1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 134 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 （分数：2.00）A.30mB.一 15mC.6mD.一 6m3.设 A 是 n 阶矩阵，则A * A=（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) * =（分数：2.00）A.2 n A * B.2 n1 A * C.D.5.设 A 是 m 阶矩，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，若 C= （分数：2.00）A.一 3abB.3 m ab
2、C.(一 1) mn 3 m abD.(一 1) (m+1)n 3 m ab6.x=一 2 是 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件7.设 n 维行向量 =( （分数：2.00）A.0B.EC.一 ED.E+ T 8.设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA * B.A m A p =A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(A 一 E)=(AE)(A+E)9.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =（分数：2.0
3、0）A.A+BB.A -1 +B -1 C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -1 10.设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB=0B.AB0C.AB=0 A=0 或B=0D.AB0 A0 且B011. （分数：2.00）A.AP 1 P 2 B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 二、填空题(总题数：17，分数：34.00)12.若 （分数：2.00）填空项 1:_13.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 ， 1 ， 2 ， 3 都是 4 维向量，且A=， 1 ，
4、 2 ， 3 =4，B=，2 1 ，3 2 ， 3 =21，则A+B= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 D n = （分数：2.00）填空项 1:_17.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_20.设矩阵 A= ，B=A 2 +5A+6E，则( （分数：2.00）填空项 1:_21.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 2A+E=0，则(A+2E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_22.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_23.若 A -1 = （分数：2.00）
5、填空项 1:_24.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_25.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_26.设 A 2 一 BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_27.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_28.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：4，分数：8.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_30.若行列式的某个元素 a ij 加 1，则行列式的值增加 A ij （分数：2.00）_31.若行列式的第 j 列的每
6、个元素都加 1，则行列式的值增加 （分数：2.00）_32.若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 134 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 （分数：2.00）A.30mB.一 15mC.6mD.一 6m 解析：解析：3.设 A 是 n 阶矩阵，则A * A=（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为A * 是一个数，由kA=k n A及A * =A n1
7、 有 A * A=A * n A=(A) n A= 4.设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) * =（分数：2.00）A.2 n A * B.2 n1 A * C. D.解析：解析：(2A) * =2A n1 =(2 n A) n1 =2 n A n1 =2n(n1)A * 或利用(kA) * =k n1 A * ，那么 (2A) * =2 n1 A * =(2 n1 ) n A * = 5.设 A 是 m 阶矩，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，若 C= （分数：2.00）A.一 3abB.3 m abC.(一 1) mn 3 m abD.(一 1) (m+1)n 3 m ab 解析：解析
8、：用性质有 C= 6.x=一 2 是 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：对于范德蒙行列式 D=7.设 n 维行向量 =( （分数：2.00）A.0B.E C.一 ED.E+ T 解析：解析：AB=(E 一 T )(E+2 T )=E+2 T 一 T 一 2 T T =E+ T 一2 T ( T ) 注意 T = 8.设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA * B.A m A p =A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(A 一 E)=(AE)(A+E)解析
9、：解析：因为 AA * =A * A=AE， A m A p =A p A m =A m+p ， (A+E)(AE)=(AE)(A 十 E)=A 2 一 E， 所以(A)、(B)、(D)均正确 AA T = 9.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1 C.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1 解析：解析：(A -1 +B -1 ) -1 =(EA -1 +B -1 )=(B -1 BA -1 +B -1 ) -1 =B -1 (BA -1 +AA -1 ) -1 =B -
10、1 (B+A)A -1 -1 =(A -1 ) -1 (B+A) -1 (B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B 故应选 C10.设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB=0B.AB0C.AB=0 A=0 或B=0 D.AB0 A0 且B0解析：解析：A= 0，但 AB=0，所以 A，B 均不正确 又如 A=11. （分数：2.00）A.AP 1 P 2 B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 解析：解析：把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列然后第 1，3 两列互换可得到矩阵 B， 表示矩阵 A 的第 2 列加军第 1 列即
11、AP 1 ，故应在(A)、(B)中选择而 P 3 = 二、填空题(总题数：17，分数：34.00)12.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：按代数余子式定义 A 12 =(一 1) 1+2 =一(5x 一 4)=一 1 x=1 故 A 21 =(一 1) 2+1 13.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)=1，所以A=0或作矩阵乘法 A=14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：用kA=k
12、 n A及A -1 = ，可知一 2A -1 =(一 2) 3 A -1 =一 8 15.设 ， 1 ， 2 ， 3 都是 4 维向量，且A=， 1 ， 2 ， 3 =4，B=，2 1 ，3 2 ， 3 =21，则A+B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：600）解析：解析：因 A+B=(+，3 1 ，4 2 ，2 3 )，故 A+B=+，3 1 ，4 2 ，2 3 =24， 1 ， 2 ， 3 +24， 1 ， 2 ， 3 =24A+24B=60016.已知 D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： =a n D n1 +
13、(一 1) 2n1 (一 1) 17.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：18.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：用定义A 11 =一 3，A 12 =6，A 13 =一 3，A 21 =6，A 22 =一 12，A 23 =6，A 31 =一 3，A 32 =6， A 33 =一 3，故 A * = 19.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.设矩阵 A= ，B=A 2 +5A+6E，则( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）
14、解析：解析：因 B=(A+2E)(A+3E)，又( B) -1 =5B -1 ，故 21.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 2A+E=0，则(A+2E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(4E 一 A)）解析：解析：由(A+2E)(A 一 4E)+9E=A 2 2A+E=0 有 (A+2E) (4EA)=E 所以 (A+2E) -1 = 22.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.若 A -1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(kA) * =k n1 A
15、* ，故(3A) * =3 2 A * ，又 A * =AA -1 ， 24.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=4 或 x=一 5）解析：解析：A 不可逆A=0而25.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：由 AB 一 2A 一 B+2E=2E，有 A(B 一 2E)一(B 一 2E)=2E，则 (AE)(B 一 2E)=2E 于是A一 EE 一 2E=2E=8，而A 一 E=26.设 A 2 一 BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （
16、正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 BA=A 2 一 E，又 A 可逆，则有 B=(A 2 一 E)A -1 =AA -1 故 27.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 XAX=A T 有 X(AE)=A T ，因为 A 可逆，知 X 与 AE 均可逆 故 X=A T (AE) -1 = 28.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘 A 并把 AA * =AE 代入得 AX=E+2AX， 移项得 (AE 一 2A)X=E故X=(AE 一 2A) -1 由A=4 知
17、 X=(4E 一 2A) -1 = 三、解答题(总题数：4，分数：8.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：30.若行列式的某个元素 a ij 加 1，则行列式的值增加 A ij （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对修改后的行列式第 j 列为(a 1j ，a ij +1，a nj ) T =(a 1j ，a ij ，a nj ) T +(0，1，0) T ，对它分解(性质)，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的值为 A ij )解析：31.若行列式的第 j 列的每个元素都加 1，则行列式的值增加 （分数：2.00）_正确答案：(正
18、确答案：对修改后的行列式第 j 列为(a 1j +1，a ij +1，a nj +1) T =(a 1j ，a ij ，a nj ) T +(1，1，1) T ，对它分解(性质)，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的第 j 列元素都是 1，增加量就是它的值，等于 )解析：32.若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设原来行列式的列向量依次为 1 ， 2 ， s ，记 =(1，1，1) T 则改变后的行列式为 1 +， 2 +， s +对它分解(用性质，先分解第 1 列，分为 2 个行列式，它们都对第 2 列分解，成 4 个行列式，)分为 2 n 个行列式之和，这些行列式的第 j 列或为 ，或为 ，考虑到当有两列为 时值为 0，除去它们， 1 +， 2 +， s +是 n+1 个行列式之和，它们是：恰有 1 列为 ，而其它各列都不是(这样的有 n 个)，还有一个是 1 ， 2 ， s 即原来行列式于是 1 +， 2 +， s + 1 ， 2 ， s = 1 ， j +， n = )解析：
