1、考研数学三（函数、极限、连续）-试卷 6 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，f(x)=ax 3 +bx 与 g(x)= （分数：2.00）A.a=B.a=3，b=0C.a=D.a=1，b=03.设当 x0 时，f(x)=ln(1+x 2 )ln(1+sin 2 x)是 x 的 n 阶无穷小，则正整数 n 等于( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.若 f(x)= 在(，+)上连续，且 （分数：2.00）A.0，k0B.0，
2、k0C.0，k0D.0，k05.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点6.设 f(x)= （分数：2.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点B.1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.2 个可去间断点D.2 个无穷间断点7.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=1，x=0，x=1 为 f(x)的间断点B.x=1 为无穷间断点C.x=0 为可去间断点D
3、.x=1 为第一类间断点8.若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是 ( )（分数：2.00）A.第一类间断点B.第二类间断点C.既有第一类间断点也有第二类间断点D.结论不确定二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.若当 x0 时，有 （分数：2.00）填空项 1:_10.当 x0 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_11.当 x1 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_12.当 x 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_13.若 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知数列 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18
4、，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.已知数列x n 的通项 x n = ，n=1，2，3 (1)证明 S 2n = ； (2)计算 （分数：2.00）_17.利用夹逼准则证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且 （分数：2.00）_19.设 a0，x 1 0，x n+1 = ，n=1，2，试求 （分数：2.00）_20.试讨论函数 （分数：2.00）_21.求函数 （分数：2.00）_22.求函数 f(x)= （分数：2.00）_23.已知 f(x)= （分数：2.00）_24.设 f(x)= （
5、分数：2.00）_25.设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= 0 x t n1 f(x n t n )dt，求 （分数：2.00）_26.设 f(x)= （分数：2.00）_27.设 f(x)= （分数：2.00）_28.求 f(x)= （分数：2.00）_29.设 f(x；t)= ，其中(x1)(t1)0，xt，函数 f(x)由下列表达式确定， （分数：2.00）_30.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：2.00）_31.设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=x sinx ，其他的 x 满足关系式 f(x)+k
6、=2f(x+1)， 试求常数 k 使极限 （分数：2.00）_32.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，并且 f(x)在 x=0 处连续 证明：函数f(x)在任意点 x 0 处连续（分数：2.00）_考研数学三（函数、极限、连续）-试卷 6 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，f(x)=ax 3 +bx 与 g(x)= （分数：2.00）A.a=B.a=3，b=0C.
7、a= D.a=1，b=0解析：解析：由于 ，当 b0 时，该极限为，于是，b=0 从而3.设当 x0 时，f(x)=ln(1+x 2 )ln(1+sin 2 x)是 x 的 n 阶无穷小，则正整数 n 等于( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：4.若 f(x)= 在(，+)上连续，且 （分数：2.00）A.0，k0B.0，k0C.0，k0D.0，k0 解析：解析：分母不为零，故 0；又5.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f
8、(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点 解析：解析：由 f(x)的表达式可知 x=0，x=1 为其间断点6.设 f(x)= （分数：2.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.2 个可去间断点D.2 个无穷间断点解析：解析：x=0 和 x=1 为 f(x)的间断点，其余点连续7.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=1，x=0，x=1 为 f(x)的间断点B.x=1 为无穷间断点C.x=0 为可去间断点 D.x=1 为第一类间断点解析：解析：去掉绝对值符号，将 f(x)写成分段函数，8.
9、若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是 ( )（分数：2.00）A.第一类间断点 B.第二类间断点C.既有第一类间断点也有第二类间断点D.结论不确定解析：解析：不妨设 f(x)单调增加，且f(x)M，对任一点 x 0 (a，b)，当 xx 0 时，f(x)随着 x 增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0 + 时，f(x)随着 x 减小而减小且有下界，故 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.若当 x0 时，有 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：10.当 x0 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_
10、（正确答案：正确答案： ）解析：解析：11.当 x1 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：当 x1 时，12.当 x 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：当 x 时，13.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：14.已知数列 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为三、解答题(总题数：18，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.已知数列x n 的通项 x n = ，n
11、=1，2，3 (1)证明 S 2n = ； (2)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.利用夹逼准则证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 且当 n时，左边和右边的极限都是 )解析：18.设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果 ，所以必有 =0，所以，这是“1 ”型未定式 由 =0得 f(0)=0将原极限凑成第二个重要极限， 从而得 f(0)=0，f(0)=4 )解析：19.设 a0，x 1 0，x n+1 = ，n=1，2，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，故x n 有下界，又 故x
12、n 单减，所以 存在 设 )解析：20.试讨论函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：g(0)=(e x + x=0 = (e x +)=1+=g(0 )，g(0 + )= )解析：21.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于函数 F(x)的分段点 x=0，因 故 x=0 是函数 F(x)的跳跃间断点 当x0 时，F(x)= 与在 x=1 处没有定义，且极限 不存在故 x=1 是函数 F(x)的振荡间断点 当 x0 时，F(x)= 在点列 x k =k ，k=0，1，2，处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点特别对点 ，有 故 x= 是函数 F(x)的可去间断点；
13、而点列 x k =k )解析：22.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 f(0)无意义 当 x0 时， 而 =1，则 x=0 为可去间断点)解析：23.已知 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 于是 只需讨论分界点处的连续性： x=1 处，有 要使 f(x)在 x=1处连续，则 a+b=1 x=1 处，有 ，f(1)= ，要使 f(x)在 x=1 处连续，则 ab=1 故解得 a=0，b=1，此时 f(x)= )解析：24.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 x=0 为可去间断点 )解析：25.设函数 f(x)连续
14、可导，且 f(0)=0，F(x)= 0 x t n1 f(x n t n )dt，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x n t n =u，则 F(x)= 0 x t n1 f(x n t n )dt= ，于是 )解析：26.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当x1 时， =0，所以 f(x)=sinax； 当x1 时，f(x)= =x 又 f(1)=1，f(1)=1，所以 由此可见，f(x)在(，1，(1，1)，1，+)内连续，故只需 f(x)在 x=1，x=1 两点连续即可因为 所以，= )解析：27.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正
15、确答案：f(x)在(1，0)，(0，1)及(1，+)都是初等函数，是连续的f(0)无定义，故x=0 是间断点因为 ，所以 x=0 为跳跃间断点 f(1)无定义，故 x=1 是间断点因为 =0，)解析：28.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)无定义的点是使 1x=0 和 1 =0 的点，即 x=1 和 x=0，所以 f(x)的连续区间为(，0)(0，1)(1，+)当 x0 时，1 =0，所以 =，所以 x=0 是无穷间断点 当 x1 时， ，所以 f(1 )=0； 当 x1 + 时， )解析：29.设 f(x；t)= ，其中(x1)(t1)0，xt，函数 f(x)
16、由下列表达式确定， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 显然 x=1 为间断点，连续区间(，1)(1，+) )解析：30.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考虑夹逼准则由 f(x)在a，b上连续，知 e f(x) 在a，b上非负连续，且0me f(x) M，其中 M，m 分别为 e f(x) 在a，b上的最大值和最小值，于是 0m M，故 由 ，根据夹逼准则，得 )解析：31.设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=x sinx ，其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，
17、试求常数 k 使极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因求“0 0 ”型未定式极限的常用方法是将该类幂指函数 u(x) v(x) 化为复合函数e v(x)lnu(x) ，故 其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得： 根据题设的关系式 f(x)=2f(x+1)k，得 由上述结果f(x)在 x=0 处右极限 f(0 + )=1；而其左极限 f(0 )= 2(x+1) sin(x+1) k=2k， 由于极限 )解析：32.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，并且 f(x)在 x=0 处连续 证明：函数f(x)在任意点 x 0 处连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，令 x 2 =0，则 f(x 1 )=f(x 1 )+f(0)，可得f(0)=0，又 f(x)在 x=0 处连续，则有 =f(0)=0，而 f(x 0 +x)f(x 0 )=f(x 0 )+f(x)f(x 0 )=f(x)，两边取极限得到 )解析：
