 (2)设 求 df(x)| x=1 (3)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 得 (2)由 得 f(x)=(x+1)e x ，从而 f(1)=2e，故df(x)| x=1 =2edx (3) )解析：29.设 y=x 2 lnx，求 y (n) (n3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y (n) =C n 0 x 2 (lnx) (n) +C n 1 2x(lnx) n-1 +C n 2 2(lnx) n-2 由 得 )解析：
