1、考研数学二-390 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 在 x=0 处二阶导数存在，则常数 a，b 分别是 Aa=1，b=1. B （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在 x=1 有连续的导数，又 （分数：4.00）A.x=1 是 y=f(x)的拐点B.x=1 是 f(x)的极小值点C.x=1 是 f(x)的极大值点D.x=1 既不是 f(x)的极值点，又不是 f(x)的拐点4.设 f(x)在a，b连续，则下列结论中，正确的有_个 f(x)在a，b的任意子区
2、间，上 则 f(x)0(xa，b)又 则 f(x)=0(xa，b) （分数：4.00）A.0.B.1.C.2.D.3.5.设方程 的全部解均以 为周期，则常数 a 取值为 A1. B-1. C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设积分区域 D=(x，y)|-1x1，-1y1，则二重积分 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 （分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件8.已知 n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t（分数：4.00）A.如秩 r()=r()，则()与()向量组等价B.如
3、秩 r()r()，则()可由()线性表出C.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出D.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）10.曲线 （分数：4.00）11.设 f(x)有连续的一阶导数，f(0)=0，f(a)=1， （分数：4.00）12.设 f(x)有连续的一阶导数且 f(x)0(x0)，g(x)是 f(x)的反函数若 x0 时 （分数：4.00）13.C 1 ，C 2 为任意常数，以 y=(C 1 +C 2 +x 2 )e -2x 为通解的二阶线性常系数方程 y“+py“+qy=f(x)为 1 （分数
4、：4.00）14.3 阶非零实对称矩阵如果将其按合同来分类，则一共有 1 类 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)，f(x)在 x=x 0 都是可导的，又 F(x)=f(x)|g(x)|求证： ()若 g(x 0 )0，则 F(x)在 x=x 0 处可导； ()若 g(x 0 )=0，则 F(x)在 x=x 0 处可导的充要条件是 f(x 0 )=0 或 g“(x 0 )=0.这时必有 F“(x 0 )=0. （分数：10.00）_过原点作曲线 的切线 L，该切线与曲线 （分数：10.00）(1).求切线 L 的方程与该切点处曲线 （分数：5.00）_
5、(2).求 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 V（分数：5.00）_16.求反常积分 （分数：10.00）_(1).设 f(x)在a，b连续，求 （分数：5.00）_(2).设 x0，且 f(x)=x， 求 （分数：5.00）_设 f(t)在1，+)上有连续的二阶导数，且 f(1)=0，f“(1)=1，z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足 （分数：11.00）(1).t(t)的表达式；（分数：5.50）_(2).f(t)在1，+)上的最大值（分数：5.50）_(1).将累次积分 （分数：5.50）_(2). （分数：5.50）_17.设 f(x)在a，b上具有二阶导数，且
6、 f(a)=f(b)=0，f“(a)f“(b)0.证明：至少存在一点(a，b)和 (a，b)，使 f()=0 及 f“()=0. （分数：11.00）_18.已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是四阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T +k(1，-2，4，0) T ，又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 Bx=3 1 +5 2 - 3 的通解 （分数：10.00）_已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，1，0，且 =(1，1，1) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：11.01）(1).求
7、 A 的特征向量；（分数：3.67）_(2).求秩 r(A-E)；（分数：3.67）_(3).如 =(1，3，5) T ，求 A n （分数：3.67）_考研数学二-390 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 首先利用等价无穷小因子替换 于是 为了作变量替换简化计算，再用等价无穷小因子替换 xtanx(x0)然后令 2.设 在 x=0 处二阶导数存在，则常数 a，b 分别是 Aa=1，b=1. B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析一 显然有 即 f(x)
8、在 x=0 连续，现求出 要求 即 a=1，此时 要求 即 因此选 B 解析二 我们考虑分段函数 其中 f 1 (x)和 f 2 (x)均在 x=x 0 邻域 k 阶可导，则 f(x)在分界点 x=x 0 有 k 阶导数的充要条件是 f 1 (x)和 f 2 (x)在 x=x 0 有相同的 k 阶泰勒公式： f 1 (x)=f 2 (x)=a 0 +a 1 (x-x 0 )+a 2 (x-x 0 ) 2 +a k (x-x 0 ) k +o(x-x 0 ) k )(xx 0 ) 把这一结论用于本题：取 x 0 =0， 因此 f(x)在 x=0 时二阶可导 3.设 f(x)在 x=1 有连续的导
9、数，又 （分数：4.00）A.x=1 是 y=f(x)的拐点B.x=1 是 f(x)的极小值点 C.x=1 是 f(x)的极大值点D.x=1 既不是 f(x)的极值点，又不是 f(x)的拐点解析：解析 由所给出的条件，考查 f“(1)与 f“(1)由 f(x)在 x=1 有连续的导数， 又 知 f“(1)=0，且 由 f“(1)=0，f“(1)0 知 x=1 是 f(x)的极小值点应选 B 由条件 知存在 0，当 0|x-1| 时， 有 1x1+ 时，f“(x)0，f(x)单调增加；1-x1 时，f“(x)0，f(x)单调减少，故 x=1 是 f(x)的极小值点特别是，只须假定 f(x)在 x
10、=1 邻域可导，又 4.设 f(x)在a，b连续，则下列结论中，正确的有_个 f(x)在a，b的任意子区间，上 则 f(x)0(xa，b)又 则 f(x)=0(xa，b) （分数：4.00）A.0.B.1.C.2. D.3.解析：解析 我们要逐一分析 结论正确由条件 结论正确由条件 结论错误如图所示，由定积分几何意义知 其中 因此选 C 5.设方程 的全部解均以 为周期，则常数 a 取值为 A1. B-1. C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 一阶线性齐次方程 的全部解为 它们均以 为周期 以 为周期 a+sin 2 t 以 为周期，则 以 为周期 即 因此选 D 由于 它
11、以 为周期 6.设积分区域 D=(x，y)|-1x1，-1y1，则二重积分 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 D 是如图所示的正方形区域，它关于原点对称，用直线 x+y=0 将 D 分成 D 1 与 D 2 (D 1 ，D 2 关于原点对称)， 对(x，y)是偶函数(f(-x，-y)=f(x，y)，于是 D 1 关于 y=x 对称，用直线 y=x 将 D 1 分成 D 11 与 D 12 ，D 1 =D 11 D 12 ， 于是 因此 选 C 7.已知 （分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析
12、由 BC，A(B-C)=O，知齐次方程组 Ax=0 有非零解而 Ax=0 有非零解的充分必要条件是秩r(A)n 因为 8.已知 n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t（分数：4.00）A.如秩 r()=r()，则()与()向量组等价B.如秩 r()r()，则()可由()线性表出C.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出 D.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出解析：解析 因 r(，)=r()，说明()的极大线性无关组也是向量组(，)的极大线性无关组，所以()必可由()线性表出，请举反例说明 A、B、D 均可不正确二、填空题(总题数：6，分数：24.0
13、0)9.曲线 （分数：4.00）解析： 解析 因此拐点的横坐标 10.曲线 （分数：4.00）解析：4 解析 定义域 于是全长 11.设 f(x)有连续的一阶导数，f(0)=0，f(a)=1， （分数：4.00）解析：1 解析 12.设 f(x)有连续的一阶导数且 f(x)0(x0)，g(x)是 f(x)的反函数若 x0 时 （分数：4.00）解析：3 解析 因 x0 时 是无穷小，即 这里 g(f(x)=x， 13.C 1 ，C 2 为任意常数，以 y=(C 1 +C 2 +x 2 )e -2x 为通解的二阶线性常系数方程 y“+py“+qy=f(x)为 1 （分数：4.00）解析：y“+4
14、y“+4y=2e -2x 解析 由通解可知，相应的齐次方程的特征根是：=-2(重根)，特征方程是 (+2) 2 = 2 +4+4=0 微分方程为 y“+4y“+4y=f(x) 将特解 y * =x 2 e -2x 代入 14.3 阶非零实对称矩阵如果将其按合同来分类，则一共有 1 类 （分数：4.00）解析：9 解析 合同 这 9 类是： 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)，f(x)在 x=x 0 都是可导的，又 F(x)=f(x)|g(x)|求证： ()若 g(x 0 )0，则 F(x)在 x=x 0 处可导； ()若 g(x 0 )=0，则 F(x)在 x=x 0
15、 处可导的充要条件是 f(x 0 )=0 或 g“(x 0 )=0.这时必有 F“(x 0 )=0. （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 g(x)连续 连续但 g(x)可导 可导当|g(x)|可导，由可导性运算法则知 F(x)可导，当|g(x)|不可导(或不知是否可导时)，则按定义考察 F(x)的可导性 ()若 (或 g(x 0 )0)，由 g(x)在 x=x 0 连续 当 x(x 0 -，x 0 +)时 g(x)0(或 g(x)0)， 于是 与 g(x)在 x=x 0 有相同的可导性，即|g(x)|在 x=x 0 可导， 从而 F(x)=f(x)|g(x)|在 x=x 0 可导
16、()若 g(x 0 )=0.按定义考察 F(x)在 x=x 0 的可导性 于是要分别考察 因此 f(x 0 )|g“(x 0 )|=-f(x 0 )|g“(x 0 )| 过原点作曲线 的切线 L，该切线与曲线 （分数：10.00）(1).求切线 L 的方程与该切点处曲线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设切线的切点坐标为(x 0 ，y 0 )，则切线的斜率为 所以切线 L 的方程为 其中 因 L 过(0，0)点，把 x=0，y=0 代入上述方程得 x 0 =2，y 0 =e因此所求切线 L 的方程为 切点(2，e)处 的法线方程是 (2).求 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积
17、V（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 解法一：取积分变量为 y，设 轴所围平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积为 V，它是圆锥体， 即 x=2lny(y1，e)，y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 V 2 ，则 V=V 1 -V 2 解法二：取积分变量 x，则 x0，2，设 y 轴，x 轴，x=2 所围平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 x 轴，x=2 所围平面图形绕 Y 轴旋转所得旋转体体积为 V 2 ，则 V=V 1 -V 2 解析 (1)M * (x * ，y * )是曲线 y=f(x)外一点，求曲线 y=f(x)切线使之通过 M * 点的方法是：先
18、求出过曲线上任意点(x 0 ，f(x 0 )处的切线方程 y=f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 ) 然后令 x=x * ，y=y * ，解出 x 0 即可 (2)求切线方程时，一定要考察指定点是否在曲线上，若指定点不在曲线上，需按(1)中方法先求出切点坐标，再求切线方程本题中的切线斜率 因(0，0)不在 16.求反常积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：分析与求解 令 e x +1=t，则 x：0+对应 t：2+，且 x=ln(t-1)，dx= ，从而 转化为求这个有理式的反常积分 方法一 方法二 直接用观察法分解 方法三 用待定系数法分解 其中 A，B，C，D 待定上式
19、可改写为 于是有 t-4=At 2 (t-1)+Bt(t-1)+C(t-1)+Dt 3 在 式中令 t=1 得 D=-3，令 t=0 得 C=4，于是 式可改写成 t-4-4(t-1)+3t 2 =At 2 (t-1)+Bt(t-1) (1).设 f(x)在a，b连续，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 对被积函数含参变量 h 部分，作变量替换(t+h=u)，化为变限积分的情形： 于是 (2).设 x0，且 f(x)=x， 求 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 若 则有 若 则有 因此综合得 设 f(t)在1，+)上有连续的二阶导数，且 f(1)=0，f“(1)=1，z=(
20、x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足 （分数：11.00）(1).t(t)的表达式；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 同理 代入方程 中有 又 z(1)=f(1)=0，由 z“(r)=2rf(r 2 )+r 2 f“(r 2 )2r，及 f“(1)=1 得 z“(1)=2. 解初值问题 方程是可降阶的微分方程求解微分方程有 z(r)=2lnr=lnr 2 又因为 z(r)=r 2 f(r 2 )，所以 所以 (2).f(t)在1，+)上的最大值（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 求 在1，+)上的最大值 所以 f(t)在 t=e 取最大值 最大值为 解析 (1).
21、将累次积分 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 I(a)是二重积分的一个累次积分， 其中 D： 它是半圆域，如图所示，改换极坐标，则 于是 (2). （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 注意 a0 时，ln(1+a 2 )a 2 ，由式及二重积分中值定理得， 使得 其中 D 的面积为 时 2 + 2 0. 17.设 f(x)在a，b上具有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，f“(a)f“(b)0.证明：至少存在一点(a，b)和 (a，b)，使 f()=0 及 f“()=0. （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在a，b上二阶可导，故 f“(x)在a，
22、b上连续不妨设 f“(a)0，f“(b)0，则存在 1 0， 2 0，使 f“(x)0，xa，a+ 1 ，xb- 2 ，b于是 f(x)在这两个区间上单调增加，因此存在 x 1 (a，a+ 1 )，x 2 (b- 2 ，b)，使 f(x 1 )f(a)=0，f(x 2 )f(b)=0，且 x 1 x 2 在区间x 1 ，x 2 上应用零点定理知，存在 使 f()=0. 由于 f(x)在a，b上可导，f(a)=f()=f(b)=0，在a，和，b上分别应用罗尔定理，则存在 1 (a，)， 2 (，b)，使 f“( 1 )=f“( 2 )=0. 再由 f“(x)在a，b上可导，在 1 ， 2 上应用
23、罗尔定理，则存在 18.已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是四阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T +k(1，-2，4，0) T ，又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 Bx=3 1 +5 2 - 3 的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由方程组 Ax= 的解的结构，可知 r(A)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3， 且 1 +2 2 +2 3 + 4 =， 1 -2 2 +4 3 =0. 因为 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )=( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2
24、 +2 3 )，且 1 ， 2 ， 3 线性相关，而知 r(B)=2. 由 知(-1，5，3，0) T 是方程组 Bx=3 1 +5 2 - 3 的一个解 又 已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，1，0，且 =(1，1，1) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：11.01）(1).求 A 的特征向量；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由 A=0=0，知 =(1，1，1) T 是矩阵 A 关于特征值 =0 的特征向量设 A 关于特征值=1 的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有 x 1 +x 2 +x 3 =0 基础解系 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，1) T 是矩阵 A 关于特征值 =1 的线性无关的特征向量 故 A 关 =1 的特征向量为：k 1 1 +k 2 2 ，k 1 ，k 2 不全为 0， =0 的特征向量为：k，k0.(2).求秩 r(A-E)；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 A 是实对称矩阵必与对角矩阵相似，有 故 (3).如 =(1，3，5) T ，求 A n （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 =，解出
