1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有（A）C 与 AB 独立（B） C 与 AB 不独立（C） AC 与 B 独立（D）AC 与 B 不独立2 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密度 f1(x)为（A）f 1(x)= f(x)+f(一 x) （B） f1(x)=f(x)+f(一 x)（C） f1(x)=（D）f 1(x)=3 已知 X，Y 的概率分布分别为 PX=1=PX=0=，则 PX=Y=4 假设
2、随机变量 X1，X 2，相互独立且服从同参数 的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比夫大数定律条件的是（A）X 1，X 2，X n， （B） X1+1，X 2+2， Xn+n，（C） X1，2X 2，nX n， （D）X 1， X2， Xn，5 设随机变量 X 服从 F(3，4)分布，对给定的 (0 1)，数 F(3，4)满足PXF (3， 4)=，若 PXx=1 一 ，则 x=（A） （B） （C） F(4， 3)（D）F 1 (4，3)6 设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布，定义 t满足 PXt=1 一 (0 1)，若已知 PXx=b(b0)，则 x 等于（A）t 1b （
3、B） （C） tb（D） 二、填空题7 已知 ，则 X=_8 若在区间(0，1) 上随机地取两个数 ， ，则关于 x 的一元二次方程 x2 一 2x+=0有实根的概率是_9 甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 P 与 05，则P=_时，甲、乙胜负概率相同10 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(1，2)，Y 一 N(一 3，4)，则随机变量Z=一 2X+3Y+5 的概率密度为 f(z)=_11 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 = ，则根据切比雪夫不等式有估计式 PX 一 Y _12 设随机
4、变量序列 X1，X n，相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，则=_(结果用标准正态分布函数 (x)表示)13 已知总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值为 +(23a)S2 的期望为 ，则a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设随机变量 X 的分布函数为 求P04X13，PX 05，P17X2以及概率密度 f(x)15 已知随机变量 X 的概率分布为且 PX2= ，求未知参数 及 X 的分布函数 F(x)15 设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放人四个盒子，记 X 为至少有一只球
5、的盒子的最小号码16 求 X 的分布律；17 若当 X=k 时，随机变量 Y 在0 ，k上服从均匀分布， k=1，2，3，4，求Py218 假设测量的随机误差 XN(0，10 2)，试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并利用泊松定理求出 的近似值(e 5=0007)19 设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)=其中参数 0，试求 X 与 Y 的边缘分布函数20 设随机变量 ，且 PX Y=1(I)求 X 与 Y 的联合分布律，并讨论 X 与 Y 的独立性； ()令U=X+Y，V=XY，讨论 U 与 V 的独立性21 已知随机变量 X，Y 的概
6、率分布分别为 PX=一 1=，并且 PX+Y=1=1，求：()(X ，Y)的联合分布； ()X 与 Y 是否独立? 为什么?22 已知随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，Y 服从标准正态分布，X 与 Y 独立，现对 X 进行 n 次独立重复观察，用 Z 表示观察值大于 2 的次数，求 T=Y+Z 的分布函数 FT(t)22 汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车 A，B ，C 同时进入该加油站，假设 A、B 首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车 C 加油，假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为 A 的指数分布23 第三辆车 C 在加油站等待加油时间 T 的概率密度
7、；24 求第三辆车 C 在加油站度过时间 S 的概率密度25 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=Aex(Bx) (一x+)，且 E(X)=2D(X)，试求：( )常数 A，B 之值；()E(X 2+eX)；()Y= (X1)的分布函数 F(y)25 假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 50 克，标准差为 5 克求：26 100 个螺丝钉一袋的重量超过 51 千克的概率；27 每箱螺丝钉装有 500 袋，500 袋中最多有 4的重量超过 51 千克的概率28 已知总体 X 的数学期望 EX=，方差 DX=2，X 1，X 2，X 2n 是来自总体 X容量为 2n 的简单随机样本
8、，样本均值为 ，求 EY考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 38 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ，(B) ：PC(A B)= =P(AC)P(ABC)=P(A)P(C)一 P(ABC)， P(C)P(AB)=P(C)P(A)一 P(AB)=P(A)P(C)一 P(A)P(B)P(C)尽管A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故 (A)，(B)均不正确与题设 P(A)，P(B) ，P(C)(0 ，1)矛盾，因此排除(C)，选(
9、D) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 设 X 的分布函数为 F(x)，X的分布函数为 F1(x)，则 当 x0 时，F1(x)=PXx=0，从而 f1(x)=0； 当 x0 时，F 1(x)=PXx=P 一 xXx=x xf(x)dx=F(x)一 F(一 x)， 从而有 f1(x)=f(x)+f(一 x) 由上分析可知，应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查联合分布与边缘分布的关系，由题设知 PXY=1=PX=1，Y=1= ，又已知 X，Y 的分布，从而可求出下表中用黑体表示的数字，得(X ， Y)的概率分布 所以，P
10、X=Y=PX=0，Y=0+PX=1 ， Y=1= ，故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的，显然无论是 X1， ，X n，还是X1+1， X2+2， ，X n+n， ；X 1，2X 2，nX n，以及X1， ，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在，由于 EXn=，DX n=，E(X n+n)=+n， D(Xn+n)=，E(nX n)=n，D(nX n)=n2， ，因此四个备选答案都满足第二个条件；第三个条件是方差 DX1，DX n有公共上界，即 DXnc
11、，c 是与 n 无关的常数，对于(A) ：DX n=+1；对于(B)：D(X n+n)=DXn=+1；对于(C)：(nXn)=n2DXn=n2 没有公共上界；对于(D) +1。综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 由 PXx=1 一 可知，PX x=，即 x=F(3，4)，又由F1 (n1,n2)= ，故选(A) 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 根据 t 分布的对称性及 b0，可知 x0，从而 PXx=1 一PXx=1 根据题设定义 PXt=1 一 ，可知x= ，应选(
12、D)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 事件的运算性质，可得【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A 表示“方程 x22x+=0 有实根 ”，因 ， 是从(0 ，1)中任意取的两个数，因此点(，) 与正方形区域 D 内的点一一对应，其中D=(，)01，0 1事件 A=(，)(2) 2 一 40，(，) D，有利于事件 A 的样本点区域为图 12 中阴影部分 D1，其中D1=(，) 2，0， 1依几何型概率公式，有 P(A)=【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 记事件 Ai 表示甲在总投篮次数中第 i
13、次投中，i=1，4，7，10，事件 Bj 表示乙在总投篮次数中第 i 次投中，j=2，3，5，6，8，9记事件 A，B 分别表示甲、乙取胜，事件 A 可以表示为下列互不相容的事件之和，即 A=A1 ，又 A 中每项中的各事件相互独立，因此有=P+05 2(1一 p)p+05 4(1 一 P)2P+=P+025(1 一 p)p+025(1 一 p)2P+这是一个公比q=025(1 一 P)的几何级数求和问题，由于 00 25(1 一 P)1，该级数收敛，且P(A)= 若要甲、乙胜率相同，则 P(A)=P(B)=05，即按这种游戏规则，只有当 P= 时，甲、乙胜负概率相同【知识模块】 概率论与数理
14、统计10 【正确答案】 【试题解析】 因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以 Z=一 2X+3Y+5 服从正态分布，要求 f(z)= ，则需确定参数 与 的值，又 E(Z)=，D(Z)= 2，因此归结为求 E(Z)与 D(Z)，根据数学期望和方差的性质及 E(X)=1，D(X)=2， E(Y)=一 3，D(Y)=4，可得 E(Z)=E( 一 2X+3Y+5)=一 2E(X)+3E(Y)+5=(一 2)1+3(一 3)+5=一 6，D(Z)=D( 一 2X+3Y+5)=(一 2)2D(X)+32D(Y)=42+94=44因此 Z 的概率密度为 f(z)=，z R【知识模块
15、】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 由于 E(XY)=EXEY=0。【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由于 Xn 相互独立且都在 (一 1，1)上服从均匀分布，所以EXn=0，DX n= ，根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 直接由+(23a)ES2=a+(23a)=(22a)=，解得 a= 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 P04 X13=F(13)一 F(04)=(1 305)一=06，PX 05=1 一
16、PX05=1 一 F(05)=1 一=075， P17X2=F(2)一 F(17)=11=0；f(x)=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由 PX2=1 一 PX=1=1 一 2= ，又 PX=2=20(1)0，= ，从而得 X 的概率分布于是 X 的分布函数 F(x)=PXx=【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 用古典型概率求 X 的分布律样本空间样本点总数为 43=64，事件X=1表示“1 号盒中有球 ”，分 1 号盒中有 1 个球、 2 个球和 3 个球三种情况，所含样本点个数为 m1=C313 2+C323+C 33=37，事
17、件 X=2表示“1 号盒中尤球，2号盒中有球” ，同样分盒中有 1 个、2 个、3 个球三种情况，所含样本点数为m2=C312 2+C322+C 33=19，事件X=3表示“1 号、2 号盒中无球，3 号盒中有球”，所含样本点数，m 3=C31+C32+C33=7，事件X=4表示 “3 个球全落入 4 号盒中”，样本点数 m4=1，故【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由于当 x=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布，故PY2X=1=PY2X=2=1，PY2X=3= ， PY2X=4= 由全概率公式即得【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 记事件 A=“100
18、 次独立测量中至少有 3 次测量误差 X 的绝对值大于 196”=“100 次独立测量中，事件X196 至少发生 3 次” ，依题意，所求 =P(A)，如果记事件 C=X196，Y 表示 100 次独立测量中事件 C 发生的次数，则事件 A=Y3，YB(100，p)，其中 p=P(C)p=P(C)=PX19 6=1PX196=1 一 P一 196X196=1 一=21 一 (196)=20025=0 05，因此所求的概率=P(A)=PY3=1 一 PY3=1 PY=0一 PY=1一 PY=2，其中 PY=k=C100kPk(1 一 p)100k =C100k005 k095 100k 由于 n
19、=100 充分大，p=005 很小，np=100005=5 适中，显然满足泊松定理的条件，可认为 Y 近似服从参数为 5 的泊松分布，因此 PY=k e ，其中 =np=5，于是1e 5 5e 5 e5 =1185e 5 =087【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 当 x0 时，F X(x)=PXx=F(x，+)=1 一 ex ；当 x0 时，F X(x)=0，因此关于 X 的边缘分布函数为 FX(x)= 类似地，关于Y 的边缘分布函数为 FY(y)=【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 () 由 PX Y=1 知， PX =Y =0 由此可得X 与 Y 的联合分布律
20、为 因为 PX=一 1， Y=一 1PX=一 1PY=一 1，所以 X 与 Y 不独立()由(X，Y)的联合分布律知 U，V 的取值均为一 1，1，且 PU=V=一 1=PX=一 1，Y=0= ，PU= 一 1，V=1=PX=0 ，Y=一 1= ，PU=1，V= 一 1=PX=0，Y=1=，PU=V=1=PX=1，Y=0= ，故 U 与 V 的联合分布律与边缘分布律为可验证 U 与 V 独立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 首先由边缘分布及条件求得联合分布，进而判断是否独立()由题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=1，故其余分布
21、值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX=一 1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=PX=1，Y=1=PX=1，Y=2=0，由此可求得联合分布为()因为 PX=一 1，Y=0=0PX=一 1PY=0= ，故 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由题意知 ZB(n，p)，其中 p=PX2= 2 eX dx=e2 ，即ZB(n，e 2 )，又 X 与 Y 独立，故 Y 与 Z 独立， Z 为离散型随机变量，应用全概率公式可以求得 T=Y+Z 的分布函数 FT(t)，事实上，由于 Z=k=，所以，根据全概率公式可得其中 p=e2 ，tR【知识模块】 概率论与
22、数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 首先我们需要求出 T、S 与各辆车加油时间 Xi(i=1，2，3)之间的关系，假设第 i 辆车加油时间为 Xi(i=1，2，3)，则 Xi 独立同分布，且概率密度都为 fi(x)= 依题意，第三辆车 C 在加油站等待加油时间 T=min(X1，X 2)，度过时间=等待时间+加油时间，即S=T+X3=min(X1，X 2)+X3由于 T=min(X1，X 2)，其中 X1 与 X2 独立，所以 T 的分布函数 FT(t)=Pmin(X1，X 2)t=1 一 Pmin(X1，X 2)t=1PX 1tPX 2t=T 的密度函数 fT(t)=
23、即 T=min(X1，X 2)服从参数为 2 的指数分布【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 S=T+X 3=min(X1，X 2)+X3，T 与 X3 独立且已知其概率密度，由卷积公式求得 S 的概率密度为 fS(s)= fT(t)f3(s 一 t)dt=0 2e2t f3(s 一 t)dts 2e2(sx) f3(x)d(一 x)= s2e2s e 2xf3(x)dx【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (I)()E(X 2+eX)=E(X2)+E(eX)，而 E(X2)=D(X)+E(X)2= ，所以 E(X2+eX)= ()由于 X显然，当y0 时，F(y)=0
24、；当 y0 时，其中 (y)为标准正态分布的分布函数【试题解析】 f(x)=Ae x(Bx) = ，可以将 f(x)看成正态分布 的概率密度函数【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 假设 Xi 表示袋中第 i 颗螺丝钉的重量， i=1，100，则X1，X 100 相互独立同分布，EX i=50，DX i=52，记一袋螺丝钉的重量为 S100，则S100= Xi，ES 100=5000，DS 100=2500应用列维-林德伯格中心极限定理可知 S100近似服从正态分布 N(5000，50 2)，且 PS1005100=1 一 PS1005100=1 一1
25、 一 (2)=002275【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 500 袋中重量超过 51 千克的袋数为 Y，则 Y 服从参数n=500， p=0 02275 的二项分布 EY=11375，DY=11116，应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，可知 Y 近似服从参数 =11375， 2=11116 的正态分布，于是 (259)=0995【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由于总体分布未知，我们只好将 Y 化简，应用数字特征性质计算EY，由于又 EXi=，DX i=2，EX i2=2 2， ，所以 EY=2n22n 22n 22 24n 2=2(n1) 2【知识模块】 概率论与数理统计
