1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 141 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 与 B 的秩( )（分数：2.00）A.必有一个为零B.均小于 nC.一个小于 n，一个等于 nD.均等于 n3.设有向量组 1 =(1，1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)则该向量组的极大无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ，
2、 2 ， 3B. 1 ， 2 ， 4C. 1 ， 2 ， 5D. 1 ， 2 ， 4 ， 54.设 1 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ， 2 =(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ， 3 =(c 1 ，c 2 ，c 3 ) T 则 3条平面直线 a 1 x+b 1 y+c 1 =0，a 2 x+b 2 y+c 2 =0，a 3 x+b 3 y+c 3 =0(其中 a i 2 +b i 2 0，i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=秩 r( 1 ， 2
3、)D. 1 ， 2 ， 3 线性相关，而 1 ， 2 线性无关二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_7.设矩阵 B= （分数：2.00）填空项 1:_8.若向量组 1 =(1，1，) T ， 2 =(1，1) T ， 3 =(，1，1) T 线性相关，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 1 ， 2 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值，x 1 为对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1 x 1 x 1 T 有两个特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：1
4、6，分数：38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设行列式 （分数：2.00）_12.设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= （分数：2.00）_设 n 阶方阵 A、B 满足 A+B=AB（分数：4.00）(1).证明：AE 为可逆矩阵；（分数：2.00）_(2).当 B= （分数：2.00）_13.已知 3 阶方阵 A=(a ij ) 33 的第 1 行元素为：a 11 =1，a 12 =2，a 13 =1(A * ) T （分数：2.00）_14.设向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关，且()可由()： 1 ， 2 ， s 线性表示证明
5、：在()中至少存在一个向量 j ，使得向量组 j ， 2 ， r 线性无关（分数：2.00）_15.若齐次线性方程组 Ax=0 的解都是齐次线性方程组 Bx=0 的解，则有 r(A)r(B)（分数：2.00）_已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)（分数：4.00）(1).a、b 为何值时， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：2.00）_(2).a、b 为何值时， 可表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?并写出该表示式（分数：2.00）_16.设矩阵
6、 A、B 的行数都是 m，证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A （分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， k (kn)是 R n 中 k 个线性无关的列向量证明：存在 n 阶满秩方阵 P，使得 P 以 1 ， 2 ， k 为其前 k 列（分数：2.00）_设矩阵 A= 与矩阵 B= （分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_(2).求一个可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B（分数：2.00）_18.设 A= （分数：2.00）_19.设矩阵 A= （分数：2.00）_20.求一个正交变换，化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1
7、2 +4x 2 2 +4x 3 2 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 成标准形（分数：2.00）_21.设 1 、 n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 、 n 的特征向量，记 f(X)=X T AXX T X，XR n ，X0 证明： 1 f(X) n ，maxf(X)= n =f(X n )，minf(X)= 1 =f(X 1 )（分数：2.00）_设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明：（分数：4.00）(1).存在实数 c，使对一切 xR n ，有|x T Ax|cx T x（分数：2.00）_(2).必可找到一个数 a，
8、使 A+aE 为对称正定矩阵（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 141 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 与 B 的秩( )（分数：2.00）A.必有一个为零B.均小于 n C.一个小于 n，一个等于 nD.均等于 n解析：解析：因 AO，BO，故 r(A)1，r(B)1又 AB=O 3.设有向量组 1 =(1，1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，1
9、4)， 4 =(1，2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)则该向量组的极大无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 2 ， 4 C. 1 ， 2 ， 5D. 1 ， 2 ， 4 ， 5解析：解析：由下列矩阵的初等行变换：A= 1 T 5 T 4.设 1 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ， 2 =(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ， 3 =(c 1 ，c 2 ，c 3 ) T 则 3条平面直线 a 1 x+b 1 y+c 1 =0，a 2 x+b 2 y+c 2 =0，a 3 x+b 3 y+c 3 =0(其中 a i 2 +b i 2 0，i=1，2
10、，3)交于一点的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=秩 r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关，而 1 ， 2 线性无关 解析：解析：题设 3 条直线交于一点 联立线性方程组 x 1 +y 2 + 3 =0 有唯一解(x，y) T 由该非齐次线性方程组有唯一解 ( 1 ， 2 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=2 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a n +(1) n+1 +b n ）解析：6.设 A=
11、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：在条件下必有|A|=0(否则|A|0，则 A 可逆，用 A 1 左乘 AB=O 两端，得 B=O，这与 BO矛盾)， 7.设矩阵 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由条件知存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B， P 1 (A2E)P=P 1 AP2E=B2E，即A2E 与 B2E 相似，故有 r(A2E)=r(B2E) 同理得 r(AE)=r(BE) 8.若向量组 1 =(1，1，) T ， 2 =(1，1) T ， 3 =(，1，1) T 线性相关，则 = 1（分数：2.
12、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 或2）解析：解析：由行列式| 1 2 3 |=(1) 2 (+2)=0， 9.设 1 ， 2 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值，x 1 为对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1 x 1 x 1 T 有两个特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0， 2 ）解析：解析：Bx 1 =Ax 1 1 x 1 (x 1 T x 1 )= 1 x 1 1 x 1 =0=0x 1 ，设 x 2 是 A 属于 2 的特征向量，则 Bx 2 =Ax 2 1 x 1 (x 1 T x 2 )=Ax 2 1 x 1 0
13、=Ax 2 = 2 x 2 ，故 B 有特征值0 和 2 三、解答题(总题数：16，分数：38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.设行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 的第 1 列的 1000 倍、第 2 列的 100 倍、第 3 列的 10 倍都加到第 4 列，则所得行列式第 4 列每个元素都有公因子 13)解析：12.设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=(A2E) 1 A )解析：设 n 阶方阵 A、B 满足 A+B=AB（分数：4.00）(1).证明：AE 为可逆
14、矩阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ABBA=O， (AE)B(AE)=E， )解析：(2).当 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=E+(B+E) 1 )解析：13.已知 3 阶方阵 A=(a ij ) 33 的第 1 行元素为：a 11 =1，a 12 =2，a 13 =1(A * ) T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(A * ) T 知 A 11 =7，A 12 =5，A 13 =4， |A|=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 =1，又由 AA * =|A|E=E， A=(A * ) 1 )解析：14.设向量组
15、()： 1 ， 2 ， r 线性无关，且()可由()： 1 ， 2 ， s 线性表示证明：在()中至少存在一个向量 j ，使得向量组 j ， 2 ， r 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用反证法否则对()中每个向量 j ，向量组 j ， 2 ， r 都线性相关 j 可由 2 ， r 线性表出 ()可由 2 ， r 线性表出 ()可由 2 ， r 线性表出 )解析：15.若齐次线性方程组 Ax=0 的解都是齐次线性方程组 Bx=0 的解，则有 r(A)r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设方程组 Ax=0 及 Bx=0 都是 n 元方程组，则由题设条件有 nr(A
16、)nr(B)，所以有 r(A)r(B)解析：已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)（分数：4.00）(1).a、b 为何值时， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=1 且 b0)解析：(2).a、b 为何值时， 可表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?并写出该表示式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a1 时， 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 唯一地线性表示为：= )解析：16.设矩阵 A、B 的行数都
17、是 m，证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 B、X 按列分块分别为 B=b 1 b 2 b p X=x 1 x 2 x p ，则 AX=B， Ax 1 Ax 2 Ax p =b 1 b 2 b p Ax j =b j (j=1，2，p)，故 AX=B 有解 Ax j =b j (j=1，2，p)有解，故由非齐次线性方程组 Ax j =b j 有解的充要条件可知，AX=B 有解 r(A)=r(A b j )(j=1，2，p) r(A)=rA b 1 b 2 b p =rA )解析：17.设 1 ， 2 ， k (kn)是
18、 R n 中 k 个线性无关的列向量证明：存在 n 阶满秩方阵 P，使得 P 以 1 ， 2 ， k 为其前 k 列（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取齐次线性方程组 的基础解系 1 ， nk ，则可证明 1 ， k ， 1 ， nk 线性无关： 设 1 1 + k k + 1 1 + nk nk =0，两端左乘( 1 1 + k k ) T ，并利用 i T j =0(i=1，k；j=1，nk)，得( 1 1 + k k ) T ( 1 1 + k k )=0，即 1 1 + k k =0， 1 1 + k k =0，而 1 ， k 线性无关， 1 = k =0， 1 1 + nk
19、nk =0，又 1 ， nk 线性无关， )解析：设矩阵 A= 与矩阵 B= （分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 2，2，b，由 2+2+b=1+4+a，22b=|A|=6(a1)， )解析：(2).求一个可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|EA| =(+1) 2 (1)一 0，得 A 的全部特征值为 1 = 2 =1， 3 =1故 A 可对角化 A 的属于 2 重特征值 1 = 2 =1 的线性无关特征向量有 2 个
20、 方程组(EA)X=0 的基础解系含 2 个向量 3r(EA)=2 r(EA) =0当k=0 时，可求出 A 的对应于特征值1，1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T ； 3 =(1，0，1) T ，故得 )解析：19.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B+2E )解析：20.求一个正交变换，化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 成标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 1 、 n 分
21、别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 、 n 的特征向量，记 f(X)=X T AXX T X，XR n ，X0 证明： 1 f(X) n ，maxf(X)= n =f(X n )，minf(X)= 1 =f(X 1 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：存在正交变换 X=PY(P 为正交矩阵，Y=(y 1 ，y 2 ，y n ) T )，使得 X T AX )解析：设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明：（分数：4.00）(1).存在实数 c，使对一切 xR n ，有|x T Ax|cx T x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的特征值为 1 ， 2 ， n 令 c=max| 1 |，| 2 |，| n |，则有正交变换 x=Py， 使 x T Ax= i y i 2 ，且 y T y=x T x， 故|x T Ax|=| i y i 2 |c )解析：(2).必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(A+aE) T =A+aE，所以 A+aE 对称又若 A 的特征值为 1 ， n 则A+aE 的全部特征值为 1 +a， n +a，若取 a=max| 1 |+1，| n |+1)，则 i +a i +| i |+11，所以 A+aE 正定)解析：
