1、考研数学二-112 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 M= （分数：4.00）A.B.C.D.2.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是_（分数：4.00）A.B.C.D.3.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量y= 其中 a 是比x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)=_（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的_（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C
2、.必要条件但非充分条件D.既非充分条件又非必要条件5.设向量组： 1， 2， r可由向量组： 1， 2， s线性表示，则_（分数：4.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时向量组必线性相关6.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 行加第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C记P= （分数：4.00）A.B.C.D.7.当 x0 时，变量 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 1， 2， s均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是_（分数：4.00）A.若 1，
3、 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性相关B.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性无关C.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性相关D.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性无关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设矩阵 A= （分数：4.00）填空项 1:_13.设 为 3 维列向量， T是 的转置，若 T= （分数：4.00）填空项 1:_14.设方程 （分数：4.00）填空项 1:_三
4、、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_16.设 （分数：9.00）_17.求 （分数：11.00）_18.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：11.00）_19.设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z=f 满足等式(1)验证 f“(u)+ （分数：10.00）_20.设有二元函数计算二重积分 （分数：11.00）_21. 取何值时，方程组 （分数：11.00）_22.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T是线性方程组Ax=0 的两个解(1)求 A 的特征值与特征向量(2)求正交矩阵
5、 Q 和对角矩阵 ，使得 QTAQ=（分数：11.00）_23.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 u|t=0=v0已知阻力与速度成正比(比例常数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：11.00）_考研数学二-112 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 M= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 定积分性质解题分析 M，N，P 均为对称区间上的积分，自然想到利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质详解 根据奇、偶函数在对称区间上定积分的性质，知*因此有 PMN，故应选 D评注 1 这里没有必要花费
6、时间去计算 P 和 N 的具体值，只需确定其符号即可评注 2 一般地，当 f(x)为奇函数时，*当 f(x)为偶函数时，*2.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 可微的充分条件和必要条件解题分析 选项 A 相当于已知 f(x，y)在点(0，0)处连续选项 B 相当于已知两个一阶偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)存在，因此 A，B 均不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微选项 D 相当于已知两个一阶偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏导数 fx(x，y)，fy(x，y)在点(0，
7、0)处连续，因此也不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微对于选项 C，若*则*即 fx(0，0)=0同理有 fy(0，0)=0从而有*根据可微的定义，知函数 f(x，y)在(0，0)处可微故应选 C3.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量y= 其中 a 是比x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)=_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 导数定义、微分方程解题分析 由题设，*且“是比x（x0)高阶的无穷小，从而*即*此为可分离变量的微分方程，则*两边积分，得ln|y|=arctanx+C由已知 y(0)=，代入上式解得 C=ln，于是 y=e arctan
8、x，因此 y(1)=*选 A4.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的_（分数：4.00）A.充分必要条件 B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件又非必要条件解析：考点提示 分段函数求导数解题分析 F(x)的表达式中含有绝对值，其本质上是一分段函数，因此在分段点 x=0 处的导数应按定义通过左、右两侧来进行分析详解 因为*可见，F(0)存在*故应选 A评注 1 含有绝对值的函数，一般来说应当作分段函数看待，因此其在一点的极限、连续和导数问题均应按定义通过左、右两侧来进行分析讨论评注 2 在分段点的导
9、数一般用结论：f(x 0)=A*f-(x0)=f+(x0)=A5.设向量组： 1， 2， r可由向量组： 1， 2， s线性表示，则_（分数：4.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时向量组必线性相关 解析：考点提示 线性相关解题分析 由题设，由于向量组可由向量组线性表示，则必有向量组的秩向量组的秩，同时向量组的秩s，因此当 sr 时，向量组的秩r，则向量组必线性相关，所以选 D6.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 行加第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C记P= （分数：
10、4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 初等矩阵的计算解题分析 依题意，用初等矩阵描述有：*已知 P=*，所以 C=PAP-1故选 B7.当 x0 时，变量 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 函数的极限解题分析 若取 xk=*0(k)则*=(k) 2sink=0；而取*，则*可见当 x0 时，*的极限不存在，也非无穷大，故应选 D8.设 1， 2， s均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是_（分数：4.00）A.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性相关 B.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性无关C.若 1，
11、2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性相关D.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性无关解析：考点提示 向量组的线性相关性解题分析 用秩的方法判断线性相关性因为(A 1，A 2，A s)=A( 1， 2， s)，所以 r(A 1，A 2，A S)r( 1， 2， s)又因为若 1， 2， s线性相关，则有 r( 1， 2， s)s，从而 r(A 1，A 2，A s)s所以 A 1，A 2，A s线性相关故选 A二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：考点提示 函数求极限解题分析 注意*详解*10.设
12、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 复合函数求导数解题分析 利用复合函数求导数即可详解*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 定积分计算解题分析 被积函数中含有根式，先令*=t，去掉根号，再积分也可用凑微分法详解 1 令*则 x=1-t2，dx=-2tdt，当 x=0 时 t=1，当 x=1 时 t=0，于是*详解 2*评注 形如*的积分，一般先作变量代换*后再进行计算12.设矩阵 A= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 矩阵运算、行列式解题分析 由题设，A=*，则|A|=30，从而由公式 AA
13、*=A*A=|A|E，知 A*=|A|A-1=3A-1，则|A *|=333-1=9将 ABA*=2BA*+E 变形为(A-2E)BA *=E，则|A-2E|B|A *|=|E|，其中*所以|B|=*13.设 为 3 维列向量， T是 的转置，若 T= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：考点提示 矩阵的运算解题分析 由题设， T是矩阵，而 T 是一个常数且有( T)( T)=( T) T，因此*所以 T=314.设方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：考点提示 线性非齐次代数方程组解题分析 由题设，原方程组的系数矩阵为 A=*，增广矩阵为 B=*
14、又原方程组有无穷多解之充要条件是 r(A)=r(B)且 r(A)3由此知|A|=0，即*=0，可解得 a=1 或-2当 a=1 时，对 B 施行行初等变换，得*，得 r(A)=1，r(B)=2，无解当 a=-2 时，同样对 B 施行行初等变换，得*，显然 r(A)=r(B)=23，因此 a=-2三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_正确答案：(本题为 型未定式，利用无穷小时的等价代换以及洛必达法则求解即可)解析：考点提示 利用等价无穷小求极限16.设 （分数：9.00）_正确答案：(由参数方程求导法知)解析：考点提示 参数方程求导数评注 本题考查参数方程的求导
15、，属常考题型此类题可以利用公式：*或*17.求 （分数：11.00）_正确答案：(先将三角函数幂降低，再用分部积分法)解析：考点提示 分部积分法的运用评注 被积函数中含有正弦函数或余弦函数的偶次方时，一般应先用倍角公式降幂，然后再进行相关计算18.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：11.00）_正确答案：(设 f(x)= ，则 f(x)在(0，+)内连续，且令 f(x)=0，解得 f(x)在(0，+)内的唯一驻点 x= ，且为极大值点，极大值为又且 y=f(x)的图像在(0， )区间内凹可见，当 k= 以及 k0 时，曲线 y=f(x)与直线 y=k 且仅有一个交点，即方程 kx+ )解析
16、：考点提示 一般说来，方程 f(x)=g(x)有解 x0，等价于相应的曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(x 0，y 0)处相交，其中 y0=f(x0)=g(x0)注意到当 x0 时，方程*同解可设 f(x)=*，g(x)=k，于是方程kx+*=1 在(0，+)内有且仅有一个解，亦即曲线 y=f(x)与直线 y=k 在右半平面(x0)内有且仅有一个交点若曲线 y=f(x)的值域一旦确定，则 k 的取值范围自然也十分明确了评注 也可令 f(x)=kx+*-1，并讨论在 k 取何值时函数在 x0 时只有一个零点19.设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z=f 满足等式(1)验证 f
17、“(u)+ （分数：10.00）_正确答案：(用复合函数求导法验证令则+得(2) 因为 f“(u)+ =0(已证)，所以uf“(u)+f(u)=0，即uf(u)=0积分得 uf(u)=C 1由 f(1)=1 C1=1，于是 f(u)= 再积分得f(u)=lnu+C2由 f(1)=0 )解析：考点提示 二阶偏导数的计算20.设有二元函数计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：(设区域 D1=(x，y)|x|+|y|1，D 2=(x，y)1|x|+|y|2，则)解析：考点提示 二重积分的计算21. 取何值时，方程组 （分数：11.00）_正确答案：(由题设，先将增广矩阵用初等行变换化为阶梯形
18、，即当 =- 时，原方程组无解；当 且 1 时，原方程组有唯一解；当 =1 时，原方程组有无穷多解，此时方程组增广矩阵为)解析：考点提示 线性非齐次代数方程组22.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T是线性方程组Ax=0 的两个解(1)求 A 的特征值与特征向量(2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ，使得 QTAQ=（分数：11.00）_正确答案：(1) 依题意，因为所以矩阵 A 的特征值是 3，=(1，1，1，) T是 A 属于 3 的特征向量又因为 A 1=0=0 1，A 2=0=0 2，所以 1， 2是矩阵 A 属于 =0
19、 的特征向量所以矩阵 A 的特征值是 3，0，0，且 =0 的特征向量为：k1(-1，2，-1) T+k2(0，-1，1) T(k1，k 2是不全为 0 的常数)，=3 的特征向量为 k(1，1，1) T(k0 为常数)(2) 因为 1， 2不正交，故要作 Schmidt 正交化： 1= 1=(-1，2，-1) T，单位化：)解析：考点提示 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、对角矩阵23.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 u|t=0=v0已知阻力与速度成正比(比例常数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：11.00）_正确答案：(设质点的运动速度为 v(t)由牛顿第二定律得阻力即有 解此方程得 v(t)=v0e-t所以，从 t=0 到 t=ln3 该质点所经过的路程为)解析：考点提示 先由牛顿第二定律建立 v(t)所满足的微分方程，再由题设条件确定时间 t，对 v 积分可得路程评注 本题主要考查导数与积分的物理意义在物理上，物体运动速度或加速度可用导数来表示，物体在一段时间内所经过的路程可用定积分来表示
