1、考研数学二-167 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设矩阵 ，则下列矩阵中与 A 相似的为（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A、B 均为 n 阶矩阵，且(AB) 2=E，则下列命题中不正确的是（分数：4.00）A.() 2=EB. -1=C.r()=r()D. -1=3.设 f(x)在(-，+)内可导，且对任意 x1，x 2，当 x2x 1时，都有 f(x2)-f(x1)0，则正确的结论是（分数：4.00）A.对任意 x，f(x)0B.对任意 x，f(-x)0C.函数-f(-x)单调增加D.函数 f(-x)单调增加4.
2、累次积分 可写成（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，则 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在的充要条件是（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 y=g(x)由方程 y=f(x2+y2)+f(x+y)确定，且 y(0)=2，其中 f(x)是可导函数，且 ，则 y(0)等于（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1
3、:_10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_11.交换积分顺序 （分数：4.00）填空项 1:_12.由拉格朗日中值定理有 ex-1=xex(x) ，其中 0(x)1，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=f(x)二阶可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.x表示不超过 z 的最大整数，试确定常数 a 的值，使（分数：10.00）_16.设 (x)在0，1上具有连续导数，且 (0)=0，(1)=1，证明： （分数：11.00）_17.设 f(x)在区间-1，1上有三阶连续导数，证明：存在
4、实数 (-1，1)，使得（分数：10.00）_18.计算 （分数：10.00）_19.设有微分方程(x2lnx)y“-xy+y=0() 验证 y1=x 是微分方程的一个解；() 利用变量代换 y=xu，化简微分方程(x 2lnx)y“-xy+y=0，求出其另一解；并求微分方程(x 2lnx)y“-xy+y=0 的通解（分数：11.00）_20.设 f(x)为单调可导函数，其反函数为 g(x)，且已知 f(1)=2， （分数：10.00）_21.计算二重积分 （分数：10.00）_22.已知列向量组 1， 2， a线性无关，列向量组 1， 2， t可由 1， 2， s线性表示，且（分数：11.0
5、0）_23.设 （分数：11.00）_考研数学二-167 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设矩阵 ，则下列矩阵中与 A 相似的为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 A 的特征值为 1= 2=1， 3=2，又 r(E-A)=1，故 A 可对角化，即相似于对角阵*类似讨论可知只有(A)中矩阵可对角化为 ，即与 A 相似因此选(A)2.设 A、B 均为 n 阶矩阵，且(AB) 2=E，则下列命题中不正确的是（分数：4.00）A.() 2=EB. -1= C.r()=r()D. -1=解析：详解 由于(AB) 2=E，知 A
6、BAB=E，又因 A、B 均为 n 阶矩阵，故 A、B 均可逆，那么 r(A)=r(B)=n，即(C)正确，且 A-1=BAB，即(D)正确右乘 A 得知(A)正确由于(AB) 2=E 不能推出 AB=E，故 A-1=B 不一定正确例如*3.设 f(x)在(-，+)内可导，且对任意 x1，x 2，当 x2x 1时，都有 f(x2)-f(x1)0，则正确的结论是（分数：4.00）A.对任意 x，f(x)0B.对任意 x，f(-x)0C.函数-f(-x)单调增加 D.函数 f(-x)单调增加解析：详解 因为 f(x)在(-，+)内可导，又对任意 x2x 1，均有 f(x2)f(x 1)，可知 f(
7、x)0，由此可知(A)，(B)不入选令 F(x)=-f(-x)，则 F(x)=-f(-x)(-1)=f(-x)0可知应选(C)分析 利用单调性的定义解题评注 设 f(x)可导，若 f(x)0，则 f(x)单调增加；若 f(x)单调，则 f(x)04.累次积分 可写成（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 *其图形如图 5 所示由图形即可看出*可知应选(D)*分析 先将积分区域 D 用极坐标表示，再转化为用直角坐标表示，然后可表示成直角坐标下的累次积分形式评注 一般都是由直角坐标化为极坐标，反过来，由极坐标转换为直角坐标也应熟悉5.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A
8、.B. C.D.解析：详解 由*，知 f(0)=2，f(0)=0又由*，知在 x=0 的某邻域内*，于是有 f“(x)0，可见在点 x=0 处 f(x)取极小值故应选(B)6.已知函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，则 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在的充要条件是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 因为*所以，f x(0，0)与 fy(0，0)存在的充要条件是极限*与*存在且都等于零因此，当 g(x，y)在点(0，0)处连续，且 g(0，0)=0 时，有*即*故应选(D)分析 因为 f(x，y)含有绝对值，已知只给出
9、g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，所以，利用偏导数定义讨论偏导数的存在性评注 本题考查二元函数偏导数、极限、连续的概念，反之则不然7.设 y=g(x)由方程 y=f(x2+y2)+f(x+y)确定，且 y(0)=2，其中 f(x)是可导函数，且 ，则 y(0)等于（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 方程 y=f(x2+y2)+f(x+y)的两边对 x 求导，得y=f(x2+y2)(2x+2yy)+f(x+y)(1+y)令 x=0，得y(0)=f(22)(20+22y(0)+f(2)(1+y(0)于是 y(0)=4y(0)f(4)+f(2)(1+y(0)因为*，所以*则有*
10、，故应选(B)8.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 *于是*故应选(A)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *故所求切线斜率为：*分析 按参数方程求导即可，注意 x=0 时，t=011.交换积分顺序 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 D=D 1+D2，其中*分析 由原积分限确定积分区域，然后再化为先 x 后 y 的积分顺序评注 交换积分顺序问题一般应先确定积分区域，再换为另一积分顺序12.由拉格朗日中
11、值定理有 ex-1=xex(x) ，其中 0(x)1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 由 ex-1=xex(x) ，解出*，于是*13.设 y=f(x)二阶可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：详解 由*，令其为零，考虑到 y0，y=3，解得 =314.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a=21，b=-20）解析：详解 因*，于是，B=A+E，B 3=(A+E)3=A3+3A+E，而*故 B3=21A+E=21(B-E)+E=21B-20E，从而得 a=21，b=-20三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.
12、x表示不超过 z 的最大整数，试确定常数 a 的值，使（分数：10.00）_正确答案：(详解 因为*可见 a=-2 时，原极限存在，且原极限=2)解析：16.设 (x)在0，1上具有连续导数，且 (0)=0，(1)=1，证明： （分数：11.00）_正确答案：(详解 因为 (x)-(x)=e xe-x(x)，所以*)解析：17.设 f(x)在区间-1，1上有三阶连续导数，证明：存在实数 (-1，1)，使得（分数：10.00）_正确答案：(详解 将 f(x)在 x=0 处按泰勒公式展开，有*，其中 在 0 与 x 之间令 x 分别为 1，-1，得*其中 1(-1，0)， 2(0，1)上述两式相减
13、得*由 f“(x)在 1， 2上连续，不妨设 f“(x)在 1， 2上的最大值、最小值分别为 M，m，则*根据介值定理，存在 1， 2*(-1，1)，使得*于是 *，即存在 (-1，1)，使得*)解析：18.计算 （分数：10.00）_解析：19.设有微分方程(x2lnx)y“-xy+y=0() 验证 y1=x 是微分方程的一个解；() 利用变量代换 y=xu，化简微分方程(x 2lnx)y“-xy+y=0，求出其另一解；并求微分方程(x 2lnx)y“-xy+y=0 的通解（分数：11.00）_正确答案：(详解 () 因为 y1=x，y 1=1，y“ 1=0，代入(x 2lnx)y“-xy+
14、y=0 后显然满足，可见 y1=x 是微分方程的一个解() 设 y=xu，求出其一阶、二阶导数后代入微分方程，有(x2lnx)(xu“+2u)-x(xu+u)+xu=0，即 (x 3lnx)u“+x2(2lnx-1)u=0令 p=u，化简后得*由分离变量法解得*(取一个解即可)故 *从而方程有另一解为 y2=lnx+1故微分方程的通解为 y=C1x+C2(lnx+1)解析：20.设 f(x)为单调可导函数，其反函数为 g(x)，且已知 f(1)=2， （分数：10.00）_正确答案：(详解 令 y=g(x)，则 x=f(y)=fg(x)两边对 x 求导，得1=f(y)g(x)，当 x=2 时，
15、由 f(1)=2 知 y=1于是有1=f(1)g(2)，即*对 1=f(y)g(x)两边再关于 x 求导，得0=f“(y)g(x)2+f(y)g“(x)，即 0=f“(1)g(2)2+f(1)g“(2)，解得*)解析：21.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(详解 *令 x=tant，可得*在 I1的第二项积分中，令*，得到*于是*评注 由于积分限均为常数，上述累次积分实际上是两个定积分的乘积)解析：22.已知列向量组 1， 2， a线性无关，列向量组 1， 2， t可由 1， 2， s线性表示，且（分数：11.00）_正确答案：(详解 由题设，有*其中矩阵 C 的第 j 列是 j
16、由 1， 2， s线性表示的表示系数(j=1，2，t)必要性 因为 1， 2， t线性相关，所以存在不全为零的数 x1，x 2，x t，使x1 1+x22+x t t=0，记作*其中 x=(x1，x 2，x t)T0于是有( 1， 2， t)x=( 1， 2， s)Cx=0，因向量组 1， 2， s线性无关，故上式中 1， 2， s的组合系数 Cx 只能为零，即Cx=0又 x0，即上述齐次线性方程组有非零解，因此矩阵 C 的秩 r(C)t充分性 因为 r(C)t，因此存在 x0，使 Cx=0，因而有( 1， 2， t)x=( 1， 2， s)Cx=( 1， 2， s)0=0，记 x=(x 1，
17、x 2，x t)T，则上式为x1 1+x2 2+xt t=0，其中 x1，x 2，x t不全为零，故向量组 1， 2， t线性相关评注 若 ts，则 r(C)t，因此 1， 2， t必线性相关；若 t=s，则 1， 2， t线性相关的充分必要条件为矩阵 C 的行列式|C|=0)解析：23.设 （分数：11.00）_正确答案：(详解 *于是 A 的 3 个特征值为 1=1-a， 2=a， 3=1+a() 当 a0，且*时，A 有 3 个不同特征值，故 A 可以对角化，且可对角化为*() 当 a=0 时， 1=1， 2=0， 3=1，此时 A 有二重特征值 1，而 r(E-A)=2， 1= 3=1 仅对应 1 个线性无关的特征向量，故此时 A 不可对角化() 当*，此时 A 有二重特征值*=*仅对应 1 个线性无关的特征向量，故此时 A 不可对角化)解析：
