1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 38及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有（分数：2.00）A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AC 与 BD.AC 与 B3.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密度 f 1 (x)为（分数：2.00）A.f 1 (x)= B.f 1 (x)=f(x)+f(一 x)C.f 1 (x)= D.f 1 (x)
2、= 4.已知 X，Y 的概率分布分别为 PX=1=PX=0= ，则 PX=Y= （分数：2.00）A.B.C.D.5.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，相互独立且服从同参数 的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X 1 ，X 2 ，X n ，B.X 1 +1，X 2 +2，X n +n，C.X 1 ，2X 2 ，nX n ，D.X 1 ， X 2 ， 6.设随机变量 X服从 F(3，4)分布，对给定的 (01)，数 F (3，4)满足 PXF (3，4)=，若 PXx=1 一 ，则 x=（分数：2.00）A.B.C.F (4，3)D.F 1 (4，3
3、)7.设随机变量 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =1一 (01)，若已知PXx=b(b0)，则 x等于（分数：2.00）A.t 1b B.C.t b D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_9.若在区间(0，1)上随机地取两个数 ，则关于 x的一元二次方程 x 2 一 2x+=0 有实根的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 P与 05，则 P= 1时，甲、乙胜负概率相同（分数：2.00
4、）填空项 1:_11.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(1，2)，Y 一 N(一 3，4)，则随机变量 Z=一 2X+3Y+5的概率密度为 f(z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知随机变量 X与 Y的相关系数 = ，则根据切比雪夫不等式有估计式 PX 一Y （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知总体 X服从参数为 的泊松分布，X 1 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其均值为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：3
5、0.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）_17.已知随机变量 X的概率分布为 且 PX2= （分数：2.00）_设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放人四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码（分数：4.00）(1).求 X的分布律；（分数：2.00）_(2).若当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，k=1，2，3，4，求 Py2（分数：2.00）_18.假设测量的随机误差 XN(0，10 2 )，试求在 100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196
6、的概率 ，并利用泊松定理求出 的近似值(e 5 =0007)（分数：2.00）_19.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）_20.设随机变量 （分数：2.00）_21.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=一 1= （分数：2.00）_22.已知随机变量 X服从参数为 1的指数分布，Y 服从标准正态分布，X 与 Y独立，现对 X进行 n次独立重复观察，用 Z表示观察值大于 2的次数，求 T=Y+Z的分布函数 F T (t)（分数：2.00）_汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车 A，B，C 同时进入该加油站，假设 A、B 首先开始加油，当其中一辆车加油结束
7、后立即开始第三辆车 C加油，假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为 A的指数分布（分数：4.00）(1).第三辆车 C在加油站等待加油时间 T的概率密度；（分数：2.00）_(2).求第三辆车 C在加油站度过时间 S的概率密度（分数：2.00）_23.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)=Ae x(Bx) (一x+)，且 E(X)=2D(X)，试求： ()常数A，B 之值； ()E(X 2 +e X )； ()Y= （分数：2.00）_假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 50克，标准差为 5克求：（分数：4.00）(1).100个螺丝钉一袋的重量超过 51 千克的概率；（
8、分数：2.00）_(2).每箱螺丝钉装有 500袋，500 袋中最多有 4的重量超过 51 千克的概率（分数：2.00）_24.已知总体 X的数学期望 EX=，方差 DX= 2 ，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 38答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有（分
9、数：2.00）A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AC 与 BD.AC 与 B 解析：解析：对于(A)，(B)： PC(AB)= =P(AC)P(ABC)=P(A)P(C)一 P(ABC)， P(C)P(AB)=P(C)P(A)一 P(AB)=P(A)P(C)一 P(A)P(B)P(C) 尽管 A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故(A)，(B)均不正确3.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密度 f 1 (x)为（分数：2.00）A.f 1 (x)= B.f 1 (x)=f(x)+f(
10、一 x)C.f 1 (x)= D.f 1 (x)= 解析：解析：设 X的分布函数为 F(x)，X的分布函数为 F 1 (x)，则 当 x0 时，F 1 (x)=PXx=0，从而 f 1 (x)=0； 当 x0 时，F 1 (x)=PXx=P一 xXx= x x f(x)dx=F(x)一 F(一 x)， 从而有 f 1 (x)=f(x)+f(一 x) 由上分析可知，应选(D)4.已知 X，Y 的概率分布分别为 PX=1=PX=0= ，则 PX=Y= （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：本题考查联合分布与边缘分布的关系，由题设知 PXY=1=PX=1，Y=1= ，又已知X，Y 的分布，
11、从而可求出下表中用黑体表示的数字，得(X，Y)的概率分布 所以，PX=Y=PX=0，Y=0+PX=1，Y=1=5.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，相互独立且服从同参数 的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X 1 ，X 2 ，X n ，B.X 1 +1，X 2 +2，X n +n，C.X 1 ，2X 2 ，nX n ， D.X 1 ， X 2 ， 解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的，显然无论是 X 1 ，X n ，还是 X 1 +1，X 2 +2，X n +n，；X 1 ，2X 2 ，n
12、X n ，以及 X 1 ， ，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在，由于 EX n =，DX n =，E(X n +n)=+n，D(X n +n)=，E(nX n )=n，D(nX n )=n 2 ， ，因此四个备选答案都满足第二个条件；第三个条件是方差 DX 1 ，DX n 有公共上界，即 DX n c，c 是与 n无关的常数，对于(A)：DX n =+1；对于(B)：D(X n +n)=DX n =+1；对于(C)：(nX n )=n 2 DX n =n 2 没有公共上界；对于(D) 6.设随机变量 X服从 F(3，4)分布，对给定的 (01)，数 F (3，4)满足
13、 PXF (3，4)=，若 PXx=1 一 ，则 x=（分数：2.00）A. B.C.F (4，3)D.F 1 (4，3)解析：解析：由 PXx=1 一 可知，PXx=，即 x=F (3，4)，又由 F 1 (n 1 ,n 2 )= 7.设随机变量 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =1一 (01)，若已知PXx=b(b0)，则 x等于（分数：2.00）A.t 1b B.C.t b D. 解析：解析：根据 t分布的对称性及 b0，可知 x0，从而 PXx=1 一 PXx=1 根据题设定义 PXt =1一 ，可知 x= 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.已知 （分
14、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：事件的运算性质，可得9.若在区间(0，1)上随机地取两个数 ，则关于 x的一元二次方程 x 2 一 2x+=0 有实根的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A表示“方程 x 2 2x+=0 有实根”，因 ， 是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(，)与正方形区域 D内的点一一对应，其中 D=(，)01，01事件A=(，)(2) 2 一 40，(，)D，有利于事件 A的样本点区域为图 12 中阴影部分 D 1 ，其中 D 1 =(，) 2 ，0，1依几何型概率公式，有 P(
15、A)= 10.甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 P与 05，则 P= 1时，甲、乙胜负概率相同（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记事件 A i 表示甲在总投篮次数中第 i次投中，i=1，4，7，10，事件 B j 表示乙在总投篮次数中第 i次投中，j=2，3，5，6，8，9记事件 A，B 分别表示甲、乙取胜，事件 A可以表示为下列互不相容的事件之和，即 A=A 1 ， 又 A中每项中的各事件相互独立，因此有 =P+05 2 (1一 p)p+05 4 (1一 P)
16、2 P+ =P+025(1 一 p)p+025(1 一 p) 2 P+ 这是一个公比 q=025(1 一 P)的几何级数求和问题，由于 0025(1 一 P)1，该级数收敛，且 P(A)= 若要甲、乙胜率相同，则 P(A)=P(B)=05，即 按这种游戏规则，只有当 P= 11.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(1，2)，Y 一 N(一 3，4)，则随机变量 Z=一 2X+3Y+5的概率密度为 f(z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以 Z=一 2X+3Y+5服从正态分布，要求 f(
17、z)= ，则需确定参数 与 的值，又 E(Z)=，D(Z)= 2 ，因此归结为求E(Z)与 D(Z)，根据数学期望和方差的性质及 E(X)=1，D(X)=2， E(Y)=一 3，D(Y)=4， 可得 E(Z)=E(一2X+3Y+5)=一 2E(X)+3E(Y)+5=(一 2)1+3(一 3)+5=一 6， D(Z)=D(一 2X+3Y+5)=(一 2) 2 D(X)+3 2 D(Y)=42+94=44 因此 Z的概率密度为 f(z)= 12.已知随机变量 X与 Y的相关系数 = ，则根据切比雪夫不等式有估计式 PX 一Y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：
18、由于 E(XY)=EXEY=0。13.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 X n 相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，所以 EX n =0，DX n = ，根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有 14.已知总体 X服从参数为 的泊松分布，X 1 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其均值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直接由 +(23a)ES 2 =a+(23a)=(22a)=，解得 a= 三、解答题(总题数
19、：13，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.设随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P04X13=F(13)一 F(04)=(1305)一 =06， PX05=1一 PX05=1 一 F(05)=1 一 =075， P17X2=F(2)一 F(17)=11=0； f(x)=)解析：17.已知随机变量 X的概率分布为 且 PX2= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 PX2=1 一 PX=1=1一 2 = ，又 PX=2=20(1)0，= ，从而得 X的概率分布 于是 X的分布函数 F(x)=PXx= )解析
20、：设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放人四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码（分数：4.00）(1).求 X的分布律；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用古典型概率求 X的分布律 样本空间样本点总数为 4 3 =64，事件X=1表示“1号盒中有球”，分 1号盒中有 1个球、2 个球和 3个球三种情况，所含样本点个数为 m 1 =C 3 1 3 2 +C 3 2 3+C 3 3 =37，事件X=2表示“1 号盒中尤球，2 号盒中有球”，同样分盒中有 1个、2 个、3 个球三种情况，所含样本点数为 m 2 =C 3 1 2 2 +C 3 2 2+
21、C 3 3 =19，事件X=3表示“1 号、2 号盒中无球，3 号盒中有球”，所含样本点数，m 3 =C 3 1 +C 3 2 +C 3 3 =7，事件X=4表示“3 个球全落入 4号盒中”，样本点数 m 4 =1，故 )解析：(2).若当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，k=1，2，3，4，求 Py2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于当 x=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，故 PY2X=1=PY2X=2=1， PY2X=3= ， PY2X=4= 由全概率公式即得 )解析：18.假设测量的随机误差 XN(0，10 2 )，试求在 100次独立重复测量中，至少
22、有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并利用泊松定理求出 的近似值(e 5 =0007)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记事件 A=“100次独立测量中至少有 3次测量误差 X的绝对值大于 196”=“100次独立测量中，事件X196至少发生 3次”，依题意，所求 =P(A)，如果记事件C=X196，Y 表示 100次独立测量中事件 C发生的次数，则事件 A=Y3，YB(100，p)，其中p=P(C) p=P(C)=PX196=1PX196 =1 一 P一 196X196=1 一 =21一 (196)=20025=005， 因此所求的概率 =P(A)=PY3=1 一 PY3
23、=1PY=0一 PY=1一PY=2， 其中 PY=k=C 100 k P k (1一 p) 100k =C 100 k 005 k 095 100k 由于 n=100充分大，p=005 很小，np=100005=5 适中，显然满足泊松定理的条件，可认为 Y近似服从参数为 5的泊松分布，因此 PY=k e ，其中 =np=5，于是 1e 5 5e 5 )解析：19.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，F X (x)=PXx=F(x，+)=1 一 e x ；当 x0 时，F X (x)=0，因此关于 X的边缘分布函数为 F X (x
24、)= 类似地，关于 Y的边缘分布函数为 F Y (y)= )解析：20.设随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 PXY=1 知，PX=Y=0由此可得 X与 Y的联合分布律为 因为 PX=一 1，Y=一 1PX=一 1PY=一 1，所以 X与 Y不独立 ()由(X，Y)的联合分布律知 U，V 的取值均为一 1，1，且 PU=V=一 1=PX=一 1，Y=0= ， PU=一 1，V=1=PX=0，Y=一 1= ， PU=1，V=一 1=PX=0，Y=1= ， PU=V=1=PX=1，Y=0= ， 故 U与 V的联合分布律与边缘分布律为 )解析：21.已知随机变量 X，Y 的概
25、率分布分别为 PX=一 1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先由边缘分布及条件求得联合分布，进而判断是否独立 ()由题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=1，故其余分布值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX=一1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=PX=1，Y=1=PX=1，Y=2=0，由此可求得联合分布为 ()因为 PX=一 1，Y=0=0PX=一 1PY=0= )解析：22.已知随机变量 X服从参数为 1的指数分布，Y 服从标准正态分布，X 与 Y独立，现对 X进行 n次独立重复观察，用 Z表示观察值大于 2的次数，
26、求 T=Y+Z的分布函数 F T (t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知 ZB(n，p)，其中 p=PX2= 2 e X dx=e 2 ，即 ZB(n，e 2 )，又 X与 Y独立，故 Y与 Z独立，Z 为离散型随机变量，应用全概率公式可以求得 T=Y+Z的分布函数F T (t)，事实上，由于 Z=k=，所以，根据全概率公式可得 )解析：汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车 A，B，C 同时进入该加油站，假设 A、B 首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车 C加油，假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为 A的指数分布（分数：4.00）(1).第三辆车
27、C在加油站等待加油时间 T的概率密度；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先我们需要求出 T、S 与各辆车加油时间 X i (i=1，2，3)之间的关系，假设第i辆车加油时间为 X i (i=1，2，3)，则 X i 独立同分布，且概率密度都为 f i (x)= 依题意，第三辆车 C在加油站等待加油时间 T=min(X 1 ，X 2 )，度过时间=等待时间+加油时间，即 S=T+X 3 =min(X 1 ，X 2 )+X 3 由于 T=min(X 1 ，X 2 )，其中 X 1 与 X 2 独立，所以 T的分布函数 F T (t)=Pmin(X 1 ，X 2 )t=1 一 Pmin(X
28、 1 ，X 2 )t=1PX 1 tPX 2 t = T的密度函数 f T (t)= )解析：(2).求第三辆车 C在加油站度过时间 S的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S=T+X 3 =min(X 1 ，X 2 )+X 3 ，T 与 X 3 独立且已知其概率密度，由卷积公式求得 S的概率密 度为 f S (s)= f T (t)f 3 (s一 t)dt= 0 2e 2t f 3 (s一 t)dt s 2e 2(sx) f 3 (x)d(一 x) = s 2e 2s e 2x f 3 (x)dx )解析：23.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)=Ae x(Bx) (一x+
29、)，且 E(X)=2D(X)，试求： ()常数A，B 之值； ()E(X 2 +e X )； ()Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I) ()E(X 2 +e X )=E(X 2 )+E(e X )，而 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = ， 所以 E(X 2 +e X )= ()由于 X 显然，当 y0 时，F(y)=0；当 y0时， )解析：解析：f(x)=Ae x(Bx) = ，可以将 f(x)看成正态分布 假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 50克，标准差为 5克求：（分数：4.00）(1).100个螺丝钉一袋的重量超过 51 千克的概率；（分数：2
30、.00）_正确答案：(正确答案：假设 X i 表示袋中第 i颗螺丝钉的重量，i=1，100，则 X 1 ，X 100 相互独立同分布，EX i =50，DX i =5 2 ，记一袋螺丝钉的重量为 S 100 ，则 S 100 = X i ，ES 100 =5000，DS 100 =2500 应用列维-林德伯格中心极限定理可知 S 100 近似服从正态分布 N(5000，50 2 )，且 PS 100 5100=1 一 PS 100 5100=1 一 )解析：(2).每箱螺丝钉装有 500袋，500 袋中最多有 4的重量超过 51 千克的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 500袋中重量超过 51 千克的袋数为 Y，则 Y服从参数 n=500，p=002275 的二项分布 EY=11375，DY=11116，应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，可知 Y近似服从参数=11375， 2 =11116 的正态分布，于是 )解析：24.已知总体 X的数学期望 EX=，方差 DX= 2 ，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于总体分布未知，我们只好将 Y化简，应用数字特征性质计算 EY，由于 又 EX i =，DX i = 2 ，EX i 2 = 2 2 ， ， 所以 EY= )解析：
