1、考研数学二-202 及答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x时， 是 （分数：4.00）A.B.C.D.2.若函数 f(x)的导函数是 lnx,则f(x)dx 等于_AB （分数：4.00）A.B.C.D.3.下列反常积分发散的是_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列命题中不正确的是_A若在 D 内，有 ，则 f(x，y)常数B若在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为 0，则 f(x，y)常数C若在 D 内有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数D若在 D
2、内有 （分数：4.00）A.B.C.D.5.在极坐标系内将 (a0)的积分次序交换正确的是_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 P(x)在(-，+)上连续，且以 T 为周期，则 是有解 y=y(x) （分数：4.00）A.B.C.D.7.行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列叙述正确的是_A若两个向量组的秩相等，则此两个向量组等价B若向量组 1， 2， s可由向量组 1， 2， t线性表示，则必有 stC若齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解，则矩阵 A 与 B 的行向量组等价D若向量组 1， 2， s与 2， s均线性相关，则 1必不可由 2， 3， s线
3、性表示（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 u=sin(xy+3z)，其中 z=z(x，y)由方程 yz2-xz3=1 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.质量为 M，长为 L 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a已求得杆对质点 C 的引力（分数：4.00）填空项 1:_12.设 c 为任意常数，以 y=ex2+cx为通解的微分方程为_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 z=f(x+y，xy)=x 2+y2-xy，则 dz=_（分数：4.
4、00）填空项 1:_14.设 A，B 均为三阶方阵， 1=1， 2=2， 3=-2 为 A 的三个特征值，|B|=-3，则行列式|2A*B+B|=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：100.00)15.求 （分数：10.00）_16.设 a，b0，证明存在 (a，b)，使aeb-bea=(1-)e (a-b)（分数：10.00）_17.设(1)f(x)在a，b(a0)上有连续的非负导数，且 f(a)=1；(2)对任意 xa，b，在曲线 y=f(x)上从 a 到 x 这一段的弧长 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)在(0，+)内连续， ，且对所有 x，t(0
5、，+)，满足条件 （分数：10.00）_19.解微分方程 y2dx-(y2+2xy-x)dy=0（分数：10.00）_20.作出函数 （分数：10.00）_设函数 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)0（分数：20.00）(1).求证：对任意给定的 x(0xa)，存在 01，使*（分数：10.00）_(2).求极限*（分数：10.00）_21.已知 A，B 为三阶矩阵，且（分数：10.00）_22.设 A 为实对称矩阵，则当 0 且充分小时，E+A 为正定的，又当 r0 且充分大时，A+rE 是正定的，这里的 E 是单位矩阵（分数：10.00）_考研数学二-2
6、02 答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x时， 是 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 用等价无穷小代换求其极限判别之解一 因 ，故仅(C)入选解二 选(C)2.若函数 f(x)的导函数是 lnx,则f(x)dx 等于_AB （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 已知被积函数的导数，这是用分部积分法计算积分的好条件用分部积分法求之又 f(x)=lnx，于是f(x)=lnxdx=xlnx-x+c 1，故3.下列反常积分发散的是_ABCD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 首先区分反常积分与定积
7、分，特别要善于鉴别反常积分瑕点存在的隐蔽性。对于有多个瑕点的反常积分要分解为多个单一瑕点的反常积分逐个判断，只有当各个瑕点的单一反常积分都收敛时，该反常积分才收敛，否则发散解一 (A)中反常积分有两个瑕点，要将该积分分解为两个积分讨论：利用 函数即得以上 3 个反常积分均收敛。因而(B)中反常积分发散仅(B)入选解二 而或由 中的 知，该反常积分发散，从而4.设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列命题中不正确的是_A若在 D 内，有 ，则 f(x，y)常数B若在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为 0，则 f(x，y)常数C若在 D 内有 df(x，y)0，则 f(x，y)
8、常数D若在 D 内有 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 大家知道，在区域 D 内 在 D 内任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为 常数，因此(A)、(B)、(C)正确，仅需考察(D)在极坐标变换 x=rcos，y=rsin 下，有即这仅能表示 f(x，y)与 r 无关，不能说明 f(x，y)为常数如 ，则5.在极坐标系内将 (a0)的积分次序交换正确的是_ABCD （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因 =acos 表示一个圆调换积分次序，当 由 0 变到 a 时，角从下半圆 变到上半圆 原式6.设 P(x)在(-，+)上连续，且以 T 为周期，则 是有解 y=y
9、(x) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用周期函数的积分性质判别之解一方程(*)的解为 y(x)0 以 T 为周期；则，且 C0又上面用到周期函数的积分的常用性质：对任意 x，有其中 T 为 f(x)的周期，则，仅(C)入选解二利用周期函数的积分的另一性质判别之：以 T 为周期由此性质得到以 T 为周期 以 T 为周期7.行列式 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用行列式性质求之8.下列叙述正确的是_A若两个向量组的秩相等，则此两个向量组等价B若向量组 1， 2， s可由向量组 1， 2， t线性表示，则必有 stC若齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同
10、解，则矩阵 A 与 B 的行向量组等价D若向量组 1， 2， s与 2， s均线性相关，则 1必不可由 2， 3， s线性表示（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 可举反例用排除法求解，也可证明选项(C)正确解一用排除法解之对于(A)，例如则 1的秩与 1的秩相等，但并不等价，可排除(A)；又如可由 线性表示，但 32，可排除(B)；又如则 1， 2， 3， 4与 2， 3， 4均线性相关，且 1可由 2， 3， 4线性表示，可以排除(D)只有(C)为正确答案，仅(C)入选解二 事实上，易证方程组 Ax=0 与 同解，则秩(A)=秩二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分
11、数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用 的几何意义及变量代换法求之解一 原式解二 原式又 而又 10.设 u=sin(xy+3z)，其中 z=z(x，y)由方程 yz2-xz3=1 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先由方程 yz2-xz3=1 求出 ，将其代入 中即可求出 在方程 yz2-xz3=1 两边对 x 求偏导得整理得所以把 代入上式得11.质量为 M，长为 L 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a已求得杆对质点 C 的引力（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：
12、 ）解析：解析 只需将引力在r 0，+)上积分即可以 AB 为 x 轴，近端点为原点，正 x 轴指向 CC 的坐标为 x，则杆对 C 的引力于是，C 从 r0处移至无穷远时，引力做的功12.设 c 为任意常数，以 y=ex2+cx为通解的微分方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xy-ylny=x 2y）解析：解析 直接对通解求导数，得到 y 的一阶导数所满足的方程，即为所求的方程由 y=ex2+cx有lny=x2+cx为消掉常数 c，将上式化为两边对 x 求导得到13.设 z=f(x+y，xy)=x 2+y2-xy，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2
13、xdx-3dy）解析：解析 题目所给的函数不是 f(x，y)，应先求出 f(x，y)，再求 dz应由题设先求 f(x，y)f(x+y，xy)=x 2+y2-xy=(x+y)2-3xy，所以f(x，y)=x 2-3y从而14.设 A，B 均为三阶方阵， 1=1， 2=2， 3=-2 为 A 的三个特征值，|B|=-3，则行列式|2A*B+B|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：|2A *B+B|=|(2A*+E)B|=|2A*+E|B|=105(-3)=-315）解析：解析 利用矩阵行列式等于其特征值之积的结论求之由题设知|A|= 1 2 3=-4，A *的特征值分别为三、解答题(
14、总题数：9，分数：100.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：(先将函数之差化为乘积，再用等价无穷小量代换求之原式根据有界函数乘无穷小仍为无穷小的结论，有)解析：16.设 a，b0，证明存在 (a，b)，使aeb-bea=(1-)e (a-b)（分数：10.00）_正确答案：(将 左边的分子、分母同除 ab，归结证明可用柯西中值定理证之证 设 f(x)=ex/x，g(x)=1/x 显然 f(x)，g(x)在a，b上满足柯西中值定理的条件，故存在 (a，b)，使，即 )解析：17.设(1)f(x)在a，b(a0)上有连续的非负导数，且 f(a)=1；(2)对任意 xa，b，在曲线 y
15、=f(x)上从 a 到 x 这一段的弧长 （分数：10.00）_正确答案：(先由弧长的关系式求出 f(x)的表示式，再由旋转体的计算公式求出其图形绕 x 轴旋转的旋转体体积先求出 f(x)的表示式由曲线弧长公式，有将上式两边对 x 求导，得到，即 f2(x)=1因而 f(x)=1(舍去 f(x)=-1，因题设 f(x)0)，解得f(x)=x+c将 f(a)=1 代入上式得 c=1-a，因而f(x)=x+1-a故所求旋转体体积为)解析：18.设函数 f(x)在(0，+)内连续， ，且对所有 x，t(0，+)，满足条件 （分数：10.00）_正确答案：(先利用变上限积分求导法，在所给方程两边对 x
16、 求导，得到关于 f(x)的一阶微分方程，解之即可求得 f(x)因在上式两端关于 x 求导得令 x=1，得又 ，将其代入上式，有在等式两端再对 t 求导，得又 t(0，+)，即得 ，于是 将 代入上式，得 ，则于是 )解析：19.解微分方程 y2dx-(y2+2xy-x)dy=0（分数：10.00）_正确答案：(可化为以 x 为因变量，y 为自变量的一阶微分方程求之原方程可变形为解此一阶线性方程：)解析：20.作出函数 （分数：10.00）_正确答案：(先求 y得出函数的增减区间及极值，再求出二阶导数找出凹凸区间及拐点，求出其渐近线，画出函数的轮廓图形间断点为 x=-1，而令 y=0，得 x=
17、1，x=-5；令 y“=0，得 x=1铅直渐近线：x=-1(如图所示)解析：设函数 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)0（分数：20.00）(1).求证：对任意给定的 x(0xa)，存在 01，使*（分数：10.00）_正确答案：(设)解析：(2).求极限*（分数：10.00）_正确答案：(利用(1)的结果可将等式左端凑成导数定义的形式，然后取极限求之)解析：(1)令则 F(x)在0，x上可微，且 F(0)=0，对 F(x)在0，x上使用拉格朗日中值定理，得到 x(01)，使F(x)-F(0)=F(x)x，即 (2)利用式，令 x0 +，两边分别取极限，左边
18、得到右边得到于是得到因 f(0)0，故21.已知 A，B 为三阶矩阵，且（分数：10.00）_正确答案：(先确定 A 的秩，再确定待定元素 k，最后用基础解系的简便求法求出其基础解系.因秩(B)=2，秩(AB)=1，则秩(A)为不可逆矩阵这是因为：如果 A 为可逆矩阵，则秩(AB)=秩(B)=2这与秩(AB)=1 矛盾，故再由三阶行列式的对角线求法即得|A|=k+2+0-k-0-0=-2k+2=0。故 k=1对 A 施行初等行变换，将 A 化为含最高阶的单位矩阵的矩阵：)解析：22.设 A 为实对称矩阵，则当 0 且充分小时，E+A 为正定的，又当 r0 且充分大时，A+rE 是正定的，这里的 E 是单位矩阵（分数：10.00）_正确答案：(只需证明 A+rE 及 E+A 的特征根全部大于 0 即可(1)显然 E+A 为实对称矩阵。设 A 的特征值为 1， 2， n，则 E+A 的特征根为1+ 1，1+ 2，1+ n因 A 为实对称矩阵，故 1， 2， n为实数当 充分小时，可使 1+ 1，1+ 2，1+ n全部都大于 0，故 E+A 为正定矩阵(2)设 A 的特征根为 1， 2， n，则 A+rE 的特征根为 1+r， 2+r， n+r 因 r0，且 r 充分大时，也可使 1+r， 2+r， n+r 全部大于 0，因而 A+rE 也为正定矩阵)解析：
