1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 119 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB0C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB03.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 Axb 一定有无穷多个解
2、D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m *1134O)4.设矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示B. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示法不唯一C. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法唯一D. 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示不能确定5.设 A，B 是满足 ABO 的任意两个非零阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B
3、的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关6.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解7.与矩阵 A 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 A 为三阶正交阵，且A0，B
4、A4，则EAB T 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 A 是正交矩阵，且A0证明：EA0（分数：2.00）_14.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 1， 2 2 为 A 的两个特征值，B2，求 （分数：2.00）_15.设 是 n 维单位列向量，AE T 证明：r(A)n（分数：2.00）_16.设 A，B 分别为 mn 及 n
5、s 阶矩阵，且 ABO证明：r(A)r(B)n（分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维 向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_18.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B （分数：2.00）_19.问 a，b，c 取何值时，(I)，()为同解方程组? （分数：2.00）_20.设 A 为 n 阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解的充分必要条件 是 A * b0（分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_22.设
6、 A （分数：2.00）_23.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B(A * ) 2 4E 的特征值为 0，5，32 求A 1 的特征值并判断 A 1 是否可对角化（分数：2.00）_24.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_25.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_26.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_27.设二次型 f2x 1 2 2x 2 2 ax 3
7、 3 2x 1 x 2 2b 1 x 3 2x 2 x 3 经过正交变换 XQY 化为标准 形 Fy 1 2 y 2 2 4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 119 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB0 C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB0
8、解析：解析：AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且 r(AB)minr(A)， r(B)，所以 r(AB)minm，n)，故当 mn 时，r(AB)nm，于是AB0，选(B)3.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 Axb 一定有无穷多个解 D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m *1134O)解析：解析：显然由 r(A)mn，得 r(A)4.设矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B( 1 ， 2
9、 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示B. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示法不唯一C. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法唯一 D. 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示不能确定解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，所以 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表 示，又 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经过有限次初等行变换化为 B( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，所以方程组
10、x 1 1 x 2 2 x 3 3 4 与 x 1 1 x 2 2 x 3 3 4 是同解方程组，因为方程组 x 1 1 x 2 2 x 3 3 4 有唯一解，所以方程组 x 1 1 x 2 2 x 3 3 4 有唯一解，即 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，选(C)5.设 A，B 是满足 ABO 的任意两个非零阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解析：设 A，B 分别为 mn 及
11、 ns 矩阵，因为 ABO，所以 r(A)r(B)n，因为 A，B 为 非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故 A 的列向量组线性相关， B 的行向量组线性相关，选(A)6.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解 B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解解析：解析：AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，
12、r(B)， 所以r(AB)m，于是方程组 ABX0 有非零解，选(A)7.与矩阵 A 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩 阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 A 为三阶正交阵，且A0，BA4，则EAB T 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：A0 9.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 r(B * )1，所
13、以 r(B)2，又因为 ABO，所以 r(A)r(B)3，从而 r(A)1， 又r(A)1，r(A)1，于是 t610.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为A * A 2 4，且A0，所以A2，又 AA * AE2E，所以 A 1 A * ，从而 A 1 的特征值为 11.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由EA 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 A 是正交矩阵，且A0证明：EA0（分数：2.00）_正确
14、答案：(正确答案：因为 A 是正交矩阵，所以 A T AE，两边取行列式得A 2 1，因为A0，所以 A1 由EAA T AA(A T E)AAA T EA T E (AE) T EA 得EA0)解析：14.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 1， 2 2 为 A 的两个特征值，B2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3 ，由B 1 2 3 2 得 3 1 AE 的特征值为 2，3，2，(AE) 1 的特征值为 ，则(AE) 1 因为 B 的 特征值为 1，2，1，所以 B * 的特征值为 ，即为 2，1，2，于是B *
15、4， (2B) * 4B * 4 3 B * 256，故 )解析：15.设 是 n 维单位列向量，AE T 证明：r(A)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 (E T )(E T )E2 T T T ，因为 为单位列向量， 所以 T 1，于是 A 2 A由 A(EA)O 得 r(A)r(EA)n，又由 r(A)r(EA)rA(EA)r(E)n，得 r(A)r(EA)n因为 EA T O，所以 r(EA)r( T )r()1，故 r(A)n1n)解析：16.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 ABO证明：r(A)r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令
16、B( 1 ， 2 ， s )，因为 ABO，所以 B 的列向量组 1 ， 2 ， s 为方程组 AX 0 的一组解，而方程组 AX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为nr(A)，所 以向量组 1 ， 2 ， s 的秩不超过 nr(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)r(B)n)解析：17.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维 向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， 2 ， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为
17、 1 ， 2 ， n ， 一定线性 相关，所以 可由 1 ， 2 ， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线 性表示 反之，设任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示， )解析：18.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ABO 得 r(A)r(B)3 且 r(A)1 (1)当 k9 时，因为 r(B)2，所以r(A)1，方程组 AX0 的基础解系含有两个线性无关 的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 k 1 (k 1 ，k 2 为任意常数)； (2)
18、当 k9 时，r(B)1，1r(A)2， 当 r(A)2 时，方程组 AX0 的通解为 C (C 为任意常数)； 当 r(A)1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设a0， 由 A ，得通解为 k 1 )解析：19.问 a，b，c 取何值时，(I)，()为同解方程组? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()的通解为 k (k 为任意常数)， 把()的通解代入()，得 )解析：20.设 A 为 n 阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解的充分必要条件 是 A * b0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解，则 r(A)
19、n，从而A0， 于是 A * bA * AXAX0 反之，设 A * b0，因为 b0，所以方程组 A * X0 有非零解，从而 r(A * )n，又 A 11 0，所以 r(A * )1，且 r(A)n1 因为 r(A * )1，所以方程组 A * X0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量，而 A * A0，所以 A 的列向量组 1 ， 2 ， n 为方程组A * X0 的一组解向量 由 A 11 0，得 2 ， n 线性无关，所以 2 ， n 是方程组 A * X0 的基础解系 因为 A * b0，所以 b 可由 2 ， n 线性表示，也可由 1 ， 2 ， n 线性表示，故 r(A
20、) )解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X(X 1 ，X 2 ，X 3 )，B( 1 ， 2 ， 3 )，方程组 AXB 等价于 则 AXB 有解的充分必要条件是 r(A)r(A B)， AX 1 1 的通解为 X 1 k 1 AX 2 2 的通解为 X 2 k 2 AX 3 3 的通解为 X 3 k 3 则 X(X 1 ，X 2 ，X 3 ) )解析：22.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1 2 1， 3 4 1因为 A 有四个 线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 r(EA)r 于是a0，
21、b0 当 1 时，由(EA)X0 得 1 ， 当 1 时，由(EA)X0 得 3 ， )解析：23.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B(A * ) 2 4E 的特征值为 0，5，32 求A 1 的特征值并判断 A 1 是否可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B(A * ) 2 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以 (A * ) 2 的三个特征值为 4，9，36，于是 A * 的三个特征值为 2，3，6 又因为A * 36A 31 ，所以A6 得 1 3， 2 2， 3 1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒
22、数，所以 A 1 的特征值为 )解析：24.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且AB 因为AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P 1 APB， 而 A * AA 1 ，B * BB 1 ， 于是由 P 1 APB，得(P 1 AP) 1 B 1 ，即 P 1 A 1 PB 1 ， 故 P 1 AA 1 PAB 1 或 P 1 A * PB * ，于是 A * B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P 1
23、 APB，即 APPB， 于是 APPBPP 1 P(BP)P 1 ，故 APBP)解析：25.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 0 为 A，B 公共的特征值，A 的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 AX0 的非零解； B 的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 BX0 的非零解， 因为 r(A)r(B)n，所以方程组 )解析：26.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_正确答案：(正
24、确答案：首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)n，对任意的 X0， X T (A T A)X(AX) T (AX)，令 AX，因为 r(A)n，所以 0，所以 (AX) T (AX) T 2 0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型，A T A 为正定矩阵，所 以 A T A 的特征值全大于零)解析：27.设二次型 f2x 1 2 2x 2 2 ax 3 3 2x 1 x 2 2b 1 x 3 2x 2 x 3 经过正交变换 XQY 化为标准 形 Fy 1 2 y 2 2 4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f2x 1 2 2x 2 2 ax 3 2 2x 1 x 2 2bx 1 x 3 2x 2 x 3 的矩阵形式为 fX T AX 其中 A ，因为 Q T AQB ，所以 AB(因为正交矩阵 的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4 而EA 3 (a4) 2 (4ab 2 2)(3a2b2b 2 2)，所以有 3 (a4) 2 (4ab 2 2)(3a2b2b 2 2)(1) 2 (4)， 解得 a2，b1当 1 2 1 时，由(EA)X0 得 1 由 3 4 时，由(4EA)X0 得 3 显然 1 ， 2 ， 3 两两正交，单位化为 )解析：
