1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 19及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，C 为随机事件，且 A发生必导致 B与 C最多有一个发生，则有（ ） （分数：2.00）_3.设 A，B 为随机事件，P（B）0，则（ ）（分数：2.00）A.P（AB）P（A）+P（B）B.P（AB）P（A）P（B）C.P（AB）P（A）P（B）D.P（A|B）4.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P（A），P（B），P（C）（0，1），则必有（ ）（分
2、数：2.00）A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AC 与 BD.AC 与 B5.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p（0p1），则此人第 4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）（分数：2.00）A.3p（1p） 2B.6p（1p） 2C.3p2（1p） 2D.6p2（1p） 26.设随机变量 X在0，1上服从均匀分布，记事件 A= （分数：2.00）A.A与 B互不相容B.B包含 AC.A与 B对立D.A与 B相互独立7.设二维随机变量（X 1 ，X 2 ）的密度函数为 f 1 （x 1 ，x 2 ），则随机变量（Y 1 ，Y 2 ）（其中 Y 1 =2X 1 ，
3、Y 2 = X 2 ）的概率密度 f 2 （y 1 ，y 2 ）等于（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X与 Y相互独立，且 （分数：2.00）A.XYB.X+YC.X2YD.Y2X9.对任意两个随机变量 X和 Y，若 E（XY）=E（Y）E（Y），则（ ）（分数：2.00）A.D（XY）=D（X）D（Y）B.D（X+Y）=D（X）+D（Y）C.X与 Y独立D.X与 Y不独立10.随机变量 XN（0，1），YN（1，4），且相关系数 XY =1，则（ ）（分数：2.00）A.PY=2X1=1B.PY=2X1=1C.PY=2X+1=1D.PY=2X+1=111.设随机变量
4、X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n X 2n1 （n1），根据大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布12.设总体 XN（， 2 ），X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本，X 为样本均值，S 2 为样本方差，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 X 1 ，X 2 ，X m 是取自正态总体 N（， 2 ）的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2 ，则可以作出服从自由度为 n的 2 分布的随机变量是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数
5、：8，分数：16.00)14.袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设每次射击命中概率为 03，连续进行 4次射击，如果 4次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中1次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2次以上，则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X的概率分布 P（X=k）= ，k=1，2，其中 a为常数。X 的分布函数为 F（x），已知 F（b）= （分数：2.00）填
6、空项 1:_17.设 X服从参数为 的泊松分布，PX=1=PX=2，则概率 P0X 2 3= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在（0，4）内的概率密度 f Y （y）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知（X，Y）在以点（0，0），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对（X，Y）作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 E（Z 2 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变
7、量 X与 Y的相关系数为 05，E（X）=E（Y）=0，E（X 2 ）=E（Y 2 ）=2，则 E（X+Y） 2 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.（）设随机变量 X服从参数为 的指数分布，证明：对任意非负实数 s及 t，有 PXs+t|Xs=PXt。（）设电视机的使用年数 X服从参数为 01 的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5年以上的概率。（分数：2.00）_24.设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P=i= i=1，2，3
8、0 又设 X =max（，），Y=min（，）。（）写出二维随机变量的分布律：（分数：2.00）_25.设随机变量 E（i=1，2，3）相互独立，并且都服从参数 p的 01分布，令 （分数：2.00）_26.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_27.设总体 X的概率密度为 =minX 1 ，X 2 ，X n 。 （）求总体 X的分布函数 F（x）； （）求统计量 的分布函数 （分数：2.00）_28.设二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布为： （分数：2.00）_29.设总体 XN（0， 2 ），参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本（n1
9、），令估计量 （分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 19答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，C 为随机事件，且 A发生必导致 B与 C最多有一个发生，则有（ ） （分数：2.00）_解析：解析：B 与 C最多有一个发生（即 B与 C同时发生的反面）等价于事件 。当 A发生时必导致B与 C最多有一个发生，说明3.设 A，B 为随机事件，P（B）0，则（ ）（分数：2
10、.00）A.P（AB）P（A）+P（B）B.P（AB）P（A）P（B） C.P（AB）P（A）P（B）D.P（A|B）解析：解析：根据概率运算性质可知，P（AB）=P（A）+P（B）一 P（AB）P（A）+P（B），选项 A不成立。P（AB）=P（A）P（AB）P（A）P（B），故正确选项为 B。而 P（A|B）=4.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P（A），P（B），P（C）（0，1），则必有（ ）（分数：2.00）A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AC 与 BD.AC 与 B 解析：解析：对于选项 A、B： P（C（AB）=P（A C）=P（AC）P（ABC）=P（A）P（C
11、）P（ABC）， P（C）P（AB）=P（C）P（A）一 P（AB）=P（A）P（C）一 P（A）P（B）P（C）。 尽管A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）是否成立，故选项 A、B 均不正确。5.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p（0p1），则此人第 4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）（分数：2.00）A.3p（1p） 2B.6p（1p） 2C.3p2（1p） 2 D.6p2（1p） 2解析：解析：根据题干可知 p=前三次仅有一次击中目标，第 4次击中目标 =C 3 1 p（1p） 2 p=3
12、p 2 （1p） 2 ， 故正确答案为 C。6.设随机变量 X在0，1上服从均匀分布，记事件 A= （分数：2.00）A.A与 B互不相容B.B包含 AC.A与 B对立D.A与 B相互独立 解析：解析：由图 321可立即得到正确选项为 D，事实上，根据题设可知7.设二维随机变量（X 1 ，X 2 ）的密度函数为 f 1 （x 1 ，x 2 ），则随机变量（Y 1 ，Y 2 ）（其中 Y 1 =2X 1 ，Y 2 = X 2 ）的概率密度 f 2 （y 1 ，y 2 ）等于（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设（X 1 ，X 2 ）的分布为 F 1 （x 1 ，x 2 ），（
13、Y 1 ，Y 2 ）的分布为 F 2 （Y 1 ，Y 2 ）。 F 2 （Y 1 ，Y 2 ）=P Y 1 Y 1 ， Y 2 Y 2 =P2X 1 y 1 ， X 2 y 2 P Y 1 所以 f 2 （Y 1 ，Y 2 ）= 8.设随机变量 X与 Y相互独立，且 （分数：2.00）A.XYB.X+Y C.X2YD.Y2X解析：解析：由题意知，ZN（1，1），而 X+YN（1，1），故 X+Y和 Z是同分布的随机变量。9.对任意两个随机变量 X和 Y，若 E（XY）=E（Y）E（Y），则（ ）（分数：2.00）A.D（XY）=D（X）D（Y）B.D（X+Y）=D（X）+D（Y） C.X与 Y
14、独立D.X与 Y不独立解析：解析：因为 D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E（XY）一 E（X）E（Y）， 可见 D（X+Y）=D（X）+D（y）10.随机变量 XN（0，1），YN（1，4），且相关系数 XY =1，则（ ）（分数：2.00）A.PY=2X1=1B.PY=2X1=1C.PY=2X+1=1D.PY=2X+1=1 解析：解析：设 Y=aX+b，因为 XY =1，得 X，Y 正相关，得 a0，排除选项 A、C。 由 XN（0，1），Y N（1，4），可得 E（X）=0，E（Y）=1，所以 E（Y）=E（aX +b）=aE（X） +b=a0+b=1， 所以b=1。排除选项 B。故选
15、择 D。11.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n X 2n1 （n1），根据大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差 C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布解析：解析：因为 X n 相互独立，所以 Y n 相互独立。选项 A缺少“同分布”条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选择 B。事实上，若 E（X n ）=，D（X n ）= 2 存在，则 根据切比雪夫大数定理：对任意 0 有 即 12.设总体 XN（， 2 ），X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本，
16、X 为样本均值，S 2 为样本方差，则（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由 XN（， 2 ），得 和 S 2 相互独立。故 13.设 X 1 ，X 2 ，X m 是取自正态总体 N（， 2 ）的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2 ，则可以作出服从自由度为 n的 2 分布的随机变量是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于总体 XN（， 2 ），故各选项的第二项 与 S 2 独立，根据 2 分布可加性，仅需确定服从 2 （1）分布的随机变量。因为 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)14.袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是
17、白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=第一个人取出的球是黄色的，事件 B=第一个人取出的球是白色的，事件C=第二个人取出的球是黄色的，则有 根据全概率公式可得 P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）15.设每次射击命中概率为 03，连续进行 4次射击，如果 4次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中1次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2次以上，则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_
18、 （正确答案：正确答案：04071）解析：解析：设事件 A k =“射击 4次命中 k次”，k=0，1，2，3，4，B=“目标被摧毁”，则根据 4重伯努利试验概型公式，可知 P（A i ）=C 4 i 03 i 07 4i ，i=0，1，2，3，4，则 P（A 0 ） =07 4 =0240 1，P（A 1 ） =0411 6，P（A 2 ） =02646， P（A 3 ）=0075 6，P（A 4 ）=00081。 由于 A 0 ，A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 是一完备事件组，且根据题意得 P（B|A 0 ）=0，P（B|A 1 ）=04，P（B|A 2 ）=06，P（B|A 3 ）
19、=P（B|A 4 ）=1。 应用全概率公式，有 P（B）= 16.设随机变量 X的概率分布 P（X=k）= ，k=1，2，其中 a为常数。X 的分布函数为 F（x），已知 F（b）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3b 4）解析：解析：首先确定 a，由 当 ix i+1 时，F（x）=17.设 X服从参数为 的泊松分布，PX=1=PX=2，则概率 P0X 2 3= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2）解析：解析：已知 PX=k= （k=0，1，），由于 PX=1=PX=2，即 18.设随机变量 X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量
20、 Y=X 2 在（0，4）内的概率密度 f Y （y）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先求出在（0，4）上 Y的分布函数 F Y （y）。当 0y4 时，有 F Y （y）=PYy=PX 2 y= 故 f Y （y）=F Y （y）= 19.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意分布函数 F（x）是 F（x，y）的边缘分布函数，所以 F（x）=F（x，+）=F（x，1），因此20.已知（X，Y）在以点（0，0），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布
21、，对（X，Y）作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 E（Z 2 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：根据题干可知（X，Y）的联合概率密度函数为 令事件 A=“X+Y1”，则 Z是 4次独立重复试验事件 A发生的次数，故 ZB（4，p），其中如图 341所示 p=P（A）=PX+Y1 所以 E（Z 2 ）=D（Z） + E（Z） 2 =4 =5。 21.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05，E（X）=E（Y）=0，E（X 2 ）=E（Y 2 ）=2，则 E（X+Y） 2 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确
22、答案：正确答案：6）解析：解析：由已知条件得，D（X）=E（X 2 ）一 E 2 （X）=2，同理，D（Y）=2。则有 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.（）设随机变量 X服从参数为 的指数分布，证明：对任意非负实数 s及 t，有 PXs+t|Xs=PXt。（）设电视机的使用年数 X服从参数为 01 的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5年以上的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）已知随机变量 X服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F（x）=1e x ，根
23、据结论 因为 X是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数 x，有 PXx=PXx=F（x）。 PXt=1PXt=1PXt=1F（t）=1（1e t ）=e t ， 因此可得 PXs+t|Xs=PXt成立。 （）已知电子仪器的使用年数服从指数分布Xe（01），则其概率分布函数为 )解析：24.设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P=i= i=1，2，30 又设 X =max（，），Y=min（，）。（）写出二维随机变量的分布律：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）根据 X=max（，），y=min（，）的定义可知，PXY=0，即 PX=1，Y=2=
24、P（X=1，Y=3）=P（X=2，Y=3）=0， 同时有， )解析：25.设随机变量 E（i=1，2，3）相互独立，并且都服从参数 p的 01分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意随机变量（X 1 ，X 2 ）是离散型的，它的全部可能取值为（0，0），（0，1），（1，0）。题目中是要计算出取各相应值的概率。注意事件 Y 1 ，Y 2 ，Y 3 相互独立且服从同参数 p的 01分布，所以它们的和 Y 1 + Y 2 +Y 3 Y服从二项分布 B（3，p）。于是 PX 1 =0，X 2 =0=P Y 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2=PY=0+PY
25、=3=（1 一 p） 3 +p 3 ， PX 1 =0，X 2 =1=P Y 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2=PY=2=3p 2 （1p）， PX 1 =1，X 2 =0=P Y 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2=Py=1=3p（1 一 p） 2 ， PX 1 =1，X 2 =1=P Y 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2=P =0。 计算可得（X 1 ，X 2 ）的联合概率分布为 )解析：26.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）根据题意可得，当 x （0，1）时
26、，f（x）=0；当 0x1，有 )解析：27.设总体 X的概率密度为 =minX 1 ，X 2 ，X n 。 （）求总体 X的分布函数 F（x）； （）求统计量 的分布函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设总体 XN（0， 2 ），参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本（n1），令估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且与总体 X同分布，所以 E（X i ）=0，D（X i ）= 2 ，E（X i 2 ）= 2 ， 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2 （n），则 D（Y）=2n。 所以 )解析：30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为 E（X）= 为总体的矩估计量。 （）构造似然函数 )解析：
