1、考研数学三（微积分）-试卷 19 及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 y(x)是微分方程 y“+(x 一 1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在3.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 2y“一 3y=(2x+1)e -x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+6)e -xB.x 2 e -xC.x 2 (ax+b)e -xD.x(
2、ax+b)e -x4.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 3 (x)B.C 1 1 (x)一 2 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 1 (x)+ 2 (x)-1+C 2 1 (x)一 3 (x)D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C3 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_6.微分方
3、程 y“一 xe -y + （分数：2.00）填空项 1:_7.微分方程 yy“一 2(y“) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_9.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 y(x)为微分方程 y“一 4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的特解，则 0 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_11.差分方程 y 一 2y，一 32 t 的通解为 y(t)= 1（分数：2.00）填
4、空项 1:_三、解答题(总题数：32，分数：64.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 f(x)是连续函数 (1)求初值问题 的解，其中 a0； (2)若f(x)k，证明：当 x0时，有y(x) （分数：2.00）_14.设有微分方程 y“一 2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_15.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)一 f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解（分数：2.00）_16.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：2.00
5、）_17.设 f(x)为偶函数，且满足 f“(x)+2f(x)一 3 0 x f(tx)dt=一 3x+2，求 f(x)（分数：2.00）_18.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_19.设 u= （分数：2.00）_20.设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f“(x)+f(x)一 （分数：2.00）_21.设 y=y(x)二阶可导，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2
6、)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_22.设函数 f(x，y)可微， （分数：2.00）_23.设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 （分数：2.00）_24.设函数 f(x)满足 xf“(x)一 2f(x)=一 x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求： (1)曲线 y=f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：2.
7、00）_25.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与（分数：2.00）_26.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 Y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_27.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_28.用变量代换 x=sint 将方程(1 一 x 2 ) （分数：2.00）_29.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：2.00）_3
8、0.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_31.飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程（分数：2.00）_32.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数（分数：2.00）_33.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水
9、量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排人湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：2.00）_34.在 t=0 时，两只桶内各装 10 L 的盐水，盐的浓度为 15 gL，用管子以 2 Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2 Lmin 的速度被输送到第二只桶内。再将混合液搅拌均匀，然后用 1 Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_35.某人的食量是 2 500 卡天，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消
10、耗的为16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10 000卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_36.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18 m，运动开始时链条一边下垂 8 m，另一边下垂 10 m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_37.质量为 1 g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10 s时，速度等于 50 cms外力为 392 cms 2 ，问运动开始 1 min 后的速度是多少?（分数：2.00）_38.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)
11、=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_39.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f“(x)+3 0 x f“(t)dt+2x 0 1 f(tx)dt+e -x =0，求f(x)（分数：2.00）_40.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 z=h(t)一 （分数：2.00）_41.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2 km，到下午 4 点又扫雪 1 km，问降雪是什么时候开始的?（分
12、数：2.00）_42.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_43.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kgs 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kgs 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 19 答
13、案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 y(x)是微分方程 y“+(x 一 1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析：解析：微分方程 y“+(x 一 1)y“+x 2 y=e -x 中，令 x=0，则 y“(0)=2，于是 3.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 2y“一 3y=(2x+1)e -x 的特解形式为( )（分数：2.00）A
14、.(ax+6)e -xB.x 2 e -xC.x 2 (ax+b)e -xD.x(ax+b)e -x 解析：解析：方程 y“一 2y“一 3y=(2x+1)e -x 的特征方程为 x 一 2 一 3=0，特征值为 1 =一 1， 2 =3，故方程 y“一 2y“一 3y=(2x+1)e -x 的特解形式为 x(ax+b)e -x ，选 D4.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 3 (x)B.C 1 1 (x)一
15、2 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 1 (x)+ 2 (x)-1+C 2 1 (x)一 3 (x)D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C3 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1 解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1 (x)一 3 (x)， 2 (x)一 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解， 于是方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x)一 3 (x)+C 2 2 (x
16、)一 3 (x)+ 3 (x) 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1 一 C 1 一 C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，选 D二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.微分方程 y“一 xe -y + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.微分方程 yy“一 2(y“) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C）解析：解析：8.微分方程 xy“= （分
17、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnx+C）解析：解析：9.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“-3y“+4y“-2y=0）解析：解析：特征值为 1 =1， 2,3 =1i，特征方程为( 一 1)( 一 1+i)( 一 1 一 i)=0，即 3 一 3 2 +4 一 2=0，所求方程为 y“-3y“+4y“-2y=010.设 y(x)为微分方程 y“一 4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的特解，则 0 1 = 1
18、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y“一 4y“+4y=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x ，由初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 得 C 1 =1，C 2 =0，则 y=e 2x ，于是 0 1 y(x)dx= 11.差分方程 y 一 2y，一 32 t 的通解为 y(t)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y t+1 一 2y t =0 的通解为 y(t)一 C2 t ，f(t)=32 t ，因为 2 为特征值，所以设特解为y t * =at2 t ，代入原方程得 a= ，故原方程的通解为
19、y(t)=C2 t + 三、解答题(总题数：32，分数：64.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 f(x)是连续函数 (1)求初值问题 的解，其中 a0； (2)若f(x)k，证明：当 x0时，有y(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)y“+ay=f(x)的通解为 y= 0 x f(t)e at dt+Ce -ax ， 由 y(0)=0 得 C=0，所以 y=e -ax f(t)e at dt (2)当 x0 时，y=e -ax 0 x f(t)e at dte ax 0 x ke -at dt= )解析：14.设有微
20、分方程 y“一 2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，y“一 2y=2 的通解为 y=C 1 e 2x 一 1，由 y(0)=0 得 C 1 =1，y=e 2x 一 1； 当 x1 时，y“一 2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x ，根据给定的条件， y(1+0)=C 2 e 2 =y(10)=e 2 一 1，解得 C 2 =1 一 e -2 ，y=(1 一 e -2 )e 2x ， 补充定义 y(1)=e 2 一 1，则得在(一，+)内连续且满足微分方程的函数 )解析：15.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x
21、+y)一 f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P(x，y)=xy(x+y)一 f(x)y，Q(x，y)=f“(x)+x 2 y，因为xy(x+y)一 f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f“(x)+f(x)=x 2 ， 解得 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 一 2，由 f(0)=0，f“(0)=1 得 C 1 =2，C 2 =1， 所以 f(x)=2cosx+sinx+x 2 一 2 原方程为xy 2 一(2cosx+sinx)y+
22、2ydx+(一 2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0，整理得 (xy 2 dx+x 2 ydy)+2(ydx+xdy)一 2(ycoscrdx+sinxdy)+(一 ysinxdx+cosxdy)=0， 即 d( x 2 y 2 +2xy 一 2ysinx+ycosx)=0， 原方程的通解为 )解析：16.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)为偶函数，且满足 f“(x)+2f(x)一 3 0 x f(tx)dt=一 3x+2，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(tx)dt=一 0
23、 x f(t 一 x)d(x 一 t)=一 x 0 f(-u)du= 0 x (u)du， 则有 f“(x)+2f(x)一 3 0 x f(u)du=一 3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)是奇函数， 于是f“(0)=0，代入上式得 f(0)=1 将 f“(x)+2f(x)一 3 0 x f(u)du=一 3x+2 两边对 x 求导数得 f“(x)+2f“(x)一 3f(x)=一 3， 其通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -3x +1，将初始条件代入得 f(x)=1)解析：18.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce 有特解 y=e 2x +(1+x)e
24、 x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=e 2x +(1+x)e x 代入原方程得 (4+2a+b)e 2x +(3+2a+b)e x +(1+a+b)xe x =ce x ，则有 )解析：19.设 u= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f“(x)+f(x)一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(x+1)f“(x)+(x+1)f(x)一 0 x f(t)dt=0，两边求导数，得 (x+1)f“(x)=一(x+2)f“(x)f“(x)= 再由 f(0
25、)=1，f“(0)+f(0)=0，得 f“(0)=一 1，所以 C=一 1，于是 f“(x)= (2)当 x0 时，因为 f“(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1 )解析：21.设 y=y(x)二阶可导，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 代入原方程得 y“一 y=sinx，特征方程为 r 2 一 1=0，特征根为 r 1,2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y *
26、 =acosx+bsinx，代入方程得 a=0，b=一 ，于是方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x - sinx，由初始条件得 C 1 =1，C 2 =一 1，满足初始条件的特解为 y=e x e -x 一 )解析：22.设函数 f(x，y)可微， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设函数 f(x)满足 xf“(x)一 2f(x)=一 x，且由曲线 y=
27、f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求： (1)曲线 y=f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 xf“(x)一 2f(x)=一 xf“(x)一 f(x)=一 1f(x)=x+cx 2 设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 )解析：25.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.一条曲线经过点(2，
28、0)，且在切点与 Y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为 Yy=y“(Xx)， 令 X=0，则 Y=yxy“，切线与y 轴的交点为(0，yxy“)， )解析：27.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.用变量代换 x=sint 将方程(1 一 x 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29
29、.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线是上凸的，所以 y“0，由题设得 )解析：31.飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据
30、题意得 )解析：32.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排人湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A 的含量
31、为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 )解析：34.在 t=0 时，两只桶内各装 10 L 的盐水，盐的浓度为 15 gL，用管子以 2 Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2 Lmin 的速度被输送到第二只桶内。再将混合液搅拌均匀，然后用 1 Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m 1 (t)，m 2 (t)，在时间t，t+ )解析：35.某人的食量是 2 500 卡天，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为16 卡千克天乘以他的体重假设
