1、考研数学三（微积分）模拟试卷 135 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)(62)的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1C 1 一 C
2、2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 2 )y 3 3.已知 sin 2 x，cos 2 x 是方程 y“+P(x)y+Q(x)y=0 的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00）A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 xB.C 1 +C 2 cos2xC.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 xD.C 1 +C 2 cos 2 x二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：30
3、，分数：60.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.求微分方程 x(y 2 一 1)dx+y(x 2 一 1)dy=0 的通解（分数：2.00）_7.求微分方程(x 一 4)y 4 dxx 3 (y 2 一 3)dy=0 的通解（分数：2.00）_8.微分方程 ydx 一(x+ （分数：2.00）_9.求微分方程 （分数：2.00）_10.求微分方程 ydx+(xy+x 一 e y )dy=0 的通解（分数：2.00）_11.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds，求 f(t)（分数：2.00）_12.设 f(x)
4、连续且 f(x)0，并满足 f(x)= 0 x f(t)dt+2 0 1 tf 2 (t)dt，求 f(x)（分数：2.00）_13.求下列微分方程的通解：() y“一 3y=26x； () y“+y=2cosx； () y“+4y+5y=40cos3x（分数：2.00）_14.求微分方程 y“+2y一 3y=e x +x 的通解（分数：2.00）_15.设某商品的需求量 D 和供给量 S 各自对价格 P 的函数为 D(P)= ，S(P)=6P，且 P 是时间 t 的函数，并满足方程 =kD(P)一 s(P)，其中 a，b，k 为正的常数 求：()需求量与供给量相等时的均衡价格 P 3 ；()
5、当 t=0，P=1 时的价格函数 P(t)；() （分数：2.00）_16.设()函数 f(x)在0，+)上连续，且满足 0f(x)e x 一 1； ()平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线y=f(x)和 y=e x 一 1 分别交于点 P 2 和 P 1 ； ()由曲线 y=f(x)与直线 MN 及 x 轴围成的平面图形的面积 S 恒等于线段 P 1 P 2 之长求函数 f(x)的表达式（分数：2.00）_17.求 y t =te t +2t 2 一 1 的一阶差分（分数：2.00）_18.求差分方程 y t+1 +7y t =16 满足 y 0 =5 的特解（分数：2.00）_19.求下列
6、微分方程的通解或特解： （分数：2.00）_20.求微分方程 （分数：2.00）_21.求下列微分方程的通解： ()y+ （分数：2.00）_22.给出满足下列条件的微分方程： ()方程有通解 y=(C 1 +C 2 x+x 1 )e x ； ()方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解 y 1 =cos2x 一 （分数：2.00）_23.求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解： ()2y“+y一 y=0； ()y“+8y+16y=0； ()y“一2y+3y=0（分数：2.00）_24.()求 y“一 7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= （分数：2.00）_25.求微分方程 y“+
7、4y+5y=8cosx 的当 x一时为有界函数的特解（分数：2.00）_26.设 f(x)=sinx+ 0 x e t f(x 一 t)dt，其中 f(x)连续，求满足条件的 f(x)（分数：2.00）_27.设当 x0 时 f(x)有一阶连续导数，且满足 f(x)=一 1+x+2 0 x (x 一 t)f(t)f(t)dt，求f(x)（分数：2.00）_28.设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x 一 e x +1， 求 f(x)（分数：2.00）_29.已知 xy+p(x)y=x 有解 y=e
8、x ，求方程满足 y x=ln 2 =0 的解（分数：2.00）_30.已知方程 y= （分数：2.00）_31.设 f(x)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：2.00）_32.设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k 为常数（分数：2.00）_33.求下列一阶常系数线性差分方程的通解： ()4y t+1 +16y t =20； ()2y t+1 +10y t 一 5t=0； ()y t+1 一 2y t =2 t ； ()y t+1 y t =4cos （分数：2.00）_34.求下列方程满足给定条件的
9、特解： ()y t+1 一 y t =2 t ，y 0 =3； ()y t+1 +4y t =17cos （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 135 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)(62)的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3
10、B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1C 1 一 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 2 )y 3 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 一 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )， 而且 y 3 是非齐次方程(62)的一个特解，y 1 一 y 3 与 y 2 y 3 是(64)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选(D)3.已知 sin 2 x，cos 2 x 是方程 y“+P(x)y+Q(x)y=0
11、 的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00）A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 xB.C 1 +C 2 cos2xC.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x D.C 1 +C 2 cos 2 x解析：解析：容易验证 sin 2 x 与 cos 2 x 是线性无关的两个函数，从而依题设 sin 2 x，cos 2 x 为该方程的两个线性无关的解，故 C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x 为方程的通解而(B)，(D)中的解析式均可由 C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x 恒等变换得到，因此，由排除法，仅 C 1 sin 2 2
12、x+C 2 tan 2 x 不能构成该方程的通解事实上，sin 2 2x，tan 2 x 都未必是方程的解，故选(C)二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先尝试从y 的表达式直接求 y(1)为此，设 x 0 =0，x=1，于是y=y(x 0 +x)一y(x 0 =y(1)一 y(0)=y(1)一 ，代入y 的表达式即得 y(1)一 =+ y(1)=2+ 由于仅仅知道当x0 时 是比x 较高阶的无穷小，而不知道 的具体表达式，因而从上式
13、无法求出 y(1) 由此可见，为了求出 y(1)必须去掉y 的表达式中包含的 利用函数的增量y 与其微分 dy 的关系可知，函数 y(x)在任意点 x 处的微分 这是一个可分离变量方程，它满足初始条件 y x=0 = 的特解正是本题中的函数 y(x)，解出 y(x)即可得到 y(1) 三、解答题(总题数：30，分数：60.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.求微分方程 x(y 2 一 1)dx+y(x 2 一 1)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用(x 2 一 1)(y 2 一 1)除方程的两端，则原方程化为 )解析：
14、7.求微分方程(x 一 4)y 4 dxx 3 (y 2 一 3)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个变量可分离型方程，当 xy0 时，原方程等价于 )解析：8.微分方程 ydx 一(x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：将原方程改写成 ，然后令 y=ux，则 y=u+xu代入后将会发现该变形计算量较大于是可转换思维方式，将原方程改写成9.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 这是一个一阶线性微分方程，解得 u= (x 2 +1)C+ln(x 2 +1) 所以原微分方程的通解为 y=u 2 = )解析：10.求微分方程
15、ydx+(xy+x 一 e y )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y 看成自变量，x 看成是 y 的函数，则原方程是关于未知函数 x=x(y)的一阶线性微分方程，化为标准形式得 )解析：11.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds，求 f(t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(t)连续，故 0 t f(s)sinsds 可导，从而 f(t)可导于是，将题设等式两边求导并在题设等式中令 t=0，可得 )解析：12.设 f(x)连续且 f(x)0，并满足 f(x)= 0 x f(t)dt+2 0 1 tf 2 (t
16、)dt，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 1 tf 2 (t)dt=a，则 f(x)= 0 x f(t)dt+2a，上式两边求导得 f(x)=f(x)，解得 f(x)=Ce x 由题设令 x=0 可得 f(0)=2a，所以 C=2a，从而 f(x)=2ae x 再代入 0 1 tf 2 (t)dt=a，可得 4 0 1 a 2 te 2 dt=a，于是 a= ，所以 )解析：13.求下列微分方程的通解：() y“一 3y=26x； () y“+y=2cosx； () y“+4y+5y=40cos3x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求对应齐次微分方程的
17、通解，因其特征方程为 2 3=( 一 3)=0，故通解为 (x)=C 1 +C 2 e 3x 再求非齐次微分方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0是特征方程的单根，所以特解应具形式 y * (x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 y * (x)“一 3y * (x)=2A一 3(2Ax+B)=一 6Ax+2A 一 3B=26x 比较方程两端的系数，得 )解析：14.求微分方程 y“+2y一 3y=e x +x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：相应的齐次方程为 y“+2y一 3y=0，特征方程为 2 +2 一 3=0，特征根为 1 =1， 2 =一 3，齐次方程的通解为
18、C 1 e x +C 2 e 3x 为求得原方程的特解，分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解： y“+2y一 3y=e x 和 y“+2y一 3y=x 对于第一个方程，=1 是特征根，故设特解 y 1 (x)=Axe x ，将 y 1 * (x)=Ae x (x+1)，y“ 1 * (x)=Ae x (x+2) 代入原方程，比较系数可得 A= e x 对于第二个方程，非齐次项 f(x)=x，0 不是特征根，故设特解 y 2 * (x)=Bx+C，将 y 2 * (x)=B，y“ 2 * =0 代入原方程，比较系数可得 B=一 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为 y=C 1 e x +C 2
19、e 3x + )解析：15.设某商品的需求量 D 和供给量 S 各自对价格 P 的函数为 D(P)= ，S(P)=6P，且 P 是时间 t 的函数，并满足方程 =kD(P)一 s(P)，其中 a，b，k 为正的常数 求：()需求量与供给量相等时的均衡价格 P 3 ；()当 t=0，P=1 时的价格函数 P(t)；() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 D(P)=S(P)，即 ()把 D(P)和 S(P)的表达式代入方程，得 分离变量，并求积分 a 一 6P 3 =kt+C 1 ，从而 a 一 bP 3 = =Ce 3bkt 令t=0，P=1，可确定常数 C=a 一 b， 将其代
20、回并解出 P，于是 () )解析：解析：在方程中代入 D(P)和 S(P)即得 16.设()函数 f(x)在0，+)上连续，且满足 0f(x)e x 一 1； ()平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线y=f(x)和 y=e x 一 1 分别交于点 P 2 和 P 1 ； ()由曲线 y=f(x)与直线 MN 及 x 轴围成的平面图形的面积 S 恒等于线段 P 1 P 2 之长求函数 f(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 61，设动直线 MN 上各点的横坐标为 x，由题设知 S= 0 x f(t)dt， P 1 P 2 =e x 一 1 一 f(x) 于是，函数 f(x
21、)满足方程 0 x f(t)dt=e x 一 1 一 f(x) 由 f(x)及 e x 连续知变上限定积分 0 x f(t)dt 可导，从而 f(x)可导将上述方程两端对 x 求导并令 x=0，得 f(x)=e x f(x)，f(0)=0(与题设一致) 又因 f(0)=0，于是 f(x)是一阶线性方程 y+y=e x 满足初始条件 y(0)=0 的特解解之即得 f(x)= )解析：17.求 y t =te t +2t 2 一 1 的一阶差分（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据差分的性质有 y t =(te t )+2(t 2 )一(1)=t(e t )+e t+1 (t)+2(2t+
22、1) =e t t(e 一 1)+e+4z+2 也可以直接计算差 y t+1 y t )解析：18.求差分方程 y t+1 +7y t =16 满足 y 0 =5 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(t)=16，a=7，利用表中给出的特解形式，应设 y t * =B代入方程可得B=2，于是，方程的通解为 y t =2+C(一 7) t 再由初始条件 y 0 =5，即得 2+C=5，C=3，因此满足条件 y 0 =5 的特解为 y t =2+3(一 7) t )解析：19.求下列微分方程的通解或特解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()属变量可分离的方程，它可以
23、改写为 =sin(lnx)+cos(lnx)+adx 两端求积分，由于sin(lnx)dx=xsin(lnx)一xcos(lnx) dx=xsin(lnx)一cos(lnx)dx， 所以lny=xsin(lnx)+ax+C 1 ，即其通解为 y=Ce xsin(lnx)+ax ，其中 C 是任意常数 ()属齐次微分方程令 y=xu，当 x0 时，原方程可化为 两端求积分，则得 arcsinu=lnx+C，即其通解为 arcsin =lnx+C(其中 C 是任意常数) 当 x0 时，上面的方程变为 =一 lnx+C(其中 C 是任意常数) 所得的通解公式也可以统一为 y=xsin(lnx+C)此
24、处还需注意，在上面作除法的过程中丢掉了两个特解 u=41，即 u=x ()属齐次微分方程，它可改写为 于是，将 u= ，其中 C是任意常数 ()由初始条件 y(1)=0 知可在 x0 上求解，即解方程 y= ，分离变量并求积分，可得 4y+ )解析：20.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求下列微分方程的通解： ()y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是一个典型的一阶线性非齐次微分方程，利用求解公式，可得其通解为 ()本题虽然是一阶线性微分方程，但不是用标准形式给出的为采用积分因子法求解，可先把它化为标准形式，以便得到系数 p(x)求解过程
25、如下： 首先把方程化为标准形式 y+ =e 2lnx =x 2 ，用 x 2 同乘标准形式方程的两端，得(x 2 y)=xsinx，积分可得通解 y= (C+sinx 一 xcosx)，其中 C 为任意常数 ()若将方程改写为 ，则此方程不是线性方程但是，若将方程改写为 则此方程为以 y 为自变量，x 为未知函数的一阶线性方程利用求解公式可得 x= =y 2 (2y 3 y 2 dy+C)=y 2 (y 2 +C)， 即方程的通解为 x=y 4 +Cy 2 ，其中 C 为任意常数 ()将题设方程变形为线性微分方程的标准形式，可得 这是以 z 为未知函数的一阶线性微分方程，利用求解公式可得 于是
26、方程的通解为 y=arctan )解析：22.给出满足下列条件的微分方程： ()方程有通解 y=(C 1 +C 2 x+x 1 )e x ； ()方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解 y 1 =cos2x 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)通解变形为 e x y=C 1 +C 2 x+x 1 ，求导得 e 2 (y+y)=C 2 一 x 2 ， 再求导得方程 e x (y“+2y+y)= e x ()由题设，根据方程解的结构知，方程的通解为 y=C 1 cos2x+C 2 Sin2x 一 xsin2x， 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根2i，且一 xsin2x为其
27、特解进而知原方程为 y“+4y=f(x) )解析：解析：由已知解求原方程，首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征从本题题设观察，所求方程均为二阶常系数线性微分方程在此基础上，或者直接对通解二次求导消去两个任意常数，从而得到方程；或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程23.求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解： ()2y“+y一 y=0； ()y“+8y+16y=0； ()y“一2y+3y=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()特征方程为 2 2 + 一 1=0，特征根为 1 =一 1， 2 = ，所以方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 ，其中 C 1 与 C
28、2 是两个任意常数 ()特征方程为 2 +8+16=0，特征根为 1 = 2 =一 4，所以方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 4x ，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 ()特征方程为 2 一 2+3=0，特征根为 1，2 =1 ，所以方程的通解为 y=e x (C 1 cos )解析：24.()求 y“一 7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对应齐次微分方程的特征方程为 2 一 7+12=0，它有两个互异的实根 1 =3 与 2 =4，所以其通解为 (x)=C 1 e 3x +C 2 e 4x ，其中 C 1 与 C 2
29、 是两个任意常数 由于0 不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式 y * (x)=Ax+B代入方程可得 A= +C 1 e 3x +C 2 e 4x ()由于对应齐次微分方程的特征根为ai，所以其通解为 (x)=C 1 cosax+C 2 sinax求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： 当 ab 时，特解的形式应为Aeosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 A= ，B=0 所以通解为 y(x)= cosbx+C 1 cosax+C 2 sinax，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 当 a=b 时，特解的形式应为 Axeosax+Bxsinax，代入原方程可得 A=0
30、B= 所以原方程的通解为 y(x)= xsinax+C 1 cosax+C 2 sinax，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 ()特征方程是 2 +4+4=0，它有相等二实根 1 = 2 =一 2，所以其对应齐次微分方程的通解为 y(x)=(C 1 +C 2 x)e 2x 非齐次微分方程的特解的形式与 a 是不是特征根有关 若a一 2，则应设特解为 y * (x)=Ae ax ，其中 A 是待定系数代入方程可得 A(a 2 +4a+4)e ax =e ax ， 所以，当 a一 2 时通解为 y(x)=(C 1 +C 2 x)e 2x + ，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 若
31、a=一 2，由于它是重特征根，则应设特解为 y * =Ax 2 e 2x ，其中 A 是待定系数代入方程可得 A(28x+4x 2 )+4(2x 一 2x 2 )+4x 2 e 2x =e 2x ，即 2Ae 2x =e 2x 于是可得出 A= 所以，当 a=一 2 时通解为 y(x)=(C 1 +C 2 x+ x 2 )e 2x (其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数) ()方程的自由项是三次多项式 f(x)=x 3 一 x+2，方程的特征根满足 2 +1=0，从而是共轭复根=i 和 =一 i所以，对应齐次微分方程的通解是 )解析：25.求微分方程 y“+4y+5y=8cosx 的当 x
32、一时为有界函数的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题设方程对应的特征方程为 r 2 +4r+5=0， 特征根为 r=一 2i，从而对应齐次方程 y“+4y+5y=0 的通解为 )解析：26.设 f(x)=sinx+ 0 x e t f(x 一 t)dt，其中 f(x)连续，求满足条件的 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 u=x 一 t，则 0 x e t f(x 一 t)dt=e x 0 x e u f(u)du，故原方程整理后为 e x f(x)=e x sinx+ 0 x e u f(u)du 在方程中令 x=0 得 f(0)=0，再将方程两边对 x 求导，得 e x f(x)一 e x f(x)=e x cosxe x sinx+e x f(x) 化简得一阶线性微分方程 f(x)一2f(x)=cosxs
