1、考研数学三（微积分）-试卷 38 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小（ ）（分数：2.00）A.x 2B.1cosxC.D.xtanx3.函数 f（x）=（x 2 +x2）|sin2nx|在区间 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.04. （分数：2.00）A.B.C.ln（1+Inx）ln（1+2x）D.ln（1+lnx）2ln（1+2x）5.设函数 f（x），g（x）具有二阶导数
2、，且 g“（x）0。若 g（x 0 ）=a 是 g（x）的极值，则 fg（x）在x 0 取极大值的一个充分条件是（ ）（分数：2.00）A.f“（a）0B.f“（a）0C.f“（a）0D.f“（A）06.设 g（x）= 0 x f（u）du，其中 f（x）= （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续7.设 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，z 是 f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处的全增量，则在点（x 0 ，y 0 ）处（ ）（分数：2.00）A.z=dzB.z=f x “ （x 0 ，y 0 ）x+f y “ （x 0 ，y 0 ）yC.z=f x “ （x
3、 0 ，y 0 ）dx+f y “ （x 0 ，y 0 ）dyD.z=dz+o（p）8.设平面 D 由 x+y= ，x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1 = （x+y） 3 dxdy，I 2 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 1 I 2C.I 1 I 3 I 2D.I 3 I 2 I 19.设有平面闭区域，D=（x，y）|axa，xya，D 1 =（x，y）|0xa，xya，则 （分数：2.00）A.B.C.D.10.a n 和 b n 符合下列哪一个条件可由 （分数：2.00）A.a n b nB.|a n |b nC.a n |b n |D.|a n |b n
4、二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12.f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 tan（x+y+ （分数：2.00）填空项 1:_14.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点（1，0），则 b= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. e + （分数：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18.设 z=（x+e y ） x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 y“=1+x+y 2 +
5、xy 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.设函数 y=y（x）由方程 ylnyx+y=0 确定，试判断曲线 y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。（分数：2.00）_25.已知函数 f（x）在0，1上连续，在（0，1）内可导，且 f（0）=0，f（1）=1。证明：（）存在f（0，1），使得 f（）=1 一 ；（）存在两个不同的点 ，（0，1）
6、，使得 f“（）f“（）=1。（分数：2.00）_26.设函数 f（x）在0，3上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且 2f（0）= 0 2 f（x）dx=f（2）+f（3） （）证明存在 （0，2），使 f（）=f（0）； （）证明存在 （0，3），使f“（）=0。（分数：2.00）_27.已知函数 f（u，）具有连续的二阶偏导数，f（1，1）=2 是 f（u，）的极值，已知 z=f（x+y），f（x，y）。求 （分数：2.00）_28.设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算 （分数：2.00）_29.计算积分 （分数：2.00）_30.设正项数列a n 单调
7、递减，且 （1） n a n 发散，试问级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 38 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小（ ）（分数：2.00）A.x 2B.1cosxC.D.xtanx 解析：解析：利用等价无穷小代换。由于 x0 时，3.函数 f（x）=（x 2 +x2）|sin2nx|在区间 （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：设 g（x）=x
8、2 +x2，（x）=| sin2x|，显然 g（x）处处可导，（x）处处连续，有不可导点。只须考查 （x）不可导点处 g（x）是否为零。（x）=|sin2x|的图形如图 123 所示，在 ，1，其余均可导。因为 g（0）=20， 4. （分数：2.00）A. B.C.ln（1+Inx）ln（1+2x）D.ln（1+lnx）2ln（1+2x）解析：解析：5.设函数 f（x），g（x）具有二阶导数，且 g“（x）0。若 g（x 0 ）=a 是 g（x）的极值，则 fg（x）在x 0 取极大值的一个充分条件是（ ）（分数：2.00）A.f“（a）0B.f“（a）0 C.f“（a）0D.f“（A）0解
9、析：解析：fg（x）“=f“g（x）g“（x）， fg（x）“=f“g（x）g “（x）“ =f“g（x）g “（x） 2 +f“g（x）g“（x）， 由于 g（x 0 ）=a 是 g（x）的极值，所以 g“（x 0 ）=0。 所以fg（x 0 ）“=f“g（x 0 ）g“（x 0 ）=f“（a）g“（x 0 ），由于 g“（x 0 ）0，要使fg（x）“0，必须有 f“（A）0。6.设 g（x）= 0 x f（u）du，其中 f（x）= （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续 解析：解析：因为 f（x）在区间0，2上只有一个第一类间断点（x=1 为 f（x）的跳跃间断点），所以
10、f（x）在该区间上可积，因而 g（x）= 0 x f（u）du 在该区间内必连续，故选 D。7.设 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，z 是 f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处的全增量，则在点（x 0 ，y 0 ）处（ ）（分数：2.00）A.z=dzB.z=f x “ （x 0 ，y 0 ）x+f y “ （x 0 ，y 0 ）yC.z=f x “ （x 0 ，y 0 ）dx+f y “ （x 0 ，y 0 ）dyD.z=dz+o（p） 解析：解析：由于 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，则z=f x “ （x 0 ，y 0 ）Ax+f y “ （x 0
11、 ，y 0 ）y+o（p）=dz+o（p），故选 D。8.设平面 D 由 x+y= ，x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1 = （x+y） 3 dxdy，I 2 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 1 I 2C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 2 I 1解析：解析：显然在 D 上 0x+y1，则 In（x+y） 3 0，0 sin（x+y） 3 （x+y） 3 ，从而有 ln（x+y） 3 dxdy 9.设有平面闭区域，D=（x，y）|axa，xya，D 1 =（x，y）|0xa，xya，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将闭区间 D=（x
12、，y）|axa，xya用直线 y=x 将其分成两部分 D 1 和 D 2 ，如图 147 所示，其中 D 1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，xy 关于 x 和 y 均为奇函数，所以在 D 1 和 D 2 上，均有 而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D 1 积分不为零，在 D 1 积分值为零，因此 10.a n 和 b n 符合下列哪一个条件可由 （分数：2.00）A.a n b nB.|a n |b n C.a n |b n |D.|a n |b n解析：解析：反证法。如果 b n 收敛，由|a n |b n 知， 二、填空题(总题数：11，分数
13、：22.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：应用等价无穷小因子代换。因为12.f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2g“（0）解析：解析：由 g（x）在 x=0 处可导可知，g（x）在 x=0 处连续。又因为 g（x）是奇函数，所以 g（0）=0。 根据导数的定义可得13.曲线 tan（x+y+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得14.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点（1，0），则 b= 1。（分数：2.00）填空项 1:_
14、（正确答案：正确答案：3）解析：解析：本题考查已知拐点坐标来确定曲线方程中的一个参数。已知 y=x 3 +ax 2 +bx+1，则 y“=3x 2 +2ax+b，y“=6x+2a。令 y“=0，得 x= 15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 t=x1 得16. e + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：原式可化为17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：18.设 z=（x+e y ） x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2ln2+1）解析：解析
15、：由 z=（x+ey） x ，故 z（x，0）=（x+1） x ，则 19.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在原级数中令 nt n ，由于 nt n 的收敛半径为 1，收敛区间为（1，1）。由于 =t，t（0，1） 所以 20.微分方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=tan ）解析：解析：将已知微分方程变形整理得，21.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e x （C 1 cos2x+C 2 si
16、n2x），C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：由题干可知，方程 y“+2y“+5y=0 的特征方程为 r 2 +2r+5=0解得 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设函数 y=y（x）由方程 ylnyx+y=0 确定，试判断曲线 y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要判断曲线 y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性，只需判断 y“（1）的正负。 在方程 ylny 一 x+y=0 两边对
17、x 求导得 y“lny+y“1+y“=0，上式两边对 x 求导得 于是 y“（1）= )解析：25.已知函数 f（x）在0，1上连续，在（0，1）内可导，且 f（0）=0，f（1）=1。证明：（）存在f（0，1），使得 f（）=1 一 ；（）存在两个不同的点 ，（0，1），使得 f“（）f“（）=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）令 F（x）=f（x）1+x，则 F（x）在0，1上连续，且 F（0）=一10，F（1）=1 0，于是由介值定理知，存在 （0，1），使得 F（）=0，即 f（）=1。 （）在0，和，1上对 f（x）分别应用拉格朗日中值定理知，存在两个不同的点 （0，
18、），（，1），使得 )解析：26.设函数 f（x）在0，3上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且 2f（0）= 0 2 f（x）dx=f（2）+f（3） （）证明存在 （0，2），使 f（）=f（0）； （）证明存在 （0，3），使f“（）=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 F（x）= 0 x f（t）dt，x0，3。由于 f（x）在0，3上连续，从而可知 F（x）在0，3上可导。由拉格朗日中值定理可知 F（2）F（0）=F“（）（20），（0，2），所以 0 2 f（x）dx=2f（），又因为 2f（0）= 0 2 f（x）dx，所以 f（）=f（0）。 （）因 f（2）
19、+f（3）=2f（0），即 )解析：27.已知函数 f（u，）具有连续的二阶偏导数，f（1，1）=2 是 f（u，）的极值，已知 z=f（x+y），f（x，y）。求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =f 1 “ （x+y），f（x，y）+f 2 “ （x+y），f（x，y）f 1 “ （x，y），所以 =f 11 “ （x+y），f（x，y）+f 12 “ （x+y），f（x，y）f 2 “ （x，y） +f 21 “ （x+y）f（x，y）f 1 “ （x，y）+f 22 “ （x+y），f（x，y）f 2 “ （x，y）f 1 “ （x，y） +f 2 “ （x，y），fx
20、，y）f 12 “ （x，y）， 又因为 f（1，1）=2 是 f（u，）的极值，故 f 1 “ （1，1）=0，f 2 “ （1，1）=0，因此 )解析：28.设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得 )解析：30.设正项数列a n 单调递减，且 （1） n a n 发散，试问级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于正项数列a n 单调递减，因此极限 a n 存在，将极限记为 a，则有 a n a，且 a0又因为 （1） n a n 是发散的，根据交错级数的莱布尼茨判别法可知 a0（否则级数 （1） n a n 是收敛的）。已知正项级数a n 单调递减，因此 而 收敛，因此根据比较判别法可知，级数 )解析：
