1、考研数学二-203 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，又设（分数：4.00）A.B.C.D.2. ( )（分数：4.00）_3.下列反常积分中，收敛的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A 是三阶矩阵，A 的秩 r（分数：4.00）A.=1，则 =0( )(A) 必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.是 A 的一、二、三重特征值都可能5.设 f(x)在a，b上可导，f（分数：4.00）A.(a)0，fB.0则下述命题不正确的是(
2、 )(A) 至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)f(a)(B) 至少存在一点x0(a，b)使 f(x0)f(b)(C) 至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)=0(D) 至少存在一点 x0(n，6)使6.设 A 是 43 矩阵，B 是 34 的非零矩阵，满足 AB=0，其中( )（分数：4.00）A.当 t=3 时，r()=1B.当 t3 时，r()=1C.当 t=3 时，r()=2D.当 t3 时，r()=27.设 D=(x，y)|(x-1) 2+(y-1)22，则 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00
3、)9.设 y=y(x)是由 所确定的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.心形线 r=a(1+cos)(常数 a0)的全长为 1（分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 是三阶实对称阵，有特征值 =3，对应的特征向量为 =1，2，3 T，则二次型在特征向量=1，2，3 T处的值 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.设 f(x)在(-，
4、+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设 f(0)存在且等于 a，(a0)试证明对任意 x，f(x)存在，并求 f(x)（分数：11.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.过坐标原点作曲线 y=ex的切线，该切线与曲线 y=ex以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D()求 D 的面积 A；()求 D 绕直线 x=1 所成旋转体体积 V（分数：10.00）_19.求不定积分 （分数：10.00）_20.设 ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：10.00）_21.已知 （分数：11.00）_（分数：11.
5、00）(1).设 （分数：5.50）_(2).A 是实对称阵，证明：存在实数 k0 时，使得 kE+A 是正定阵（分数：5.50）_设线性齐次方程组 AX=0 为(*)在线性方程组(*)的基础上增添一个方程 2x1+ax2-4x3+bx4=0，得线性齐次方程组BX=0 为（分数：11.00）(1).求方程组(*)的基础解系和通解（分数：5.50）_(2).问 a、b 满足什么条件时，方程组(*)，(*)是同解方程组（分数：5.50）_考研数学二-203 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，
6、又设（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 方法一 用皮亚诺泰勒公式先考虑分母，*将分子，f(x)存 x0=0 按皮亚诺余项勒公式展至 n=3*代入极限式，*所以 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=3选(C)方法二 分母用等价无穷小替换*可见*，不然与极限为 1 矛盾用洛必达法则，*可见，*，不然，上式应为，与等于 1 矛盾可以再用洛必达法则*由题设，上式应为 1，所以 f“(0)=32. ( )（分数：4.00）_解析：分析 将 min1，t 23.下列反常积分中，收敛的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 通过具体计算，对于(C)，*收敛4.
7、设 A 是三阶矩阵，A 的秩 r（分数：4.00）A.=1，则 =0( )(A) 必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.是 A 的一、二、三重特征值都可能解析：分析 r(A)=1，AX=0 至少有两个线性无关的解向量，即对应 =0 至少有两个线性无关特征向量，因特征值的重数对应的线性无关特征向量的个数故 =0 至少是 A 的二重特征值，不可能是一重特征值，但有可能是三重特征值，例如 A=*，r(A)=1，=0 是 A 的三重特征值故 =0 至少是 A 的二重特征值应选(B)5.设 f(x)在a，b上可导，f（分数：4.00）A.(a)0，fB.0则
8、下述命题不正确的是( )(A) 至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)f(a)(B) 至少存在一点x0(a，b)使 f(x0)f(b)(C) 至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)=0(D) 至少存在一点 x0(n，6)使解析：分析 反例如下：f(x)=x 2-1，a，b=-1，1，*，但在(-1，1)内 f(x)0，不存在x0(-1，1)使*6.设 A 是 43 矩阵，B 是 34 的非零矩阵，满足 AB=0，其中( )（分数：4.00）A.当 t=3 时，r()=1B.当 t3 时，r()=1 C.当 t=3 时，r()=2D.当 t3 时，r()=2解析：分析 由题设 AB=0，
9、知 r(A)+r(B)3(3 是 A 的列数或 B 的行数)且 B 是非零矩阵，有 r(B)1，从而有 1r(B)3-r(A)又*当 t=3 时，r(A)=1，故 1r(B)2r(B)=1 或 r(B)=2，故(A)，(C)不成立当 t3 时，r(A)=2，故 1r(B)1，故 r(B)=1故应选(B)7.设 D=(x，y)|(x-1) 2+(y-1)22，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 方法 1 在极坐标系中，(x-1) 2+(y-1)2=2 化为 r=2(cos+sin)=*选(C)方法 2 用直角坐标*8.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *同理 f
10、 y(0，0)=0取 y=kx，*随 k 而异，所以极限不存在，故不连续二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)是由 所确定的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *以 t=0 代入，得 x=3，y=1，y t=e，得*如上10.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xe 1-x）解析：分析 此为一阶齐次方程命 y=ux，有*，原方程化为*得 ln|lnu-1|=ln|C 1x|，去掉对数记号及绝对值号，得*，以 u|x=1=1 代入，得 C1=-1，u=e 1-x，原方程的解 y=xe1-x11.心形线 r=a(1+c
11、os)(常数 a0)的全长为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：8a）解析：分析 *12.设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(2x-y)dx-xdy）解析：分析 设 xy=u，*，有*，y 2=uv*即 f(x，y)=x 2-xy所以 dz=(2x-y)dx-xdy13.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *其中，前一项由洛必达法则：*后一项：*所以原式=*14.设 A 是三阶实对称阵，有特征值 =3，对应的特征向量为 =1，2，3 T，则二次型在特征向量=1，2，3 T处的值 （分数：4.0
12、0）填空项 1:_ （正确答案：42）解析：分析 由题设知*，故*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：(*其中 sinxtanx，上式的前一项来自拉格朗日中值定理由*，于是有*所以原式=3+3=6以上“等”表示等价无穷小替换，“洛”表示用了洛必达法则)解析：16.设 f(x)在(-，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设 f(0)存在且等于 a，(a0)试证明对任意 x，f(x)存在，并求 f(x)（分数：11.00）_正确答案：(以 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex两
13、边，得 f(0)=0为证明 f(x)存在，用定义，*说明 f(x)存在，且f(x)=f(x)+aex解此一阶线性方程，得*又因 f(0)=0，所以 C=0，得 f(x)=axex)解析：17.计算 （分数：10.00）_正确答案：(用极坐标，*)解析：18.过坐标原点作曲线 y=ex的切线，该切线与曲线 y=ex以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D()求 D 的面积 A；()求 D 绕直线 x=1 所成旋转体体积 V（分数：10.00）_正确答案：(设切点坐标为 P(x0，y 0)，于是曲线 y=ex在点 P 的切线斜率为*切线方程为*它经过点(0，0)，所以*又因*，代
14、入求得 x0=1，从而*，切线方程为 y=ex(1)取水平条为 A 的面积元素，D 的面积*(积分*为反常积分，*来自洛必达法则)(2)D 绕直线 z 一 1 旋转一周所成的旋转体体积微元*从而*)解析：19.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：20.设 ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：10.00）_正确答案：(复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，采用微分形式不变性做方便，由 z=f(x，y)，有dz=f1dx+f2dy由*有*第二式解出 dy代入第一式 dz 表达式中再解出 dz，得*这里设分母不为 0)解析：21.已知 （分数：11.00）_正确答案：(
15、由*有 u(x，y)=x 2+xy+x+(y)，再由*有 x+(y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3，(y)=y3+3y+C于是u(x，y)=x 2+xy+x+y2+3y+C再由 u(0，0)=1 得 C=1，从而 u(x，y)=x 2+xy+y2+x+3y+1再由*解之*得驻点*，且*，所以*为极小值)解析：（分数：11.00）(1).设 （分数：5.50）_正确答案：(*知 A 有特征值 1=0， 2= 3=3kE+A 有特征值 k，k+3，k+3kE+A 正定* k0)解析：(2).A 是实对称阵，证明：存在实数 k0 时，使得 kE+A 是正定阵（分数：5.50）_正确答案：(设
16、A 有特征值 1， 2， n，且 1 2 n，则 kE+A 特征值 k+ 1，k+ n，且 k+ 1k 2+ 2k+ n*即存在 k 是大于零的正数使 kE+A 的特征值全部大于零，kE+A 正定)解析：设线性齐次方程组 AX=0 为(*)在线性方程组(*)的基础上增添一个方程 2x1+ax2-4x3+bx4=0，得线性齐次方程组BX=0 为（分数：11.00）(1).求方程组(*)的基础解系和通解（分数：5.50）_正确答案：(*得方程组(*)的通解为 k(-3，-5，1，0)，k 是任意常数)解析：(2).问 a、b 满足什么条件时，方程组(*)，(*)是同解方程组（分数：5.50）_正确答案：(方法一：(*)(*)是同解方程*(*)的通解满足(*)的第 4 个方程。将通解代入，得 2(-3k)+a(-5k)-4(k)-0=0，-5ak-10kk 是任意常数，故 a=-2故当 a=-2，b 任意时，(*)(*)同解方法二：(*)(*)是同解方程，(*)中新添的第 4 个方程应可由(*)的三个方程线性表出，表达成列向量形式为*因*a=-2，b 任意，(*)中第 4 个方程可由(*)表出，(*)(*)同解)解析：
