1、考研数学三（函数、极限、连续）-试卷 2及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=1C.a=1，b=-1D.a=1，b=13.若当 x0 时 e tanx -e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n为（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.设有定义在(-，+)上的函数： （分数：2.00）A.B.C.D.5.设有定义在(-，+)上的函数： （分数：2.00）A.B.C.D.6.在函数 （分数
2、：2.00）A.B.C.D.7.极限 （分数：2.00）A.等于B.等于C.等于 e -6 D.不存在8.设 （分数：2.00）A.2B.4C.6D.89.设 f(x)在 x=a连续，(x)在 x=a间断，又 f(a)0，则（分数：2.00）A.f(x)在 x=a处间断B.f(x)在 x=a处间断C.(x) 2 在 x=a处间断D.在 x=a处间断10.“f(x)在点 a连续”是fx)在点 a处连续的( )条件（分数：2.00）A.必要非充分B.充分非必要C.充分必要D.既非充分又非必要11.设数列x n ，y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散B.若x n 无界
3、，则y n 必有界C.若x n 有界，则y n 必为无穷小D.若 12.f(x)=xsinx（分数：2.00）A.在(-，+)内有界B.当 x时为无穷大C.在(-，+)内无界D.当 x时有极限13.函数 f(x)= （分数：2.00）A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)14.若当 x时， （分数：2.00）A.a=0，b=1，c 为任意常数B.a=0，b=1，c=1C.a0，b，c 为任意常数D.a=1，b=1，c=015.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=1，x=0，x=-1 为间断点B.x=0为可去间断点。C.x=-1为无穷间断点D.x=0为跳跃间断点16.把
4、当 x0 + 时的无穷小量 =tanx-x，= （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，二、解答题(总题数：13，分数：26.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 f(x)在0，+)连续，且满足 （分数：2.00）_19.设 f(x)可导，且 f(0)=0f“(0)0，求 w= （分数：2.00）_20.已知 （分数：2.00）_21.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_22.设()f(x)= （分数：2.00）_23.求下列数列极限： （分数：2.00）_24.当 x0 时下列无穷小是 x的 n阶无穷小，求阶数 n： （分数
5、：2.00）_25.设函数 f(x)在 x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)0，f“(0)0，若 af(x)+bf(2h)-f(0)当h0 时是比 h高阶的无穷小，试确定 a、b 的值（分数：2.00）_26.试确定 a和 b的值，使 f(x)= （分数：2.00）_27.设 f(x)= （分数：2.00）_28.设 f(x)是在(-，+)上连续且以 T为周期的周期函数，求证：方程 f(x)- （分数：2.00）_29.设 f(x)在(-，+)连续，存在极限 证明：()设 AB，则对 （分数：2.00）_考研数学三（函数、极限、连续）-试卷 2答案解析(总分：58.00，做题时间：9
6、0 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=1C.a=1，b=-1 D.a=1，b=1解析：解析：这是从已知极限值去确定函数式中的待定常数可通过直接计算，导出式中的常数昕满足的方程组，然后解出 a和 b作为选择题，也可把四个选项中的各组常数值代人，看哪一组常数可以使极限为零，这种解法留给读者自己完成 由3.若当 x0 时 e tanx -e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n为（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：
7、因为4.设有定义在(-，+)上的函数： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 x0 与 x0 时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续从而只需再考察哪个函数在点 x=0处连续注意列若 f(x)= 其中 g(x)在(-，0连续，h(x)在0，+)连续因当 x(-，0时 f(x)=g(x) 5.设有定义在(-，+)上的函数： （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：关于(A)：由于 故 x=0是 f(x)的第一类间断点(跳跃间断点) 关于(C)：由于故 x=0是 h(x)的第一类间断点(可去间断点) 已证(B)中 g(x)在 x=0连续因此选(D) 我们也可直接考察(D)由于
8、6.在函数 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：对于：由于7.极限 （分数：2.00）A.等于 B.等于C.等于 e -6 D.不存在解析：解析：注意到 故原极限=8.设 （分数：2.00）A.2B.4C.6 D.8解析：解析：由于9.设 f(x)在 x=a连续，(x)在 x=a间断，又 f(a)0，则（分数：2.00）A.f(x)在 x=a处间断B.f(x)在 x=a处间断C.(x) 2 在 x=a处间断D.在 x=a处间断 解析：解析：反证法若 在 x=a连续，由连续函数的四则运算法则可得 (x)= 必在 x=a连续，与假设 (x)在 x=a间断矛盾，从而10.“f(x)在点
9、a连续”是fx)在点 a处连续的( )条件（分数：2.00）A.必要非充分B.充分非必要 C.充分必要D.既非充分又非必要解析：解析：由f(x)-f(a)f(x)-f(a)可知当 f(x)在 x=a连续可推知f(x)在 x=a连续；而由 f(x)=11.设数列x n ，y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散B.若x n 无界，则y n 必有界C.若x n 有界，则y n 必为无穷小D.若 解析：解析：由已知条件12.f(x)=xsinx（分数：2.00）A.在(-，+)内有界B.当 x时为无穷大C.在(-，+)内无界 D.当 x时有极限解析：解析：设 x n =n
10、(n=1，2，3，)，则 f(x n )=0(n=1，2，3，)； 设 y n =2n+ (n=1，2，3，)，则 f(y n )=2n+ 13.函数 f(x)= （分数：2.00）A.(-1，0) B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)解析：解析：注意当 x(-1，0)时有14.若当 x时， （分数：2.00）A.a=0，b=1，c 为任意常数B.a=0，b=1，c=1C.a0，b，c 为任意常数 D.a=1，b=1，c=0解析：解析：15.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=1，x=0，x=-1 为间断点B.x=0为可去间断点。 C.x=-1为无穷间断点D.x=0为跳跃间断点解析
11、：解析：计算可得16.把当 x0 + 时的无穷小量 =tanx-x，= （分数：2.00）A.，B.，C.， D.，解析：解析：因 即当 x0 + 时 是比 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除(A)与(D). 又因 二、解答题(总题数：13，分数：26.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 f(x)在0，+)连续，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作恒等变形转化为求 型未定式，然后用洛必达法则 )解析：19.设 f(x)可导，且 f(0)=0f“(0)0，求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此极限
12、是 型未定式由洛必达法则可得 )解析：20.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是 型未定式用洛必达法则，并结合等价无穷小因子替换可求得 w 设 ，当 a0 时 f(x)在(-，+)上连续；当 a=0时 f(x)在 x0 有定义，且 ，补充定义 f(0)=0，则 f(x)=xx 在(-，+)上连续从而，当 a0 时 可导，且 用洛必达法则求极限，对a=0有 由此可见必有 a0，这时 )解析：21.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于当 x0 时对 常数 a，b 都有 ax 2 +bx+1-e -2x 0，又已知分式的极限不为零，所以当
13、x0 时必有分母 ，故必有 c=0由于 )解析：22.设()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()需要对参数 x用夹逼定理分段进行讨论 )解析：23.求下列数列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先用等价无穷小因子替换： 现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得 )解析：24.当 x0 时下列无穷小是 x的 n阶无穷小，求阶数 n： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() x 4 -2x 2 -2x。 (x0)，即 x0 时 是 x的 2阶无穷小，故 n=2 ()(1+tan 2 x) sinx -1ln(1+tan 2 x) sinx -1+1
14、=sinxln(1+tan 2 x)sinxtan 2 xx.x 2 =x 3 (x0)， 即当 x0 时(1+tan 2 x) sinx -1是 x的 3阶无穷小，故 n=3 )解析：25.设函数 f(x)在 x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)0，f“(0)0，若 af(x)+bf(2h)-f(0)当h0 时是比 h高阶的无穷小，试确定 a、b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知 af(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)=0 由于 f(0)0，故必有 a+b-1=0 利用 a+b=1和导数的定义，又有 )解析：26.试确定 a和 b的值，
15、使 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：为使 x=0为 f(x)的无穷间断点，必须有 ，因而 a=0，b1 将 a=0代入上面极限式中，为使 x=1是 f(x)的可去间断点，必须有 )解析：27.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 a= 利用当 x0 + 时的等价无穷小关系 ln(1-x)-x 可得 )解析：28.设 f(x)是在(-，+)上连续且以 T为周期的周期函数，求证：方程 f(x)- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(x)的周期性，有 )解析：解析：考虑辅助函数 F(x)=f(x)-29.设 f(x)在(-，+)连续，存在极限 证明：()设 AB，则对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形 ()由 =A 及极限的不等式性质可知， 使得 f(X 1 ) 由 使得 f(X 2 )因 f(x)在X 1 ，X 2 连续，f(X 1 )f(X 2 )，由连续函数介值定理知 (-，+)，使得 f()= ()因 ，由存在极限的函数的局部有界性定理可知， ，使得当 x(-，X 1 )时 f(x)有界； )解析：
