1、考研数学二-119 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：15.00)1.设 A 是 n 阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，|A|=5，则方阵 B=AA * 的特征值是 1，特征向量是 2 （分数：3.00）2.三阶方阵 A 的特征值为 1，-1，2，则 B=2A 3 -3A 2 的特征值为 1 （分数：3.00）3.设 （分数：3.00）4.已知矩阵 （分数：3.00）5.设 A，B 为 n 阶方阵，且|A|0，则 AB 和 BA 相似，这是因为存在可逆矩阵 P= 1，使得 P -1 ABP=BA （分数：3.00）二、选择题(总题数：6，分数
2、：18.00)6.零为矩阵 A 的特征值是 A 为不可逆的_（分数：3.00）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分也非必要条件7.设 1 与 2 是矩阵 A 的两个不相同的特征值， 是 A 的分别属于 1 ， 2 的特征向量，则_（分数：3.00）A.对任意 k10，k20，k1+k2 都是 A 的特征向量B.存在常数 k10，k20，使 k1+k2 是 A 的特征向量C.当 k10，k20 时，k1+k2 不可能是 A 的特征向量D.存在唯一的一组常数 k10，k20，使 k1+k2 是 A 的特征向量8.设 0 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0 E-A)x=0
3、 的基础解系为 1 与 2 则 A的属于 0 的全部特征向量是_（分数：3.00）A.1 和 2B.1 或 2C.C11+C22(C1，C2 为任意常数)D.C11+C22(C1，C2 为不全为零的任意常数)9.设 1 ， 2 为 A 的两个不相同的特征值， 与 为 A 的分别属于 1 与 2 的特征向量，则有 与 是_（分数：3.00）A.线性相关B.线性无关C.对应分量成比例D.可能有零向量10.与 n 阶单位矩阵 E 相似的矩阵是_（分数：3.00）A.数量矩阵 kE(k1)B.对角矩阵 D(主对角元素不为 1)C.单位矩阵 ED.任意 n 阶矩阵 A11.A，B 是 n 阶方阵，且 A
4、B，则_ A.A，B 的特征矩阵相同 B.A，B 的特征方程相同 C.A，B 相似于同一个对角阵 D.存在正交矩阵 T，便得 T-1AT=B（分数：3.00）A.B.C.D.三、计算证明题(总题数：12，分数：67.00)12.设 =1 是矩阵 （分数：5.50）_13.求 n 阶矩阵 （分数：5.50）_14.假定 n 阶矩阵 A 的任意一行中，n 个元素的和都是 a，试证 =a 是 A 的特征值，且(1，1，1) T 是对应于 =a 的特征向量，又问此时 A -1 的每行元素之和为多少? （分数：5.50）_15.设 A，B 均是 n 阶矩阵，且秩 r(A)+r(B)n，证明：A，B 有公
5、共的特征向量 （分数：5.50）_16.设三阶矩阵 A 满足 A i =i i (i=1，2，3)，其中列向量 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，试求矩阵 A （分数：5.50）_17.设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：5.50）_18.设矩阵 （分数：5.50）_19.设 n 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，n，试求|2A+E| （分数：5.50）_20.判断矩阵 （分数：5.50）_21.设 （分数：5.50）_22.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟
6、工补齐新、老非熟练工经过培训及实践，至年终考核有 成为熟练工，设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 ()求 的关系式并写成矩阵形式 ()验证 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； ()当 （分数：6.50）_23.设 1 ， 2 是方阵 A 的特征根， 1 2 ， 1 ， r 是 A 的对应于 1 的线性无关的特征向量， 1 ， s 是 A 的对应于 2 的线性无关的特征向量，证明 1 ， r ， 1 ， s 线性无关 （分数：5.50）_考研数学二-119 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总
7、题数：5，分数：15.00)1.设 A 是 n 阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，|A|=5，则方阵 B=AA * 的特征值是 1，特征向量是 2 （分数：3.00）解析：5(n 重)，任意 n 维非零向量；2.三阶方阵 A 的特征值为 1，-1，2，则 B=2A 3 -3A 2 的特征值为 1 （分数：3.00）解析：-1，-5，4；3.设 （分数：3.00）解析：2，1(二重)；4.已知矩阵 （分数：3.00）解析：0，1；5.设 A，B 为 n 阶方阵，且|A|0，则 AB 和 BA 相似，这是因为存在可逆矩阵 P= 1，使得 P -1 ABP=BA （分数：3.00）解析：A二、选择
8、题(总题数：6，分数：18.00)6.零为矩阵 A 的特征值是 A 为不可逆的_（分数：3.00）A.充分条件B.必要条件C.充要条件 D.非充分也非必要条件解析：7.设 1 与 2 是矩阵 A 的两个不相同的特征值， 是 A 的分别属于 1 ， 2 的特征向量，则_（分数：3.00）A.对任意 k10，k20，k1+k2 都是 A 的特征向量B.存在常数 k10，k20，使 k1+k2 是 A 的特征向量C.当 k10，k20 时，k1+k2 不可能是 A 的特征向量 D.存在唯一的一组常数 k10，k20，使 k1+k2 是 A 的特征向量解析：8.设 0 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且
9、齐次线性方程组( 0 E-A)x=0 的基础解系为 1 与 2 则 A的属于 0 的全部特征向量是_（分数：3.00）A.1 和 2B.1 或 2C.C11+C22(C1，C2 为任意常数)D.C11+C22(C1，C2 为不全为零的任意常数) 解析：9.设 1 ， 2 为 A 的两个不相同的特征值， 与 为 A 的分别属于 1 与 2 的特征向量，则有 与 是_（分数：3.00）A.线性相关B.线性无关 C.对应分量成比例D.可能有零向量解析：10.与 n 阶单位矩阵 E 相似的矩阵是_（分数：3.00）A.数量矩阵 kE(k1)B.对角矩阵 D(主对角元素不为 1)C.单位矩阵 E D.任
10、意 n 阶矩阵 A解析：11.A，B 是 n 阶方阵，且 AB，则_ A.A，B 的特征矩阵相同 B.A，B 的特征方程相同 C.A，B 相似于同一个对角阵 D.存在正交矩阵 T，便得 T-1AT=B（分数：3.00）A.B. C.D.解析：三、计算证明题(总题数：12，分数：67.00)12.设 =1 是矩阵 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 =1 时，-4t+4t=0，所以 t 为任意实数 当 =1，t0 时， 所以 r(A-E)=2，即方程组(A-E)x=0 基础解系所含解向量个数为 3-r(A-E)=3-2=1 相应的方程组为 令 x 3 =1，得 x 2 =2则基础解系
11、为 则 =1 的全部特征向量为 当 =1，t=0 时， 所以 r(A-E)=2，即方程组(A-E)x=0 基础解系所含解向量个数为 3-r(A-E)=3-2=1 相应的方程组为 令 x 3 =1，得 x 2 =2则基础解系为 则 =1 的全部特征向量为 13.求 n 阶矩阵 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 依题意得： 则 所以方程组(A-E)x=Ax=0 的基础解系所含解向量个数为 n-(n-1)=1 相应的方程组为 令 x 1 =1，得基础解系为(1，0，0) T 于是 =0 的全部特征向量为 14.假定 n 阶矩阵 A 的任意一行中，n 个元素的和都是 a，试证 =a 是 A
12、的特征值，且(1，1，1) T 是对应于 =a 的特征向量，又问此时 A -1 的每行元素之和为多少? （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 假设 依题意得： 若 =a 是 A 的特征值，且(1，1，1) T 是其对应的特征向量，则 所以 =a 为 A 的特征值，对应的特征向量为(1，1，1) T 因为 A 可逆，所以 A -1 的特征值为 ，对应的特征向量也是(1，1，1) T 即 所以 A -1 的每行和为 15.设 A，B 均是 n 阶矩阵，且秩 r(A)+r(B)n，证明：A，B 有公共的特征向量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 考查方程组16.设三阶矩阵 A 满足
13、A i =i i (i=1，2，3)，其中列向量 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，试求矩阵 A （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令 通过初等变换求出 P -1 ， 所以 由题知 A 的特征值为 1，2，3 17.设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为 A 相似于 B，所以|A|=|B|，即 -x=y，又相似矩阵有相同的迹，即 tr(A)=tr(B)，所以 x=y+2 求得 x=1，y=-1 由 B 的表达式知：A 的二个特征值为 =-l，=1(二重) 当 =-1 时， 所以方程组
14、(A+E)x=0 的基础解系所含解向量的个数为：3-r(A+E)=1 相应的方程组为 于是，得特征向量为： 当 =1(二重)时，(A-E)x=0，即 ，r(A+E)=1， 方程组(A+E)x=0 的基础解系所含解向量的个数为 3-r(A+E)=2 相应的方程组为 x 1 +x 2 -x 3 =0令 x 1 =1，x 2 =0，得 x 3 =1； 令 x 1 =0，x 2 =1，得 x 3 =1 于是二个线性无关的特征向量为 所以矩阵 18.设矩阵 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 解得 1 =k 2 ， 2 =(k+2) 2 (二重)要使 B 可对角化，只须验证当 2 =(k+2)
15、2 ，(B-E)x=0 有两个不同的解向量即可 当 =(k+2) 2 时，(k+1) 2 +1-=k 2 +2k+1+1-k 2 -4k-4=-2k-2， r(B-E)=1，所以方程组(B-E)x=0 的基础解系所含解向量的个数为 3-r(B-E)=2所以 B 可以对角化即 B 相似于对角矩阵： 19.设 n 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，n，试求|2A+E| （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为 A 的特征值为 1，2，n，所以 2A+E 的特征值为 2i+1(i=1，2，n)所以20.判断矩阵 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 下面求可逆矩阵 U 当 1 =-2 时
16、， 于是 r(A-E)=2，基础解系所含解向量的个数为 3-r(A-E)=1 相应的方程组为 令 x 3 =2，解得 x 2 =2，x 1 =1， 则 =-2 的特征向量为 当 2 =1 时， 于是 r(A-E)=2，基础解系所含解向量的个数为 3-r(A-E)=1 相应的方程组为 令 x 3 =2，解得 x 2 =-1，x 1 =-2， 则 =1 的特征向量为 当 3 =4 时， 于是 r(A-E)=2，基础解系所含解向量的个数为：3-r(A-E)=1 相应的方程组为 令 x 3 =1，解得 x 2 =-2，x 1 =2， 则 =4 的特征向量为 又由1知，A 可对角化 所以 21.设 （分
17、数：5.50）_正确答案：()解析：解 1 =1， 2 =2， 3 =-1，A 有三个不同的特征值，即 A 可以对角化，下求可逆 U，使得 ( 为对角阵) 当 1 =1 时， r(A-E)=2，基础解系所含解向量的个数为 3-r(A-E)=1 相应的方程组为： 令 x 3 =1，解得 x 2 =0，x 1 =-1， 则 =1 的特征向量为： 当 2 =2 时， 于是 r(A-E)=2，基础解系所含解向量的个数为 3-r(A-E)=1 相应的方程组为 令 x 3 =1，解得 则 =2 的特征向量为： 当 =-1 时， 于是 r(A-E)=2，基础解系所含解向量的个数为 3-r(A-E)=1 相应
18、的方程组为 令 x 3 =1，解得 x 2 =0，x 1 =0， 则 =-1 的特征向量为 令 下求 U 的逆矩阵 U -1 所以 所以 22.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟工补齐新、老非熟练工经过培训及实践，至年终考核有 成为熟练工，设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 ()求 的关系式并写成矩阵形式 ()验证 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； ()当 （分数：6.50）_正确答案：()解析：解 ()由题设可得以下递推关系： 第 n 年一月份
19、统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，熟练工的 ，即 支援其他生产部门，缺额招收新的非熟练工，所以总的非熟练工为 到第 n+1 年，其中的 成为熟练工， 还是非熟练工所以得到 ()若 是 A 的两个线性无关的特征向量，且设 A 的两个特征值分别为 1 ， 2 ，即有 是 A 的特征向量，相应的特征值为 1 =1； 所以 是 A 的特征向量，相应的特征值为 ()假设 则 所以 由()知： 23.设 1 ， 2 是方阵 A 的特征根， 1 2 ， 1 ， r 是 A 的对应于 1 的线性无关的特征向量， 1 ， s 是 A 的对应于 2 的线性无关的特征向量，证明 1 ，
20、r ， 1 ， s 线性无关 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由题设知：A i = 1 i (i=1，2，r)，A j = 2 j (j=1，2，s) 假设 1 ， r ， 1 ， s ，线性相关，则存在 r+s 个不全为零的常数 k 1 k r ，k r+1 k r+s ，使得 k 1 1 +k r r +k r+1 1 +k r+s s =0 成立 两边同乘以 A，得 A(k 1 ， 1 +k r r )+A(k r+1 1 +k r+s s )=0 于是 1 (k 1 1 +k r r )+ 2 (k r+1 +k r+s s )=0， 所以 1 (k 1 1 +k r r )- 2 (k 1 1 +k r r )=0， 所以( 1 - 2 )(k1 1 +k r r )=0 又因为 1 2 ，所以 k 1 1 +k r r =0 因为 1 ， 2 ， r 线性无关，所以 k 1 =k 2 =k r =0， 所以 k r+1 1 +k r+s s =0 因为 1 ， 2 ，s 线性无关，所以 k r+1 =k r+2 =k r+s =0 与假设矛盾 即 1 ， r ， 1 ， s 线性无关
