1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正、反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则事件（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 1 两两独立二、填空题2 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本， X=a(X1 一 2X2)2+b(3X3 一 4X4)2。则当 a=_，b=_ 时，统计
2、量 X 服从 2 分布，其自由度为_。3 设总体 X 的概率密度为 (一 x+)，X 1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 S2，则 ES2=_。4 设 X1，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其中参数 ， 2 未知。记 则假设 H0： =0 的 t 检验使用的统计量t_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)。6 已知随机变量(X，Y) 的联合密度为 试求：(1)PXY ；(2)E(XY)；7 设作一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再
3、花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验。设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止。求整个实验程序的平均费用。8 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，其样本均值为 。记 Yi=Xi 一 ，i=1 ，2， ，n。求：()求 Yi 的方差 DYi，i=1，2，n；()求 Y1 与 Yn 的协方差 cov(Y1，Y n)；()若 c(Y1+Yn)2 是 2 的无偏估计量，求常数c。9 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(01) ，X 1，X 2， Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值x1，x 2，
4、x n 中小于 1 的个数。求() 的矩估计；() 的最大似然估计。10 设总体 X 的概率密度为 其中参数 (01)未知，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值。()求参数 的矩估计量 ；() 判断 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由。11 设 X1，X 2，X n 是总体 N(， 2)的简单随机样本，记()证明 T 是 2 的无偏估计量；( )当 =0，=1 时，求 DT。12 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零。X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。()求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量。13 设总体 X 的概率密度为
5、 其中 为未知参数。X1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本。()求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量。14 设总体 XB(m，p)，其中 m 已知，p 未知，从 X 中抽得简单样本X1，X n，试求 p 的矩估计和最大似然估计。15 设总体的密度为： 从 X 中抽得简单样本X1，X n。试求未知参数 的矩估计和最大似然估计。16 设总体的密度为： 其中 0，而 和 为未知参数。从 X 中抽得简单样本 X1，X 2，X n。试求 和 的矩估计和最大似然估计。17 设总体 X 在区间( 一 p，+)上服从均匀分布，从 X 中抽得简单样本X1，X n，求 和 (均为未知参数)的矩估计，
6、并问它们是否有一致性。18 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，其中 0 为未知参数，而X1，X n 为从 X 中抽得的简单样本，试求 的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是 的无偏估计?19 设 Y=lnXN(， 2)，而 X1，X n 为取自总体 X 的简单样本，试求 EX 的最大似然估计。20 从均值为 方差为 20 的总体中分别抽取容量为 n1 和 n2 的两个独立样本，样本均值分别记为 ，试证对任意满足 a+b=1 的常数 a、b， 都是 的无偏估计。并确定 a、b，使 D(T)达到最小。21 总体 XN(2， 2)，从 X 中抽得简单样本 X1，X n 试推导 2 的置信度为 1
7、一 的置信区间。若样本值为 18，21，20，19，22，18求出 2 的置信度为 095 的置信区间( 0975 2(6)=14449， 0975 2(6)=1237，下分位数。)22 为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响，独立地选了十三个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表：设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为 095 的置信区间(t 00975 (11)=2201，下侧分位数)。23 某种清漆的 9 个样品的干燥时间(小时)为：65，58，7，65，7，63，56，61，5设干燥时间 XN(， 2)，求 的置信度为 09
8、5 的置信区间。在 (1)=06(小时)；(2) 未知。两种情况下作(0975 =196，t 0975 (8)=23060，下侧分位数)24 随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差 S=11设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮 1：3 速度的标准差的置信度为 095 的置信区闻。00255 2(8)=2180， 0975 2(8)=17535，下侧分位数。25 一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球之比为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X 为所抽的白球数。这样做了 n 次以后，我们获得一组样本：X 1，X 2，X n。基于此，求 R 的最大似然估计。2
9、6 用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16kgmm 2。为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下： 52，53，53，54，54，54，54，51，52 设零件强度服从正态分布，取显著性水平 =005，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化? (0975 2(8)=17535 ， 0025 2(8)=2180，下侧分位数)27 一批矿砂的 4 个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测定值总体服从正态分布，问在 =001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值是 326(t 0995 (3)=58409，下侧分位数)28 用两种方案进行某种产品的销售，
10、得部分销售量为： A 方案：140，138，143，142，144，139； B 方案：135，140，142，136，135，140 设两种方案下的销售量均服从正态分布，试在 =005 下检验两种方案的平均销售量有无显著差异(t 0975 (10)=2228，F 0975 (5，5)=715，下侧分位数。提示：先检验方差相等)。考研数学三（概率统计）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 (本题的硬币应当设是“均匀”的)。由题意易见：可见 A1，A 2，A 3 两两独立，故选(C)。【知识模块】 概率与数理统计
11、二、填空题2 【正确答案】 【试题解析】 E(X 1 一 2X2)=EX12EX2=0D(X1 一 2X2)=DX1+4DX2=4+44=20E(3X34X4)=3EX34EX4=3040=0D(3X34X4)=9DX3+16DX4=9X4+164=100与题目的 X 比较即得结果。【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 2【试题解析】 而 E(S2)=DX，故 ES2=2。【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 关于 X 的边缘概率密度为：【试题解析】 本题主要考查概率密
12、度的性质和条件概率密度。解中积分类似)，这里积分变量为 y，积分时视 x 为“常数”，还要求学生对一维正态分布的概率密度的形式上去凑)及积分 很熟悉，如果想用牛顿一莱布尼兹公式即找原函数的经典方法(或用二重无穷积分、极坐标的方法即“概率积分”的方法)去处理这些积分，当然，求 A 时用【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 设需进行 X 次试验，则所需费用为 Y=1000+300(X 一 1)，而P(X=k)=08 k-12，k=1 ， 2，【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 本题其实主要考查的是概率论中方差、协方差、数
13、学期望的计算，只是用了数理统计中总体、样本、样本均值以及无偏估计等概念。请注意Y1 与 Yn 等均没有“独立”或“不相关”的结论，切勿有，似不如正文中的解法简洁。而()中用了() 、( )的结论，否则可这样求：E(Y1)2=E(X1 一所做。由于 EY1=EYn=0，()中做法也可： 2=Ec(Y1+Yn)2=cE(Y1+Yn)2=cD(Y1+Yn)=cDY1+DYn+2cov(Y1，Y n)=【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 而由题意，x 1，x 2，x n 中有 N 个的值在区间(0，1)内，故知【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计11
14、【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体 X 与 Y，XN(
15、1， 2)，YN( 2， 2)，本题中 n=6， =33，S x2=【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 设零件强度为总体 X，则 XN(， 2)，检验 H0： 2=16 2。拒绝域为 2=【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 设这批矿砂的镍含量为总体 X，则 XN(， 2)，检验H0：= 0。这儿 0=326 ，n=4 ，拒绝域为：【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 设 A、B 方案下的销售量分别为总体 X 和 Y，则 XN( 1， 12)，YN( 2， 22)。 先检验 H0:12=22，接受 H0，即认为用两种方案得到的销售量没有显著差异。【知识模块】 概率与数理统计
