1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 130 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E3.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关C. 1
2、 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关4.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.A T A 可逆的充分必要条件是 r(A)=n5.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2B. 1 + 2 为 AX=b 的解C.方程组 AX=0 的通解为 k( 1 2 )D.AX=b 的通解为 k 1
3、 1 +k 2 2 + 6.与矩阵 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且EA=E2A=E3A=0，则B 1 +2E= 1.（分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 A 是正交矩阵，
4、且A0证明：E+A=0（分数：2.00）_14.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，求 （分数：2.00）_15.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T （分数：2.00）_16.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：2.00）_17.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 （分数：6.00）(1).求方程组()的基础解系；（分
5、数：2.00）_(2).求方程组()BX=0 的基础解系；（分数：2.00）_(3).()与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解（分数：2.00）_18.证明：r(A)=r(A T A)（分数：2.00）_设矩阵 （分数：4.00）(1).若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P T A 2 P 为对角矩阵（分数：2.00）_设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.
6、00）_(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_19.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_20.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_21.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 130 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（
7、分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E 解析：解析：因为 A 2 =A，所以 A(EA)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(EA)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(EA)=0，A=E，选 D3.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关 C. 1 ， 2 ， 4 线性
8、无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关解析：解析：若 1 ， 2 ， 3 线性无关，因为 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，矛盾，故 1 ， 2 ， 3 线性相关，选 B4.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.A T A 可逆的充分必要条件是 r(A)=n 解析：解析：若 A T A 可逆，则 r(A T A)=n，因为 r(A T A)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为r(
9、A T A)=r(A)，所以 A T A 可逆，选 D5.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2B. 1 + 2 为 AX=b 的解C.方程组 AX=0 的通解为 k( 1 2 ) D.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 + 解析：解析：因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为 A * O，所以 r(A)=n1， 2 1 ，为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选 C6.与矩阵 相似的矩阵为( ) （分
10、数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项 D 中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选 D7.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解析：显然 A，B 都是实对称矩阵，由EA=0，得 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =9，由EB=0，得 B 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =3，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选 C二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 A，B 都
11、是三阶矩阵，A 相似于 B，且EA=E2A=E3A=0，则B 1 +2E= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：因为EA=E2A=E3A=0，所以 A 的三个特征值为 ，1 又 AB，所以B 的特征值为 9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：BA=O=r(A)+r(B)3，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 BO，所以 r(B)=110.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为A * =A 2 =4，且A0，所以A=2，又 AA * =A E=2E，所以 A 1
12、11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由EA= 三、解答题(总题数：13，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设 A 是正交矩阵，且A0证明：E+A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正交矩阵，所以 A T A=E，两边取行列式得 A 2 =1，因为A0，所以A=1由E+A=A T A+A =(A T +E)A=AA T +E=A T +E =(A+E) T =E+A得E+A=0)解析：14.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，
13、求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 1 ，由B= 1 2 3 =2 得 3 =1A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) 1 的特征值为 因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B * 的特征值为 即为 2，1，2，于是B * =4，(2B) * =4B * =4 3 B * =256，故 )解析：15.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，令 )解析：16.设
14、 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A=( 1 ， 2 ， n )，A T A= r(A)=r(A T A)向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(A T A)=n 或A T A0，从而 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 )解析：17.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =a+(n1)b(ab) n1 (1)当 ab，a(1n)b 时，方程组只有零解； (2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为 x 1 +x
15、2 +x n =0，其通解为 X=k 1 (1，1，0，0) T +k 2 (1，0，1，0) T + n1 (1，0，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k n 为任意常数)； (3)令 )解析：设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 （分数：6.00）(1).求方程组()的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组()的基础解系为 )解析：(2).求方程组()BX=0 的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(B)=2所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解向量， )解析：(3).()与()是否有公共的非零
16、解?若有公共解求出其公共解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组(I)的通解为 k 1 1 +k 2 2 = 方程组()的通解为 )解析：18.证明：r(A)=r(A T A)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只需证明 AX=0 与 A T AX=0 为同解方程组即可 若 AX 0 =0，则 A T AX 0 =0 反之，若 A T AX 0 =0，则 X 0 T A T AX 0 =0=(AX 0 ) T (AX 0 )=0=AX 0 =0，所以 AX=0 与 A T AX=0 为同解方程组，从而 r(A)=r(A T A)解析：设矩阵 （分数：4.00）(1).若 A 有
17、一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E 一 A=( 2 1) 2 (a+2)+2a1，把 =3 代入上式得 a=2，于是 )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P T A 2 P 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由AEA 2 =0 得 A 2 的特征值为 1 = 2 = 3 =1， 4 =9 当 =1时，由(EA 2 )X=0 得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，1，1) T ； 当 =9 时，由(9EA 2 )X=0 得 4 =(0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得
18、1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 将 4 规范化得 令 P=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= )解析：设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 + 2 + 3 0， 由 A( 1 + 2 + 3 )=2( 1 + 2 + 3 )，得 A 的一个特征值为 1 =2； 又由 A( 1 2 )=( 1 2 )，A( 2
19、 3 )=( 2 3 )，得 A 的另一个特征值为 1 =1 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 2 与 2 3 也线性无关，所以 2 =1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，1，1.)解析：(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 2 ， 2 3 为属于二重特征值1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：19.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A
20、，B 的特征值相同且A=B 因为AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B， 而 A * =AA 1 ，B * =B B 1 ， 于是由 P 1 AP=B，得(P 1 AP) 1 =B 1 ，即 P 1 A 1 P=B 1 ， 故 P 1 A A 1 P=A B 1 或 P 1 A * P=B，于是 A * B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P 1 AP=B，即 AP=PB， 于是 AP=PBPP 1 =P(BP)P 1 ，故 APBP)解析：20.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 正定，所以
21、 A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即 A+B 为对称矩阵对任意的 X0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 X T AX0，X T BX0，因此 X T (A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵)解析：21.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，所以 B T AB 为对称矩阵，设 B T AB是正定矩阵，则对任意的 X0， X T B T ABX=(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 反之，设 r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为A 为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)0， 所以 B T AB 为正定矩阵)解析：
