1、考研数学二-118 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：18.00)1.在齐次线性方程组 A mn x=0 中，若秩(A)=k 且， 1 2 ， r 是它的一个基础解系，则 r= 1；当 k= 2 时，此方程组只有零解 （分数：2.00）2.若 n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 r，则当 1 时，方程组有唯一解；当 2 时，方程组有无穷多解 （分数：2.00）3.齐次线性方程组 （分数：2.00）4.设 A 为四阶方阵，且秩(A)=2，则齐次线性方程组 A * x=0(A * 是 A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为
2、1 （分数：2.00）5.设 （分数：2.00）6.设 1 ， 2 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，若 C 1 1 +C 2 2 +C s s 也是Ax=b 的一个解，则 C 1 +C 2 +C s = 1 （分数：2.00）7.方程组 Ax=0 以 1 =(1，0，2) T ， 2 =(0，1，-1) T 为其基础解系，则该方程的系数矩阵为 1 （分数：2.00）8.设 Ax=b，其中 （分数：2.00）9.设 A，B 为三阶方阵，其中 （分数：2.00）二、选择题(总题数：3，分数：6.00)10.要使 1 =(1，0，1) T ， 2 =(-2，0，1) T 都是线性方程组
3、Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 1 ， 2 ， 3 是 Ax=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表成_（分数：2.00）A.1，2，3 的一个等价向量组B.1，2，3 的一个等秩向量组C.1，2+1，1+2+3D.1-2，2-3，3-112.n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是_ A.任一行向量都是非零向量 B.任一列向量都是非零向量 C.Ax=b 有解 D.当 x0 时，Ax0，其中 x=(x1，x 2，x n)T（分数：2.00）A.B.C.D.三、计算证明题(总题数：16，分数：76.00)求解下列线性方程组：（
4、分数：8.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_13.求方程组 （分数：4.00）_14.设有线性方程组 （分数：4.00）_15.问 为何值时，线性方程组 （分数：4.00）_16.问 a 为何值时，线性方程组 （分数：4.00）_17.已知 1 =(1，2，0)， 2 =(1，a+2，-3a)， 3 =(-1，b+2，a+2b)及 =(1，3，-3) a，b 为何值时， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 的线性组合 a，b 为何值时， 有 1 ， 2 ， 3 的唯一的线性表示，并写出该表示式 （分数：4.00）_18.知方程组 （分数：4.00）_已知下列非齐次线
5、性方程组()、() （分数：8.00）(1).求解方程组()，用其导出组的基础解系表示通解；（分数：4.00）_(2).当方程组()中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()与()同解.（分数：4.00）_19.设 A 是 mn 矩阵，R 为 mn 矩阵，x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，B 为 nm 矩阵，求证：若 B 可逆且 BA 的行向量都是方程组Rx=0 的解，则 A 的每个行向量也都是该方程组的解 （分数：4.00）_20.A 为 mn 矩阵，秩为 m；B 为 n(n-m)矩阵，秩为 n-m；又知 AB=O， 是满足条件 A=0 的一个 n 维列向量证明：存在唯一的一个 n
6、-m 维列向导量 使得 =B （分数：4.00）_21.矩阵 A mn ，证明：Ax=b 有解的充要条件是 A T Z=0，则 b T Z=0 （分数：4.00）_22.设 A 是 n 阶矩阵，且 AO证明：存在一个 n 阶非零矩阵 B使 AB=O 的充分必要条件是|A|=0 （分数：4.00）_23.设 A 是 mn 矩阵，若对任意的 n 维向量 x，都有 Ax=0，则 A=O （分数：4.00）_24.设 （分数：4.00）_25.设 （分数：4.00）_设 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同解(A 是 mn 矩阵)， 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的一个非零解，证明：
7、（分数：8.00）(1).向量组 1 ， 1 - 2 线性无关；（分数：4.00）_(2).若 r(A)=n-1，则向量组 ， 1 ， 2 线性相关（分数：4.00）_考研数学二-118 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：18.00)1.在齐次线性方程组 A mn x=0 中，若秩(A)=k 且， 1 2 ， r 是它的一个基础解系，则 r= 1；当 k= 2 时，此方程组只有零解 （分数：2.00）解析：n-k，n；2.若 n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 r，则当 1 时，方程组有唯一解；当 2 时，方程组有无穷多解 （分数：2.00
8、）解析：r=n，rn；3.齐次线性方程组 （分数：2.00）解析：4.设 A 为四阶方阵，且秩(A)=2，则齐次线性方程组 A * x=0(A * 是 A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 1 （分数：2.00）解析：4；5.设 （分数：2.00）解析：k(1，1，1) T ，k 为任意常数；6.设 1 ， 2 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，若 C 1 1 +C 2 2 +C s s 也是Ax=b 的一个解，则 C 1 +C 2 +C s = 1 （分数：2.00）解析：1；7.方程组 Ax=0 以 1 =(1，0，2) T ， 2 =(0，1，-1) T 为
9、其基础解系，则该方程的系数矩阵为 1 （分数：2.00）解析：-2，1，1，注：答案不唯一；8.设 Ax=b，其中 （分数：2.00）解析：9.设 A，B 为三阶方阵，其中 （分数：2.00）解析：k=-2二、选择题(总题数：3，分数：6.00)10.要使 1 =(1，0，1) T ， 2 =(-2，0，1) T 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：11.设 1 ， 2 ， 3 是 Ax=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表成_（分数：2.00）A.1，2，3 的一个等价向量组B.1，2，3 的一个等秩向量组
10、C.1，2+1，1+2+3 D.1-2，2-3，3-1解析：12.n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是_ A.任一行向量都是非零向量 B.任一列向量都是非零向量 C.Ax=b 有解 D.当 x0 时，Ax0，其中 x=(x1，x 2，x n)T（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：三、计算证明题(总题数：16，分数：76.00)求解下列线性方程组：（分数：8.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 系数矩阵 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：系数矩阵 所以基础解系含解向量个数为 2 齐次方程组 令 x 2 =1，x 5 =0，得(-3，1，0，0，0)
11、T ， 令 x 2 =0，x 5 =1，得(3，0，0，2，1) T 对于非齐次方程组 令 x 2 =x 5 =0，得 x 4 =-4，x 1 =-5 得到特解：(-5，0，0，0，-4，0) T 于是，原方程组的通解为： 13.求方程组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将条件方程与原方程组构成的增广矩阵记为 增广矩阵 可得到条件方程与原方程组兼容，即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解 r(A)=r( )=2，方程组有解齐次方程组的基础解系含解向量的个数为 4-r(A)=2； 齐次方程 令 x 2 =0，x 4 =1 得 x 1 =-4， 令 x 2 =1，x 4 =0 得
12、x 1 =-9，x 3 =7， 基础解系为： 非齐次方程： 令 x 3 =0，x 4 =0 得 x 1 =1，x 2 =-2， 得到特解：(1，-2，0，0) T 所以全部解为： 14.设有线性方程组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 m-1 时，r(A)=r(A)=3，方程组有唯一解； 当 m=-1 时，k1 时，r(A)r( )，方程组无解； 当 m=-1 时，k=1 时，r(A)=r( )=23，方程组有无穷多解此时基础解系含解向量个数为 3-r(A)=1 齐次方程组： 所以 x 2 =0 取 x 3 =1，得 x 1 =-1基础解系为(-1，0，1) T 非齐次方程组：
13、所以 取 x 3 =0，得 非齐次方程特解为 所以通解为： 15.问 为何值时，线性方程组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当-+1=0，即 =1 时，r(A)=( )=23，方程组有无穷多解此时基础解系含解向量个数为 3-r(A)=1 齐次方程组： 取 x 3 =1，得 x 2 =2，x 1 =-1基础解系为：(-1，2，1) T 非齐次方程组： 取 x 3 =0，得 x 1 =1，x 2 =-1非齐次方程特解为：(1，-1，0) T 于是，通解为： 16.问 a 为何值时，线性方程组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 a=1 时，r(A)=r( )=35，方程组有
14、无穷多解此时基础解系含解向量个数为 5-r(A)=2 齐次方程组： 令 x 4 =1，x 5 =0，得 x 3 =-1，x 2 =1，x 1 =-1得到：(-1，1，-1，1，0) T 令 x 4 =0，x 5 =1，得 x 3 =0，x 2 =1，x 1 =-2得到：(-2，1，0，0，1) T 于是基础解系为：(-1，1，-1，1，0) T ，(-2，1，0，0，1) T 非齐次方程组： 令 x 4 =x 5 =0，得 x 1 =1，x 2 =-1，x 3 =1非齐次方程特解为：(1，-1，1，0，0) T 于是，通解为： 17.已知 1 =(1，2，0)， 2 =(1，a+2，-3a)，
15、 3 =(-1，b+2，a+2b)及 =(1，3，-3) a，b 为何值时， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 的线性组合 a，b 为何值时， 有 1 ， 2 ， 3 的唯一的线性表示，并写出该表示式 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 假设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，求解方程组，求 x 1 ，x 2 ，x 3 增广矩阵 a=0，b 任意，r(A)r( )，方程组无解，即 不能表示成 1 ， 2 ， 3 的线性组合； a0，a+5b+120 时，r(A)=3=r( )，方程组有唯一解，即 能表示成 1 ， 2 ， 3 的线性组合，且表示法唯一此时得方程组 解得：x 3
16、=0， ，表示式为： 18.知方程组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 依题意：在第二个方程组中求一组特解令 x 3 =1，解得 x 4 =-1，x 2 =1，x 1 =0将该组特解代入第一个方程组中得：a=1，b=4，c=4已知下列非齐次线性方程组()、() （分数：8.00）(1).求解方程组()，用其导出组的基础解系表示通解；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由第一个方程组： 增广矩阵 r(A)=r( )=3，齐次方程基础解系所含解向量个数为：4-r(A)=1 齐次方程组： 令 x 4 =1，解得 x 3 =2，x 2 =1，x 1 =1 基础解系为：(1，1，2，1
17、) T 非齐次方程组： 令 x 4 =0，解得 x 3 =-5，x 2 =-4，x 1 =-2 非齐次方程组的特解为：(-2，-4，-5，0) T 所以第一个方程组的通解为： (2).当方程组()中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()与()同解.（分数：4.00）_正确答案：()解析：19.设 A 是 mn 矩阵，R 为 mn 矩阵，x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，B 为 nm 矩阵，求证：若 B 可逆且 BA 的行向量都是方程组Rx=0 的解，则 A 的每个行向量也都是该方程组的解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 其中 i (i=1，2，m)为 A 的行向量
18、因为 BA 的行向量都是方程组 Rx=0 的解，所以 所以 20.A 为 mn 矩阵，秩为 m；B 为 n(n-m)矩阵，秩为 n-m；又知 AB=O， 是满足条件 A=0 的一个 n 维列向量证明：存在唯一的一个 n-m 维列向导量 使得 =B （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 r(A)=m，所以方程组 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 n-r(A)=n-m 假设 B=( 1 ， 2 ， n-m ) n(n-m) 为 n(n-m)矩阵且 r(B)=n-m其中， i 为 的列向量(i=1，2，n-m) 因为 AB=0，所以(A 1 ，A 2 ，A n-m )=0，即 B
19、的列向量都是 Ax=0 的解又因为 r(B)=n-m，所以 1 ， 2 ， n-m 为 Ax=0 的基础解系 所以满足 A=0 的任意向量都是 1 ， 2 ， n-m 的唯一线性组合，即存在唯一的一组数 k 1 ，k 2 ，k n-m ，使 =k 1 1 +k 2 2 +k n-m n-m 令 =(k 1 ，k 2 ，k n-m )，则 21.矩阵 A mn ，证明：Ax=b 有解的充要条件是 A T Z=0，则 b T Z=0 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 必要性： 考查 Ax=b (1) ATz=0 (2) b T z=0 (3) 即要证明：若(1)有解，则(2)的解必为(3
20、)的解 假设 x 为(1)的解，则 Ax=b取转置，得 X T A T =b T 又设 z 为(2)的解，即 A T z=0则 b T z=x T A T z=x T 0=0所以 z 为(3)的解 充分性： 假充 Ax=b 的系数矩阵为 A，增广矩阵为 考查：IA T x=0 因为 A T Z=0，则 b T Z=0，所以()和()为同解方程组，所以 22.设 A 是 n 阶矩阵，且 AO证明：存在一个 n 阶非零矩阵 B使 AB=O 的充分必要条件是|A|=0 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 充分性： 设|A|=0，则方程组 Ax=0 有非零解 X=(b 1 ，b 2 ，b n
21、)构成矩阵 23.设 A 是 mn 矩阵，若对任意的 n 维向量 x，都有 Ax=0，则 A=O （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 A=( 1 ， 2 ， n )，其中 i 为 A 的列向量(i=1，2，n)取 i =(0，1，0) T (i=1，2，n)，只有第 i 个分量为 1，其余全为 0则 24.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 得到 1-a+c-1=0，a=c 增广矩阵 于是 r(A)=r( )=2，基础解系所含解向量个数为 4-r(A)=2 齐次方程： 令 x 3 =1，x 4 =0，解得 x 2 =-3，x 1 =1，解向量为(1，-3，1，0) T
22、令 x 3 =0，x 4 =2，解得 x 2 =-2，x 1 =-1，解向量为(-1，-2，0，2) T 所以通解为 于是，基础解系为：(1，-3，1，0) T ，(-1，-2，0，2) T ，又有特解 =(1，-1，1，-1) T 当 时， 增广矩阵 于是 r(A)=r( )=3，所以基础解系所含解向量个数为：4-r(A)=1 齐次方程 令 x 4 =2，解得 x 3 =-1，x 2 =1，x 1 =-2，解向量为：(-2，1，-1，2) T ， 即基础解为：(-2，1，-1，2) T 又有特解 =(1，-1，1，-1) T ， 所以通解为： 25.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析
23、：解 当 a=-2 时，对于 B 的任一列向量，都有 r(A)=r( 设 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同解(A 是 mn 矩阵)， 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的一个非零解，证明：（分数：8.00）(1).向量组 1 ， 1 - 2 线性无关；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 A 1 =b，A 2 =b， 1 2 ，由定理知 1 - 2 是齐次方程 Ax=0 的非零解 假设 1 ， 1 - 2 线性相关，即存在不全为 0 的实数 k 1 ，k 2 使得 k 1 1 +k 2 1 - 2 =0， 则(k 1 +k 2 ) 1 -k 2 2 =0，方程两边同乘以
24、 A 则 A(k 1 +k 2 ) 1 -k 2 2 =0 (k 1 +k 2 )A 1 -k 2 A 2 =0，A 1 =A 2 =b， 所以(k 1 +k 2 -k 2 )b=0，即 k 1 b=0 因为 b0，所以 k 1 =0，于是 k 2 ( 1 - 2 )=0 因为 1 2 ，所以 k 2 =0向量组 1 ， 1 - 2 线性无关(2).若 r(A)=n-1，则向量组 ， 1 ， 2 线性相关（分数：4.00）_正确答案：()解析：因为 r(A)=n-1，则方程组 Ax=0 的基础解系含解向量个数为 n-(n-1)=1， 1 - 2 都是 Ax=0的解，所以 ， 1 - 2 线性相关即存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 +k 2 ( 1 - 2 )=0， k 1 +k 2 1 -k 2 2 =0， 故 ， 1 ， 2 线性相关
