1、考研数学二-243 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式 fg(x)=gf(x)成立时，x 的变化范围_（分数：4.00）A.(-，10B.(-，0C.0，+)D.1，+)02.设 z=h(x，y)由方程 e xyz =x+y+z确定，则 h(x，y)在点 P 0 (0，1)的两个偏导数 （分数：4.00）A.分别等于 0和-1B.分别等于-1 和 0C.都等于 0D.都等于-13.设非负函数 f(x)满足条件 f“(x)0， 收敛，则_ A B C D （分数：4.00）A.B
2、.C.D.4.若 F(x)是区间-1，1上 f(x)的一个原函数，则在-1，1上 f(x)_（分数：4.00）A.有界B.无第一类间断点C.可积D.连续5.设函数 f(x)单调，且 f“(0)0若 （分数：4.00）A.f(0)+f“(0)=-1B.f(0)+f“(0)=1C.f(0)+f“(0)=0D.f(0)+f“(0)=26.设 y=y(x)是初值问题 的解，则_ Ax=1 是 y(x)的极大值点，且极限 Bx=1 是 y(x)的极大值点，且极限 Cx=1 是 y(x)的极小值点，且极限 Dx=1 是否为 y(x)的极值点与参数 a有关，且极限 （分数：4.00）A.B.C.D.7.关于
3、 n阶矩阵 A，B 有如下命题： A 和 A T 有相同的特征值 若 AB，则 A，B 有相同的特征值 A，B 是实对称矩阵，则 AB和 BA有相同的特征值 A 是可逆矩阵，则 AB和 BA有相同的特征值 上述正确的个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.48.设 A是 4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是_（分数：4.00）A.AX=0和 A2X=0B.A2X=0和 A3X=0C.A3X=0和 A4X=0D.A4X=0和 A5X=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 0，f(x)在-，上有定义，f(0)=1，且有 （分数：4.00）10.设 （分数：4.00）11
4、.已知 ，则 （分数：4.00）12.二重积分 （分数：4.00）13.若 y(x)满足 （分数：4.00）14.设 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)在全平面 R 2 上有连续的二阶偏导数，并且满足方程 （分数：10.00）_16.求定积分 （分数：10.00）_17.计算累次积分 （分数：10.00）_18.设 （分数：10.00）_19.若 u 0 =0，u 1 =1， ，n=1，2，其中 ， 是正实数，求 （分数：10.00）_设函数集合 ，其中每一函数 f(x)，满足下列条件： f(x)是定义在0，1上的非负函数，且 f(1)=1；
5、 （分数：11.00）(1).证明 中每一函数 f(x)都是单调增加的（分数：5.50）_(2).对所有这一类函数 ，求积分 （分数：5.50）_20.已知曲线 （分数：11.00）_设向量组() 1 =1，2，-1 T ， 2 =1，3，-1 T ， 3 =-1，0，a-2 T ； () 1 =-1，-2，3 T ， 2 =-2，-4，5 T ， 3 =1，b，-1 T ； 记 A= 1 ， 2 ， 2 ，B= 1 ， 2 ， 3 （分数：11.00）(1).问 a，b 为何值时，A，B 等价；a，b 为何值时，A，B 不等价；（分数：5.50）_(2).问 a，b 为何值时，向量组()，(
6、)等价；a，b 为何值时，向量组()，()不等价（分数：5.50）_设 A，B 是 n阶矩阵，证明：（分数：11.00）(1).当 A可逆时，AB 和 BA有相同的特征值；（分数：5.50）_(2).证明 AB和 BA有相同的特征值（分数：5.50）_考研数学二-243 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式 fg(x)=gf(x)成立时，x 的变化范围_（分数：4.00）A.(-，10B.(-，0C.0，+)D.1，+)0 解析：解析 fg(x)=|g(x)|=|x 2 -x|，g
7、f(x)=f 2 (x)-f(x)=|x| 2 -|x|=x 2 -|x| 由 fg(x)=gf(x)，得|x 2 -x|=x 2 -|x| 当 x 2 x，即 x0 或者 x1 时，有 x 2 -x=x 2 -|x|，即 x=|x|，解得 x0 综合得 x1 或 x=0 当 x 2 x，即 1x0 时，x-x 2 =x 2 -x，即 2x=2x 2 ，解得 x=1或 x=0 综上所述，当 x1 或 x=0时，fg(x)=gf(x)2.设 z=h(x，y)由方程 e xyz =x+y+z确定，则 h(x，y)在点 P 0 (0，1)的两个偏导数 （分数：4.00）A.分别等于 0和-1B.分别
8、等于-1 和 0C.都等于 0D.都等于-1 解析：解析 将 x=0，y=1 代入方程 e xyz =x+y+z，得 e 0 =1+z 0 z 0 =0 方程两边对 x取偏导数，得 e xyz (yz+xyz x )=1+z x 将 P 0 (0，1，0)代入上式，得 同理可得 3.设非负函数 f(x)满足条件 f“(x)0， 收敛，则_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 f“(x)0，所以 f(x)为单调递减函数 由于 收敛，则 又当 x0 时， 故 由夹逼定理可知 又当 x1 时，0f(x)xf(x)，从而有 4.若 F(x)是区间-1，1上 f(x)的
9、一个原函数，则在-1，1上 f(x)_（分数：4.00）A.有界B.无第一类间断点 C.可积D.连续解析：解析 F(x)是区间-1，1上 f(x)的一个原函数 对 -1，1，f(x)=F“(x) 选项 B正确，在-1，1上 f(x)一定无第一类间断点，利用微分中值定理，通过反证法证明 研究函数 5.设函数 f(x)单调，且 f“(0)0若 （分数：4.00）A.f(0)+f“(0)=-1B.f(0)+f“(0)=1 C.f(0)+f“(0)=0D.f(0)+f“(0)=2解析：解析 思路一： ，即 ff(0)=f(0) 因为 f(x)单调，则 f(x)在 x=0点某邻域内存在反函数 f -1
10、由此可得 f(0)=f -1 f(0)=0 依题意有 f(0)=0，f“(0)=1，f(0)+f“(0)=1 思路二： 假设 f(x)连续可导，则 6.设 y=y(x)是初值问题 的解，则_ Ax=1 是 y(x)的极大值点，且极限 Bx=1 是 y(x)的极大值点，且极限 Cx=1 是 y(x)的极小值点，且极限 Dx=1 是否为 y(x)的极值点与参数 a有关，且极限 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 y(x)是方程 的解 由 y“(1)=0知 x=1是 y(x)的一个驻点 又 y“(1)=(e x-1 -2y“-ay)| x=1 =0，所以 x=1是 y(x)的极小点
11、 7.关于 n阶矩阵 A，B 有如下命题： A 和 A T 有相同的特征值 若 AB，则 A，B 有相同的特征值 A，B 是实对称矩阵，则 AB和 BA有相同的特征值 A 是可逆矩阵，则 AB和 BA有相同的特征值 上述正确的个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 对于，|E-A|=|(E-A) T |=|E-A T | 8.设 A是 4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是_（分数：4.00）A.AX=0和 A2X=0B.A2X=0和 A3X=0C.A3X=0和 A4X=0D.A4X=0和 A5X=0 解析：解析 显然，由 A i X=0，两边左乘 A，得 A i+
12、1 X=0，i=1，2，3，4 反之，若 A i+1 X=0，是否有 A i X=0 对于选项 A，取 ，A 2 =0，取 X=0，0，0，1 T ，则 A 2 X=0X=0，但 ，故选项 A不是同解方程组 对于选项 B，取 ，A 3 =0，取 X=0，0，0，1 T ，则 A 3 X=0，但 ，故选项 B不是同解方程组 对于选项 C，取 ，A 4 =0，取 X=0，0，0，1 T ，则 A 4 X=0，但 ，故选项 C不是同解方程组 由排除法知，应选择 D 对于选项 D，易知 A 4 X=0 A 5 X=0，要证 A 5 X=0 A 4 X=0，用反证法，设 A 5 X=0，而 A 4 X0
13、，因 5个四维向量 X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X必线性相关，存在不全为零的数 k 0 ，k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 使得 k 0 X+k 1 AX+k 2 A 2 X+k 3 A 3 X+k 4 A 4 X=0 (*) 对式(*)两边左乘 A 4 ，得 k 0 A 4 X+k 1 A 5 X+k 2 A 6 X+k 3 A 7 X+k 4 A 8 X=0 k 0 A 4 X=0， 又 A 4 X0 得 k 0 =0将 k 0 =0代入式(*)，再两边左乘 A 3 ，可得 k 1 =0同理可得 k 2 =k 3 =k 4 =0这和 X，AX，A 2 X，A 3 X，A
14、4 X线性相关矛盾，故 A 5 X=0 A 4 X=0(一般的，当 A为 n阶方阵时，有 A n+1 X=0 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 0，f(x)在-，上有定义，f(0)=1，且有 （分数：4.00）解析：1 解析 由已知，得 则 10.设 （分数：4.00）解析： 解析 由已知得 且曲线 y(x)的切线斜率应为 当 x0 时， ，无解 当 x0 时， ，由此得切点为 P(1，ln2) 所求切线方程为 11.已知 ，则 （分数：4.00）解析：0解析 12.二重积分 （分数：4.00）解析： 解析 思路一：在极坐标系下，x=cos，y=sin，则 其中 思路二： 其中
15、 所以 13.若 y(x)满足 （分数：4.00）解析： 解析 因为 得新方程为 ，则 由 y“(0)=0，得 ，则 14.设 （分数：4.00）解析： 解析 由已知得 A可逆，A * =|A|A -1 =-2A -1 故 (A-2E) -1 (A * +E)=(A-2E) -1 (-2A -1 +E)=(A-2E) -1 (A-2E)A -1 =A -1 ， 利用初等变换法求逆： 则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)在全平面 R 2 上有连续的二阶偏导数，并且满足方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 f(-x，x)=-x 2 -f“ 1 (
16、-x，x)+f“ 2 (-x，x)=-2x -f“ 11 (-x，x)+f“ 12 (-x，x)+-f“ 21 (-x，x)+f“ 22 (-x，x)=-2 由已知得 f“ 11 (-x，x)+f“ 22 (-x，x)=0，f“ 12 (-x，x)=f“ 21 (-x，x) 所以 f“ 12 (-x，x)=1 又 f“1(-x，x)=-x，故 -f“ 11 (-x，x)+f“ 12 (-x，x)=-1 16.求定积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 思路一： 思路二： 17.计算累次积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 所给累次积分所对应的二重积分的积分域由 y
17、=x，y=2， 围成 18.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 得到 ，代入方程 得 19.若 u 0 =0，u 1 =1， ，n=1，2，其中 ， 是正实数，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 由 ，得 则 设函数集合 ，其中每一函数 f(x)，满足下列条件： f(x)是定义在0，1上的非负函数，且 f(1)=1； （分数：11.00）(1).证明 中每一函数 f(x)都是单调增加的（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 证明 f(x)是单调增函数，因为 x，x+x0，1，f(x+x)f(x)+f(x) x0，f(x+x)-f(x)f(x)0 (2).对
18、所有这一类函数 ，求积分 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 对 f(x)， x0，1，有 1=fx+(1-x)f(x)+f(1-x)， 从而 而今函数 f 0 (x)x，x0，1，显然 f 0 (x)又 所以有 对所有这一类函数中，积分 的最大取值为 20.已知曲线 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 点(x，y，z)到 xOy面的距离为 d=|z|，故求 C上距离 xOy面的最远点和最近点的坐标，等价于条件极值问题： 构造拉格朗日函数 L(x，y，z，)=z 2 +(x 2 +y 2 -2z 2 )+(x+y+3z-5)， 则 由式得 x=y，代入式有 解得 设向量组
19、() 1 =1，2，-1 T ， 2 =1，3，-1 T ， 3 =-1，0，a-2 T ； () 1 =-1，-2，3 T ， 2 =-2，-4，5 T ， 3 =1，b，-1 T ； 记 A= 1 ， 2 ， 2 ，B= 1 ， 2 ， 3 （分数：11.00）(1).问 a，b 为何值时，A，B 等价；a，b 为何值时，A，B 不等价；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 A，B 等价 r(A)=r(B)，将 A，B 合并成 ，一起作初等行变换，得 (2).问 a，b 为何值时，向量组()，()等价；a，b 为何值时，向量组()，()不等价（分数：5.50）_正确答案：()解析：
20、解析 向量组()，()等价 设 A，B 是 n阶矩阵，证明：（分数：11.00）(1).当 A可逆时，AB 和 BA有相同的特征值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 当 A可逆时，因 A -1 (AB)A=(A -1 A)BA=BA，故 ABBA相似矩阵有相同的特征值，故 AB和 BA有相同的特征值(2).证明 AB和 BA有相同的特征值（分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 思路一：若 AB有特征值 =0，则|AB|=|A|B|=|BA|=0，故 BA也有特征值 =0；若 AB有特征值 0，并设相应的特征向量为 (0)，即 (AB)=，(0) (*) 式(*)左乘 B，得 B(AB)=B (BA)(B)=B，其中 B0，(若 B=0，则由式(*)(AB)=A(B)=0，这和 0 且 0 矛盾)，故 BA也有特征值 0，对应的特征向量为 B，得证 AB和BA有相同的特征值 思路二：AB 有特征值 =0，则|AB|=|A|B|=|BA|=0，故 BA也有特征值 =0； 若 0，则
