1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 8 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列广义积分发散的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)3.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 y=x 4 e 一 x2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为 1（分数：2.
2、00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.求 （分数：2.00）_10.求 （分数：2.00）_11.求 （分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.求xtanxsec 4 xdx（分数：2.00）_14.求arcsinxarccosxdx（分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16.当 x0 时，f(x)=x，设 g(x)= （分数：2.00）_17.设 f(x)C一 ，且 f(x)= （分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_19.求 一 1 1 (|x|+x)e 一|x|
3、 dx（分数：2.00）_20.求 0 1 3x 2 arcsinxdx（分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，|f(x)一 f(y)|arctanx 一 arctany|，又 f(1)=0，证明：| 0 1 f(x)dx| （分数：2.00）_23.设 f(x)在区间0，1上可导，f(1)= （分数：2.00）_24.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，)，使得 f“()=0（分数：2.00）_设 L:y=sinx(0x )，由 x=0、L
4、 及 y=sint 围成面积 S 1 (t)；由 y=sint、L 及 x= 围成面积 S 2 (t)，t 其中 0t （分数：4.00）(1).t 取何值时，S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)取最小值？（分数：2.00）_(2).t 取何值时，S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)取最大值？（分数：2.00）_25.曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_26.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数
5、：2.00）_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 8 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列广义积分发散的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： 中，x=0 为该广义积分的瑕点，且 sinxx 1 ，由 11，得广义积分 x=一 1为该广义积分的瑕点，且 收敛，同理 也收敛，故 收敛；为连续函数，因为 收敛；根据广义积分收敛的定义， 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)3.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
6、案：正确答案：*）解析：解析：4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 一 1 一 1）解析：解析：6.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.曲线 y=x 4 e 一 x2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：9.求 （分数：2.00）_正确答案：
7、(正确答案： )解析：10.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求xtanxsec 4 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求arcsinxarccosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =t，则 x=1n(1+t 2 )，dx= 则 =2ln(1+t 2 )dt=2tln(1+t 2 )一 =2tln(1+t 2 )一 =2tln(1+t 2
8、 )一 4t+4arctant+C )解析：16.当 x0 时，f(x)=x，设 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(t)g(x 一 t)dt 0 x f(x 一 u)g(u)(一 du)= 0 x f(x 一 u)g(u)du， (1)当 0x 时， 0 x f(t)g(x 一 t)dt= 0 x (x 一 u)sinudu=x 一 sinx; (2)当 x 时， 0 x f(t)g(x 一 t)dt= (x 一 u)sinudu=x 一 1， 于是 0 x f(t)g(x 一 t)dt= )解析：17.设 f(x)C一 ，且 f(x)= （分数：2.00）_
9、正确答案：(正确答案：令 一 f(x)sinx 一 dx=A，则 f(x)= 于是 f(x)sinx= +Asinx，两边从一 到 积分得 )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 一 1 1 (|x|+x)e 一|x| dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由定积分的奇偶性得 一 1 1 (|x|+x)e 一|x| dx= 一 1 1 |x|e 一|x| dx=2 0 1 xe 一 x dx =一 2 0 1 xd(e 一 x =一 2xe 一 x | 0 1 +2 0 1 e 一 x dx=一 2e 一 1 一 2e 一 x | 0
10、 1 =2 一 )解析：20.求 0 1 3x 2 arcsinxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 3x 2 arcsinxdx )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，|f(x)一 f(y)|arctanx 一 arctany|，又 f(1)=0，证明：| 0 1 f(x)dx| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|f(x)|=|f(x)一 f(1)|=|arctanx 一 arctanl|=|arctanx 一 |得 | 0 1 f(x)dx 0 1 |f(x)|dx 0
11、 1 f(x)|arctanx 一 )解析：解析：由 f(x) x b g(t)dt=g(x) a x f(t)dt 得 g(x) a x f(t)dt+f(x) b x g(t)dt=0 即 a x f(t)dt b x g(t)dt=0，则辅助函数为 (x)= a x f(t)dt b x g(t)dt23.设 f(x)在区间0，1上可导，f(1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=x 2 f(x)，由积分中值定理得 f(1)= x 2 f(x)dx=c 2 f(c)，其中c0， ，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1)
12、)解析：24.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)sintdt，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x 1 (0，)，使得 F“(x 1 )=0，即 f(x 1 )sinx 1 =0，又因为 sinx 1 0，所以 f(x 1 )=0 设 x 1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0，)且 xx 1 时，有 sin(x 一 x 1 )f(x)恒正或恒负，于是 0 sin(xx 1 )f(x)dx0 而
13、 0 sin(x 一 x 1 )f(x)dx=cosxi 0 f(x)sinxdx 一 sinxi 0 f(x)cosxdx=0，矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点，不妨设 f(x 1 )=f(x 2 )=0，x 1 ，x 2 (0，)且 x 1 x 2 ，由罗尔中值定理，存在 (x 1 ，x 2 ) )解析：设 L:y=sinx(0x )，由 x=0、L 及 y=sint 围成面积 S 1 (t)；由 y=sint、L 及 x= 围成面积 S 2 (t)，t 其中 0t （分数：4.00）(1).t 取何值时，S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)取最小值？（分数：2.00）_
14、正确答案：(正确答案：当 t= 时，S(t)最小，且最小面积为 )解析：(2).t 取何值时，S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)取最大值？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t=0 时，S(t)最大，且最大面积为 S(0)=1)解析：解析：S 1 (t)=tsint 一 0 t sinxdx=tsint+cost 一 1， S 2 (t)= S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)=2(t 一号)sint+2cost 一 1 25.曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+dx 1，2，d=2x|(x 一 1)(x 一 2)|dx=一 2x(x 一 1)(x 一2)dx， V= 1 2 d=一 2 1 2 (x 3 3x 2 +2x)dx= )解析：26.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2 一 a 因为a0，所以 b0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0， ，所以 )解析：
