1、考研数学三（函数、极限、连续）-试卷 4 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)=xsinx ( )（分数：2.00）A.在(，+)内无界B.在(，+)内有界C.当 x时为无穷大D.当 x时极限存在3.极限 （分数：2.00）A.a1B.a1C.a0D.与 a 无关4.设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小B.设当 xx 0
2、 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小C.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必是无穷大D.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大5.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数为 ( )（分数：2.00）A.f(x)sinxB.f(x)+sinxC.f 2 (x)D.f(x)6.设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（分数：2.00）A
3、.B. 2 (x)+ 2 (x) C.ln1+(x). 2 (x)D.(x)+(x)7.设当 x0 时，e tanx e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x 2 ln(1bx)是等价无穷小，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.极限 （分数：2.0
4、0）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.求极限 （分数：2.00）_17.设 =A(a0，a1)，求 （分数：2.00）_18.已知 存在，且 （分数：2.00）_19.设 f(x)是三次多项式，且有 （分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_22.确定常数 a 和 b 的值，使 （分数：2.00）_23.设函数 f(x)= （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.已知 （分数：2.00）_26.求
5、（分数：2.00）_27.已知数列x n 的通项 x n = ，求 （分数：2.00）_28.设 a 1 =2， (n=1，2，)，证明： （分数：2.00）_29.设 x 1 =1，x n+1 =1+ (n=1，2，)，求 （分数：2.00）_30.如果数列x n 收敛，y n 发散，那么x n y n 是否一定发散?如果x n 和y n 都发散，那么x n y n 的敛散性又将如何?（分数：2.00）_31.分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?（分数：2.00）_32.求 （分数：2.00）_考研数学三（函数、极限、连续）-试卷 4 答案解析(总分：6
6、4.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)=xsinx ( )（分数：2.00）A.在(，+)内无界 B.在(，+)内有界C.当 x时为无穷大D.当 x时极限存在解析：解析：对于任意给定的正数 M，总存在着点 ，使f(x n )= M，故 f(x)在(，+)内无界 (C)错，对于任意给定的正数 M，无论 x 取多么大的正数，总有 x n =2nx(只要n 3.极限 （分数：2.00）A.a1B.a1 C.a0D.与 a 无关解析：解析：4.设当 xx 0 时
7、，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小B.设当 xx 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小C.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必是无穷大D.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大 解析：解析：设 f(x)= ，当 x0 时为无界变量，不是无穷大令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小，可排除(A)设 x0 时，令 f(x)=x 2 ，g(x)= 5.设函数 f(x)在点 x 0
8、 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数为 ( )（分数：2.00）A.f(x)sinxB.f(x)+sinx C.f 2 (x)D.f(x)解析：解析：方法一 若 f(x)+sinx 在点 x 0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinxsinx 在点 x 0 处也连续，与已知矛盾 方法二 排除法设 则 f(x)在点 x=0 处间断，f(x)sinx=0 在 x=0 处续若设 6.设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（分数：2.00）A. B. 2 (x)+ 2 (x)
9、 C.ln1+(x). 2 (x)D.(x)+(x)解析：解析：有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量7.设当 x0 时，e tanx e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析： 则 n=3 时，C=8.当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x 2 ln(1bx)是等价无穷小，则 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： 故 a=1，b=二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 6）解析：解析：10.= 1 （分数：2.0
10、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 6）解析：解析：13.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式=三、解答题(总题数：18，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原极限等价于求
11、令 f(t)=arctant，t ，由拉格朗日中值定理可得)解析：17.设 =A(a0，a1)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，又 x0 时， 这样 Axlna+xlnaAxlna(x0)，所以 1+ a Ax ，因此 f(x)(a Ax 1)sinxAxlnasinx， 于是得到 )解析：18.已知 存在，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)是三次多项式，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 f(2a)=f(4a)=0，从而得知 x2a，x4a 为 f(x)的因式又因为f(x)为三次多项式，可令 f(x)=b(
12、x2a)(x4a)(xc)于是 )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 sinx(cosxb)=0，所以 a=0，故 a=1 又 )解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 显然由条件知 0，而 因此有 +1=0，且 )解析：22.确定常数 a 和 b 的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ln(1+x)=x +o(x 2 )，于是 ln(12x+3x 2 )=2x+3x 2 (2x+3x 2 ) 2 +o(x 2 )=2x+x 2 +o(x 2 )， 代入即得 )解析：23.设函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
13、： )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先看 设 t= ，当 x+时，t0 + ，有 )解析：27.已知数列x n 的通项 x n = ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 =1，故由夹逼准则有 )解析：28.设 a 1 =2， (n=1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a n+1 = =1，所以a n 有下界 下面再证明a n 单调递减 即 a n+1 a n ，所以 )解析：29.设 x 1
14、=1，x n+1 =1+ (n=1，2，)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 2 =1+ x 1 假设 x n x n1 ，则 即 x n+1 x n ，由数学归纳法可知对一切 n，都有 x n+1 x n 又 x n+1 = 2，所以x n 单调增加且有上界，x n 必收敛记 =a，对等式 x n+1 =1+ 两边取极限，得 a=1+ ，即 a 2 a1=0解得 a= ，因 x n 1，故负值不合题意，于是 )解析：30.如果数列x n 收敛，y n 发散，那么x n y n 是否一定发散?如果x n 和y n 都发散，那么x n y n 的敛散性又将如何?（分数：2.00）
15、_正确答案：(正确答案：在题设两种情况下，x n y n 的敛散性都不能确定现在先就x n 收敛，y n 发散的情况来分析利用 y n = (x n 0)这个恒等式，就可得到下述结论：若x n 收敛且不收敛于零，y n 发散，则x n y n 必发散这是因为若x n y n 收敛，且又x n 收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知y n 收敛，这与假设矛盾若 =0，且y n 发散，则x n y n 可能收敛，也可能发散，如： x n = ，y n =n，则 x n y n =1，于是x n y n 收敛 x n = ，y n =(1) n n，则 x n y n =(1) n
16、，于是x n y n 发散 现在再就x n 和y n 都发散的情况来分析x n y n 的敛散性有下面的结论：若x n 和y n 都发散，且两者至少有一个是无穷大，则x n y n 必发散这是因为如果x n y n 收敛，而x n 为无穷大，从等式 y n = )解析：31.分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=x，通常写成分段函数的形式 但也可以写成一个表达式x= ，所以函数 (x)=x是初等函数而 )解析：32.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
