1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 144 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 BC 为( )（分数：2.00）A.EB.EC.AD.A3.n 维向量组 1 ， 2 ， m (3mn)线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.存在不全为 0 的数 k 1 ，k 2 ，k m ，使 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0B. 1 ， 2 ， m 中任意
2、两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， m 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出D. 1 ， 2 ， m 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出4.设 A、B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A、B 均为 mn 矩阵现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(
3、B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.6.与矩阵 D= 相似的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 4 阶矩阵 A= 1 1 2 3 ，B= 2 1 2 3 ，其中 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设
4、 A 为 n 阶非零方阵，且|A|=0，则|A * |= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A=(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知向量组 1 =(1，2，3，4)， 2 =(2，3，4，5)， 3 =(3，4，5，6)， 4 =(4，5，6，7)，则该向量组的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n1，则线性方程组 Ax=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分
5、数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.已知矩阵 （分数：2.00）_15.设向量组 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(1，3，5，1) T ， 3 =(3，2，1，a+2) T 4 =(2，6，10，a) T (1)a 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出； (2)a 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组（分数：2.00）_16.设齐次线性方程组 A mn x=0 的解全是方程 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解，其中
6、x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 证明：向量 b=(b 1 ，b 2 ，b n )可由 A 的行向量组线性表出（分数：2.00）_17.设 mn 矩阵 A 的秩为 r，且 rn，已知向量 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解试证：方程组Ax=b 存在 nr+1 个线性无关的解，而且这 nr+1 个解可以线性表示方程组 Ax=b 的任一解（分数：2.00）_18.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 1 =(0，1，1) T ，求矩阵 A（分数：2.00）_已知 = （分数：4.00）(1).试求 a，b 的值及 所对应的特征值；
7、（分数：2.00）_(2).问 A 能否相似于对角矩阵?说明理由（分数：2.00）_某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 16 熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 25 成为熟练工设第n 年一月份统计的熟练工和非熟工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2).验证 1 = （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_19.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，0，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，若 B=A 2 2A+3E，试求 B
8、 1 的特征值和特征向量（分数：2.00）_20.设 A 为 n 阶方阵，秩(A)=rn，且满足 A 2 =2A，证明：A 必相似于对角矩阵（分数：2.00）_21.设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明：A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_22.设 1 、 n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 、 n 的特征向量，记 f(X)=X T AXX T X，XR n ，X0 二次型 f(X)=X T AX 在 X T X=1 条件下的最大(小)值等于实对称矩阵 A 的最大(小)特征值 求三元函数 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )
9、=3x 1 2 +2x 2 2 +3x 3 2 +2x 1 x 3 在 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 =1 条件下的最大及最小值，并求最大值点及最小值点（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 144 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.0
10、0)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 BC 为( )（分数：2.00）A.E B.EC.AD.A解析：解析：由 B=E+AB (EA)B=E EA=B 1 由 C=A+CA C(EA)=A CB 1 =A 3.n 维向量组 1 ， 2 ， m (3mn)线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.存在不全为 0 的数 k 1 ，k 2 ，k m ，使 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0B. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量都线
11、性无关C. 1 ， 2 ， m 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出D. 1 ， 2 ， m 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 解析：4.设 A、B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解析：由 AB=O 知 B 的每一列都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量，又由 BO 知 B 至少有一列非零，故方程组 Ax=0 有非零解，因此 A 的列向量组线
12、性相关同理由 B T A T =(AB) T =O 知 B T 的列向量组一一即 B 的行向量组线性相关5.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A、B 均为 mn 矩阵现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：6.与矩阵 D= 相似的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：A 与对角矩阵 D=
13、diag(1，1，2)相似甘 A 的特征值为 1，1，2，且对应于特征值 1 的线性无关特征向量有两个，后一条件即 3r(EA)=2，或 r(EA)=1，经检验，只有 C 符合上述条件二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-28）解析：解析：可直接计算，亦可利用展开法则，得所求值等于行列式8.设 4 阶矩阵 A= 1 1 2 3 ，B= 2 1 2 3 ，其中 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
14、确答案：40）解析：解析：|A+B|=| 1 + 2 2 1 2 2 2 3 |=8(| 1 1 2 3 |+| 2 1 2 3 |) =8(|A|+|B|)=8(4+1)=409.设 A 为 n 阶非零方阵，且|A|=0，则|A * |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：必有|A * |=0，否则|A * |0，则 A * 可逆，用(A * ) 1 右乘 AA * =|A|E=O 两端，得A=O，这与 AO 矛盾10.设 A=(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1（分数：2
15、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 又 A 1 =A T ，故方程组Ax=b 的解为 x=A 1 b=A T b 11.已知向量组 1 =(1，2，3，4)， 2 =(2，3，4，5)， 3 =(3，4，5，6)， 4 =(4，5，6，7)，则该向量组的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 12.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n1，则线性方程组 Ax=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，1，1) T (
16、k 为任意常数)）解析：解析：因基础解系含 nr(A)=n(n1)=1 个向量，故 Ax=0 的任一非零解都可作为 Ax=0 的基础解系，由条件 三、解答题(总题数：13，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(AB)X(AB)=E X=(AB) 1 (AB) 1 )解析：15.设向量组 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(1，3，5，1) T ， 3 =(3，2，1，a+2) T 4 =(2，6，10，a) T (1)a 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10)
17、T 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出； (2)a 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵 A= 1 2 3 4 作初等行变换，化为阶梯形： (1)当a2 时，矩阵 A= 1 2 3 4 的秩为 4，即向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关此时设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =，解得(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=(2， )，即有 )解析：16.设齐次线性方程组 A mn x=0 的解全是方程 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解，其中 x=(x
18、1 ，x 2 ，x n ) T 证明：向量 b=(b 1 ，b 2 ，b n )可由 A 的行向量组线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知方程组 Ax=0 与方程组 x=0 同解，故有 r(A)=r ，因此 A 的极大无关行向量组也是 )解析：17.设 mn 矩阵 A 的秩为 r，且 rn，已知向量 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解试证：方程组Ax=b 存在 nr+1 个线性无关的解，而且这 nr+1 个解可以线性表示方程组 Ax=b 的任一解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由秩(A)=rn，知方程组 Ax=0 的基础解系含 nr 个向量，设 Ax=0 的基
19、础解系为： 1 ， 2 ， nr ，则可证明：向量 ， 1 +， nr +，是满足题意的 nr+1 个向量)解析：18.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 1 =(0，1，1) T ，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的属于特征值 2 = 3 =1 的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 1 T =x 2 +x 3 =0解得其基础解系为 2 =(1，0，0) T ， 3 =(0，1，1) T ，于是得 A 的标准正交的特征向量 e 1 = 1 1 = (0，1，1) T ，e 2 = 2 ，
20、e 3 = 3 3 = (0，1，1) T ，故得正交矩阵 使得 P 1 AP=P T AP )解析：已知 = （分数：4.00）(1).试求 a，b 的值及 所对应的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(EA)=0 )解析：(2).问 A 能否相似于对角矩阵?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 = 2 = 3 = 3 =1，对应的线性无关特征向量却只有 1个，故 A 不能相似于对角矩阵)解析：某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 16 熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至
21、年终考核有 25 成为熟练工设第n 年一月份统计的熟练工和非熟工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).验证 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 =1， 2 =12)解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P= 1 2 )解析：19.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，0，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，若 B=A 2 2A+3E，试求 B 1 的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=(A 2 2A+3E) 1 =A 2
22、 1 2A 1 +3 1 = 1 2 1 2 1 1 +3 1 =( 1 2 2 1 +3) 1 =2 1 ，类似可得 B 2 =6 2 ，B 3 =3 3 ，故 B 的特征值为2，6，3，对应的线性无关特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，得 B 1 的特征值为12，16，13，对应的特征向量分别为 k 1 1 ，k 2 2 ，k 3 3 (k i 为任意非零常数，i=1，2，3)解析：20.设 A 为 n 阶方阵，秩(A)=rn，且满足 A 2 =2A，证明：A 必相似于对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由秩(A)=rn，知方程组 Ax=0 的基础解系含 nr 个向量： 1
23、 ， 2 ， nr 因此， 1 ， 2 ， nr ，就是 A 的对应于特征值 0 的 nr 个线性无关的特征向量设 A 按列分块为 A= 1 2 n ，则题设条件 AA=2A 就是A 1 A 2 A n =2 1 2 2 2 n ，由 A j =2 j ，知 A 的列向量组的极大无关组 就是 A 的对应于特征值 2 的 r个线性无关特征向量再由特征值的性质，知 1 ， nr ， )解析：21.设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明：A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1 因 A 正定，有正交阵 P，使 P 1 AP=P T AP 其中 i 0(i=1
24、，2，n) 故 P 1 (A+E)P=P 1 AP+E )解析：22.设 1 、 n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 、 n 的特征向量，记 f(X)=X T AXX T X，XR n ，X0 二次型 f(X)=X T AX 在 X T X=1 条件下的最大(小)值等于实对称矩阵 A 的最大(小)特征值 求三元函数 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=3x 1 2 +2x 2 2 +3x 3 2 +2x 1 x 3 在 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 =1 条件下的最大及最小值，并求最大值点及最小值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答
25、案： =(2) 2 (4)=0， 1 = 2 =2， 3 =4对于 1 = 2 =2，由 2EA 得对应的特征向量为(0，1，0) T ，(1，0，1) T ，单位特征向量为(0，1，0) T ， (1，0，1) T ；对于 3 =4，由 4EA 得对应的特征向量(1，0，1) T ，单位特征向量为 (1，0，1) T 知 minf=f( )=f(0，1，0)=2，maxf=f( )解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_
26、正确答案：(正确答案：由条件知，A 的特征值为 1，1，0，且 =(1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量设 A 的属于特征值 1 的特征向量为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x，得 x 1 +x 3 =0，取 A 的属于特征值 1 的两个正交的单位特征向量为 (1，0，1) T 、(0，1，0) T 得正交矩阵 则有 Q T AQ=diag(1，1，0)， 故 A=Qdiag(1，1，0)Q T )解析：(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+E 的特征值为 2，2，1 都大于零，且 A+E 为实对称矩阵，所以 A+E 为正定矩阵)解析：
