1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 10 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则( )（分数：2.00）A.若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数B.若 f(x)是单调函数，则 F(x)也是单调函数C.若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数D.若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数3.设在区间a，b上 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 S 1 =f(x)dx，S 2 =f(b)(b
2、一 a)，S 3 = （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 1 S 3C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 3 S 1二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.= 1(其中 a 为常数) （分数：2.00）填空项 1:_7. 0 + x 7 e 一 x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.求 （分数：2.00）_10.求 （分数：2.00）_11.求 （分数：2.00）_1
3、2.求 （分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.设 f(x 2 1)= （分数：2.00）_15.(x)= sinx cos2x ln(1+t 2 )dt，求 “(x)（分数：2.00）_16.求 0 1 xarctanxdx（分数：2.00）_17.设 f(x)= （分数：2.00）_18.设 f(x)= 1 x e 一 t2 dt，求 0 1 x 2 f(x)dx（分数：2.00）_19.设 y“=arctan(x 一 1) 2 ，y(0)=0，求 0 1 y(x)dx（分数：2.00）_20.设 f(t)= 1 t （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.
4、求函数 f(x)= （分数：2.00）_23.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f“(x)|2证明：| 0 2 (x)dx|2（分数：2.00）_24.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_设直线 y=kx 与曲线 y= （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_(2).求此时的 D 1 +D 2 ，（分数：2.00）_考研数学三（一元函数积
5、分学）-试卷 10 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则( )（分数：2.00）A.若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数B.若 f(x)是单调函数，则 F(x)也是单调函数C.若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数D.若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数 解析：解析：令 f(x)=cosx 一 2，F(x)=slnx 一 2x+C，显然 f(x)为周期函数，但 F(x)为非周期函数，
6、(A)不对；令 f(x)=2x，F(x)=x 2 +C，显然 f(x)为单调增函数，但 F(x)为非单调函数，(B)不对；令 f(x)=x 2 ，F(x)= +2，显然 f(x)为偶函数，但 F(x)为非奇非偶函数，(C)不对；若 f(x)为奇函数，F(x)= a x f(t)dt，因为 F(一 x)= a x f(t)dt 3.设在区间a，b上 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 S 1 =f(x)dx，S 2 =f(b)(b 一 a)，S 3 = （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 1 S 3 C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 3 S 1解析：解析：
7、因为函数 f(x)在a，b上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S 2 S 1 S 3 ，选(B)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.= 1(其中 a 为常数) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7. 0 + x 7 e 一 x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：三、解答题(总题数：18，分数：36.00)8.解答题解答应写出文字说明、
8、证明过程或演算步骤。_解析：9.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(3+sinxcosx)“=cos2x，所以 )解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 e x =t， )解析：14.设 f(x 2 1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x 2 1)= 再由 所以 )解析：15.(x)= sinx cos2x ln(1+t 2 )dt，求 “(x)（分数
9、：2.00）_正确答案：(正确答案：(x)=一 2ln(1+cos 2 x)sin2x 一 ln(1+sin 2 x)cosx)解析：16.求 0 1 xarctanxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(x 一 1)dx= 0 2 f(x 一 1)d(x 一 1)= 一 1 1 f(x)dx= 1 0 + 0 1 ln(1+x)dx =arctanx| 一 1 0 +xln(l+x)| 0 1 一 0 1 )解析：18.设 f(x)= 1 x e 一 t2 dt，求 0 1 x 2 f(x)dx（
10、分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 y“=arctan(x 一 1) 2 ，y(0)=0，求 0 1 y(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 y(x)dx=xy(x)| 0 1 一 0 1 xaxctan(x 一 1) 2 dx =y(1)一 f(x 一 1)arctan(x 一 1) 2 d(x 一 1)一 0 1 arctan(x 一 1) 2 dx )解析：20.设 f(t)= 1 t （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 t 2 f(t)dt= 因为 f(1)=0，所以 )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确
11、答案： )解析：22.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)为偶函数，所以只研究 f(x)在0，+)内的最大值与最小值即可 令f“(x)=2x(2 一 x 2 )e 一 x2 =0，得 f(x)的唯一驻点为 x= ， 当 x(0， )时，f“(x)0，当x( ，+)时，f“(x)0，注意到驻点的唯一性，则 x= 及 x=一 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 )解析：23.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f“(x)|2证明：| 0 2 (x)dx|2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f
12、(x)一 f(0)=f“( 1 )x，其中 0 1 x，f(x)一 f(2)=f“( 2 )(x 一 2)，其中 x 2 2，于是 )解析：24.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+dx 0，1，则 d=2(2 一 x) V= 0 1 d 一 2 0 1 (2 一 x) )解析：设直线 y=kx 与曲线 y= （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程组 得直线与曲线交点为 因为 V“(k)0，所以函数 V(k)当 k=时取最小值，且最小值为 )解析：(2).求此时的 D 1 +D 2 ，（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 S(k)= 所以此时 )解析：
