1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 2 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)=1nx （分数：2.00）A.lnxB.lnx+C.1nx2exD.lnx+2ex3.设 I k = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 2 I 3 I 1D.I 2 I 1 I 34.= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.= ( ) （分数：2.00）A.B.
2、C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_9.x x (1+lnx)的全体原函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.(arcsinx) 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12.若f(x)dx=F(x)+C 且 x=at+b(a0)，则f(t)dt= 1（分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(e x )=1+x，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_1
3、6.将 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.求xsin 2 xdx（分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.求不定积分 （分数：2.00）_22.求不定积分 （分数：2.00）_23.已知 f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求xf(x)dx（分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.求 （分数：2.00）_26.求e x sin 2 xdx（分数：2
4、.00）_27.求 （分数：2.00）_28.求 （分数：2.00）_29.求 （分数：2.00）_30.求 （分数：2.00）_31.求(x 5 +3x 2 2x+5)cosxdx（分数：2.00）_32.求 （分数：2.00）_33.计算 （分数：2.00）_34.设 f(1nx)= （分数：2.00）_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 2 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)=1nx （分数：2.00）A.lnx B.lnx+C
5、.1nx2exD.lnx+2ex解析：解析：由题中所给式子变形得 记 =A(常数)，则在式两端作1，e上的积分，得解得 A=3.设 I k = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 2 I 3 I 1D.I 2 I 1 I 3 解析：解析：首先，由 I 2 =I 1 + sinxdx 及 sinxdx0 可得 I 2 I 1 其次，I 3 =I 1 + sinxdx，其中 4.= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：5.= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设 x=t 6 ，则 ，dx=6t 5 dt 所以 6.
6、= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cosx ）解析：解析：因 是 f(x)的原函数，所以 f(x)= ， xf(x)dx=xd(f(x)=xf(x)f(x)dx= +C=cosx9.x x (1+lnx)的全体原函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x x +C，其中 C 为任意常数）解析：解析：因为(x x )=(e xlnx )=x x (1+1nx)
7、，所以x x (1+lnx)dx=x x +C10.(arcsinx) 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x(arcsinx) 2 +2 ）解析：解析：(arcsinx) 2 dx=x(arcsinx) 2 2arcsinx dx =x(arcsinx) 2 +2arcsinxd =x(arcsinx) 2 +2 11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.若f(x)dx=F(x)+C 且 x=at+b(a0)，则f(t)dt= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F(t)+C，其中 C 为任意
8、常数）解析：解析：因 F(x)=f(x)，故 F(t)=f(t)，于是f(t)dt=F(t)+C13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.设 f(e x )=1+x，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xlnx+C，其中 C 为任意常数）解析：解析：设 u=e x ，则 x=lnu，由 f(e x )=1+x，得 f(u)=1+lnu，f(u)=(1+1nu)du=ulnu+C， 因此 f(x)=xlnx+C15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16.将 （分数：2.00
9、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：17.设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，f(x)dx=lnx+c，f(x)=(1nx+C)= ，f(x)=三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.求xsin 2 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，f(x)dx=2dx=2x+C 1 ； 当 0x1 时，f(x)dx=xdx
10、= +C 2 ； 当 x0 时，f(x)dx=sinxdx=cosx+C 3 因为 f(x)在(，1)内连续，所以f(x)如在(，1)内存在，因而f(x)dx 在 x=0 处连续导，因此 (cosx+C 3 ，C2=1+C 3 ，C 3 =1+C 2 又因 x=1 为 f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故 )解析：21.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.已知 f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求xf(x)dx（分数：2.00）_正确答
11、案：(正确答案：由于xf(x)dx=xf(x)f(x)dx，又由于(1+sinx)lnx 为 f(x)的一个原函数，因此 f(x)=(1+sinx)lnx=cosxlnx+ ，且f(x)dx=(1+sinx)lnx+C，故 xf(x)=x(cosxlnx+)解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：借助图 133 得 )解析：26.求e x sin 2 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e x sin 2 xdx=e x (1cos2x)dx= e x cos2xdx， 而 e x cos2xdx=co
12、s2xde x =e x cos2x+2sin2x.e x dx =e x cos2x+2sin2xde x =e x cos2x+2e x sin2x4e x cos2xdx， 所以 e x cos2xdx= e x cos2x+ e x sin2x+C 1 ， 于是 e x sin 2 xdx= e x e x cos2x e x sin2x+C(C= )解析：27.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x 4 +1=(x 2 +1) 2 2x 2 =(x 2 + x+1)(x 2 x+1)， 所以可令 比较系数得， )解析：28.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.求(x 5 +3x 2 2x+5)cosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用表格的形式： )解析：32.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设 f(1nx)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 lnx=t，则 x=e t ，f(t)= =e x ln(1+e x )+(1 )解析：
