1、考研数学三（概率统计）-试卷 19 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则 X 1 ，X 2 ，X n ，满足辛钦大数定律的条件是( )（分数：2.00）A.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望与方差B.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望C.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的离散型随机变量D.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的连续型随机变量3.设(X 1 ，X
2、 2 ，X 3 )为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（分数：2.00）A.B.kX 1 2 +(1+K)X 2 2 +X 3 2C.X 1 2 +2X 2 2 +X 3 2D.4.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（分数：2.00）A.B.nS 2 2 (n)C.D.5.设 xt(2)，则 （分数：2.00）A. 2 (2)B.F(1，2)C.F(2，1)D. 2 (4)6.设随机变量 XF(m，n)，令 PXF a (m，n)=(01)，若 P(Xk=，则 k 等于( )（分数：2.00）A.F (m，n)B.F 1
3、 一 (m，n)C.D.7.设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 服从正态分布B.X 2 +Y 2 服从 2 分布C.X 2 ，Y 2 都服从 2 分布D.X 2 /Y 2 服从 F 分布8.设随机变量 XF(m，m)，令 p=P(X1)，q=P(X1)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=qD.p，q 的大小与自由度 m 有关二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本， （分数：2.00）填空项 1:_10.设 X 为总体，E(X)=，D(X)= 2 ，X 1 ，
4、X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_11.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设总体 XN(2，4 2 )，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则( （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 XN(1，2)，YN(一 1，2)，ZN(0，9)且随机变量 X，Y，Z 相互独立，已知 a(X+Y) 2 +bZ 2 2 (n)，则 a= 1，b= 2，n= 3（分数：2.00）填空项 1:_14.若总体 XN(0，3
5、2 )，X 1 ，X 2 ，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 +cX 5 2 ，且 Y 2 (n)，则 a= 1，b= 2，c= 3，n= 4（分数：2.00）填空项 1:_16.设(X 1 ，X 2 ，X n ，X n+1 ，X n+m )为来自总体 XN(0， 2 )的简单样本，则统计量 U= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 UN(，1)，V 2
6、 (n)，且 U，V 相互独立，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 X 为总体，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX= 2 ，令 S 0 2 = （分数：2.00）填空项 1:_19.设总体 X 的分布律为 P(x=i)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设总体 X 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_22.设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=，D(X)= 2 ，用切比雪夫不等式估计 P(|X 一|3（分数：2.00）_2
7、3.设 X 为一个总体且 E(X)=k，D(X)=1，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，令 ，问 n 多大时才能使 （分数：2.00）_24.一批种子良种占 ，从中任取 6000 粒，计算这些种子中良种所占比例与 （分数：2.00）_某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20，用 X 表示抽取的 100 个索赔户中被盗索赔户的户数（分数：4.00）(1).求 X 的概率分布；（分数：2.00）_(2).用拉普拉斯定理求被盗户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值（分数：2.00）_25.设总体 X 一 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 20 是
8、总体 X 的简单样本，求统计量 （分数：2.00）_26.设总体 XN(0，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X 30 为总体 X 的简单随机样本，求统计量 （分数：2.00）_27.设 X 1 ，X 2 ，X 7 是总体 XN(0，4)的简单随机样本，求 （分数：2.00）_28.设总体 XN(，25)，X 1 ，X 2 ，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 15 的概率（分数：2.00）_29.设总体 X 的分布律为 P(X=k(1 一 p) k 一 1 p(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数
9、p 的矩估计量和极大似然估计量（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 19 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则 X 1 ，X 2 ，X n ，满足辛钦大数定律的条件是( )（分数：2.00）A.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望与方差B.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望 C.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的离散型随机变量D.X 1 ，X 2
10、，X n ，为同分布的连续型随机变量解析：解析：根据辛钦大数定律的条件，应选(B)3.设(X 1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（分数：2.00）A.B.kX 1 2 +(1+K)X 2 2 +X 3 2 C.X 1 2 +2X 2 2 +X 3 2D.解析：解析：因为统计量为样本的无参函数，故选(B)4.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（分数：2.00）A.B.nS 2 2 (n)C.D. 解析：解析：由 X 1 2 2 (1)， 5.设 xt(2)，则 （分数：2.00）A. 2 (2)
11、B.F(1，2)C.F(2，1) D. 2 (4)解析：解析：因为 Xt(2)，所以存在 UN(0，1)，V 2 (2)，且 U，V 相互独立，使得 X= 则 因为 V 2 (2)，U 2 2 (1)且 V，U 2 相互独立，所以 6.设随机变量 XF(m，n)，令 PXF a (m，n)=(01)，若 P(Xk=，则 k 等于( )（分数：2.00）A.F (m，n)B.F 1 一 (m，n) C.D.解析：解析：根据左右分位点的定义，选(B)7.设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 服从正态分布B.X 2 +Y 2 服从 2 分布C.X 2 ，Y 2 都服从
12、 2 分布 D.X 2 /Y 2 服从 F 分布解析：解析：因为 X，Y 不一定相互独立，所以 X+Y 不一定服从正态分布，同理(B)，(D)也不对，选(C)8.设随机变量 XF(m，m)，令 p=P(X1)，q=P(X1)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=q D.p，q 的大小与自由度 m 有关解析：解析：因为 XF(m，m)，所以 F(m，m)，于是 q=P(X1)=二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10.
13、设 X 为总体，E(X)=，D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2）解析：解析：11.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设总体 XN(2，4 2 )，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：( ）解析：解析：因为 一 2N(0，1)，于是( 13.设随机变量 XN(1，
14、2)，YN(一 1，2)，ZN(0，9)且随机变量 X，Y，Z 相互独立，已知 a(X+Y) 2 +bZ 2 2 (n)，则 a= 1，b= 2，n= 3（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 XN(1，2)，YN(一 1，2)，ZN(0，9)，得 X+YN(0，4)14.若总体 XN(0，3 2 )，X 1 ，X 2 ，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9）解析：解析：因为 X i N(0，3 2 )(i=1，2，9)，所以 N(0，1)(i=1，2，9)且相互独立，故 Y=
15、 15.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 +cX 5 2 ，且 Y 2 (n)，则 a= 1，b= 2，c= 3，n= 4（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 X 1 一 2X 2 N(0，20)，3X 3 4X 4 N(0，100)，X 5 NN(0，4)， 16.设(X 1 ，X 2 ，X n ，X n+1 ，X n+m )为来自总体 XN(0， 2 )的简单样本，则统计量 U= （分数：2.00）填空项 1:_
16、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X 2 2 (m)相互独立，所以 17.设 UN(，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Tt(n)）解析：解析：由 UN(，1)，得 =U 一 N(0，1)，又 U，V 相互独立，则18.设 X 为总体，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX= 2 ，令 S 0 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(S 0 2 )= 19.设总体 X 的分布律为 P(x=i)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正
17、确答案：正确答案：*）解析：解析：20.设总体 X 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：L()= 2 (1 一 2) 2 = 4 (1 一 2)，lnL()=4ln+ln(1 一 2) 令 =0，得参数 的极大似然估计值为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：22.设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=，D(X)= 2 ，用切比雪夫不等式估计 P(|X 一|3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P|X 一 |3)1 一 )解析：23.设 X 为一个总体且 E(X
18、)=k，D(X)=1，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，令 ，问 n 多大时才能使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由切比雪夫不等式得 )解析：24.一批种子良种占 ，从中任取 6000 粒，计算这些种子中良种所占比例与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 6000 粒种子中良种个数为 X，则 )解析：某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20，用 X 表示抽取的 100 个索赔户中被盗索赔户的户数（分数：4.00）(1).求 X 的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：XB(100，02)，即 X 的分布律为 P(X=k)=C
19、 100 k 02 k 08 100 一 k (k=0，1，2，100)解析：(2).用拉普拉斯定理求被盗户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=20，D(X)=16，P(14X30)= )解析：25.设总体 X 一 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 20 是总体 X 的简单样本，求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X 10 相互独立且与总体服从同样的分布，所以 (一 1) i X i N(0，10 2 )，于是 N(0，1)，又因为 X 11 ，X 12 ，X 20 相互独立且与
20、总体服从同样的分布，所以 N(0，1)(i=11，12，20)，于是 )解析：26.设总体 XN(0，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X 30 为总体 X 的简单随机样本，求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X 20 相互独立且与总体 XN(0，2 2 )服从同样的分布， 所以 (X 1 2 +X 2 2 +X 20 2 ) 2 (20)，同理 (X 1 2 +X 2 2 +X 20 2 ) 2 (10)，且 (X 1 2 +X 2 2 +X 20 2 )与 (X 21 2 +X 22 2 +X 30 2 )相互独立，于是 F(20，10)，即 )解析
21、：27.设 X 1 ，X 2 ，X 7 是总体 XN(0，4)的简单随机样本，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 X 1 ，X 2 ，X 7 与总体服从相同的分布且相互独立，得 X i 2 2 (7)，于是 查表得 0025 2 (7)=16014，故 )解析：28.设总体 XN(，25)，X 1 ，X 2 ，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 15 的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 总体均值为 E(X)=， )解析：29.设总体 X 的分布律为 P(X=k(1 一 p) k 一 1 p(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
