1、考研数学二-410 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续，但不可偏导B.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微2.设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足： （分数：4.00）A.f(x，y)在 D 取到最小值和最大值B.f(x，y)在 D 内取到最小值但取不到最大值C.f(x，y)在 D 内取到最大值取不到最小值D.f(x，y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值3.设 ，则 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f
2、(x)在 x 0 的邻域内三阶连续可导，且 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.x=x0 为 f(x)的极大值点B.x=x0 为 f(x)的极小值点C.(x0，f(x0)为曲线 y=f(x)的拐点D.(x0，f(x0)不是曲线 y=f(x)的拐点5.设 f(x)连续，则 （分数：4.00）A.0B.f(x+b)C.f(x+b)-f(x+a)D.f(b+y)-f(a+y)6.若 f(x)C1，+)，在1，+)内可导，f(1)0，f“(x)k0，则在(1，+)内 f(x)=0_（分数：4.00）A.至少有一个根B.只有一根C.没有根
3、D.有无根无法确定7.设 A 为三阶矩阵，特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 - 3 ， 2 + 3 ， 3 )，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是_（分数：4.00）A.若 AB=O，则 B=OB.对任意矩阵 B，有 r(AB)=r(B)C.存在 B，使得 BA=ED.对任意矩阵 B，有 r(BA)=r(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 f(1)=2， （分数：4.
4、00）10.f(x)=x 4 ln(1-x)，当 n4 时，f (n) (0)= 1 （分数：4.00）11.已知函数 z=u(x，y)e ax+by ，且 ，若 z=z(x，y)满足方程 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13. （分数：4.00）14.设 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.令 x=cost(0t)将方程(1-x 2 )y“-xy“+y=0 化为 y 关于 t 的微分方程，并求满足 y| x=0 =1，y“| x=0 =2 的解 （分数：10.00）_16.设方程 在变换 下化为 （分数：10.00）_17.求曲线 y=-x 2 +1
5、 上一点 P(x 0 ，y 0 )(其中 x 0 0)，使过 P 点作抛物线的切线，此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小 （分数：10.00）_18.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，在(0，a)内二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：10.00）_19.计算二重积分 （分数：11.00）_20.设 u=f(x 2 +y 2 ，xz)，z=z(x，y)由 e x +e y =e z 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：10.00）_21.求微分方程 y“+y“-2y=xe x +sin 2 x 的通解 （分数：11.00）_22.设 （分数：11.00）_设
6、A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 （分数：11.00）(1).求正交矩阵 Q；（分数：5.50）_(2).求矩阵 A（分数：5.50）_考研数学二-410 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续，但不可偏导B.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微 解析：解析 由 得 f(x，y)在(0，0)处连续， 由 得 f “ x (0，0)=0， 再由 得 ， 即 f(x，y)在(0，0)处可偏导且 f “ x (0，0)=0， 令 ，则 因为 2.设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)
7、在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足： （分数：4.00）A.f(x，y)在 D 取到最小值和最大值B.f(x，y)在 D 内取到最小值但取不到最大值C.f(x，y)在 D 内取到最大值取不到最小值D.f(x，y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值 解析：解析 对区域 D 内任意一点(x，y)， 因为 3.设 ，则 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 得 4.设 f(x)在 x 0 的邻域内三阶连续可导，且 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.x=x0 为 f(x)的极大值点B
8、.x=x0 为 f(x)的极小值点C.(x0，f(x0)为曲线 y=f(x)的拐点 D.(x0，f(x0)不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由极限的保号性，存在 0，当 0|x-x 0 | 时， 5.设 f(x)连续，则 （分数：4.00）A.0B.f(x+b)C.f(x+b)-f(x+a) D.f(b+y)-f(a+y)解析：解析 则 6.若 f(x)C1，+)，在1，+)内可导，f(1)0，f“(x)k0，则在(1，+)内 f(x)=0_（分数：4.00）A.至少有一个根B.只有一根 C.没有根D.有无根无法确定解析：解析 当 x1 时，由 f(x)-f(1)=f“()(x-1)k(
9、x-1)得 f(x)f(1)+k(x-1)，于是 7.设 A 为三阶矩阵，特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 - 3 ， 2 + 3 ， 3 )，则 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 A*的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ， 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 得 8.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是_（分数：4.00）A.若 AB=O，则 B=OB.对任意矩阵 B，有 r(AB)=r(B)C.存在 B，使得 BA=E
10、D.对任意矩阵 B，有 r(BA)=r(B) 解析：解析 因为 r(A)=n，所以方程组 AX=0 只有零解，而由 AB=O 得 B 的列向量为方程组 AX=0 的解，故若 AB=O，则 B=O； 令 BX=0，ABX=0 为两个方程组，显然若 BX=0，则 ABX=0，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=n，所以方程组AX=0 只有零解，于是 BX=0，即方程组 BX=0 与 ABX=0 为同解方程组，故 r(AB)=r(B)； 因为 r(A)=n，所以 A 经过有限次初等行变换化为 ，即存在可逆矩阵 P 使得 ，令 B=(E n O)P，则 BA=E； 令 二、填空题(总题数：6，分数：
11、24.00)9.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 f(1)=2， （分数：4.00）解析：解析 10.f(x)=x 4 ln(1-x)，当 n4 时，f (n) (0)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 设 由 再由麦克劳林公式的唯一性得 ，即 11.已知函数 z=u(x，y)e ax+by ，且 ，若 z=z(x，y)满足方程 （分数：4.00）解析：a=1，b=1 解析 则 12. （分数：4.00）解析： 解析 改变积分次序，得 ， 于是 13. （分数：4.00）解析：解析 14.设 （分数：4.00）解析： 解析 因为 B=AE 12 (2)E 13 ，所以|
12、B|=|A|E 12 (2)|E 13 |=-3， 又因为 B*=|B|B -1 ，所以 ， 故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.令 x=cost(0t)将方程(1-x 2 )y“-xy“+y=0 化为 y 关于 t 的微分方程，并求满足 y| x=0 =1，y“| x=0 =2 的解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 代入原方程得 ，该方程的通解为 y=C 1 cost+C 2 sint， 原方程的通解为 将初始条件 y| x=0 =1，y“| x=0 =2 代入得 C 1 =2，C 2 =1，故特解为 16.设方程 在变换 下化为 （分数：10.00）_正确答案
13、：()解析：解 代入整理得 从而 17.求曲线 y=-x 2 +1 上一点 P(x 0 ，y 0 )(其中 x 0 0)，使过 P 点作抛物线的切线，此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 切线方程为 令 y=0，得切线与 x 轴的交点为 ， 令 x=0，得切线与 y 轴的交点为 1)当 x 0 0 时，因为 ，所以所围成图形面积为 令 因为 ，所以当 时，所围成的面积最小，所求的点为 2)当 x 0 0 时，因为 ，所以所围成的面积为 令 ，得 ， 因为 ，所以当 时，所围成的面积最小，所求点为 18.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f
14、(0)=0，在(0，a)内二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调增加，故 f“()f“(x)， 于是 “(x)0(0xa) 由 得 “(x)0(0xa)， 再由 得 (x)0(0xa)， 于是由 (a)0，故 19.计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 20.设 u=f(x 2 +y 2 ，xz)，z=z(x，y)由 e x +e y =e z 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 e x +e y =e z 得 再由 u=f(x 2 +y
15、2 ，xz)得 ， 21.求微分方程 y“+y“-2y=xe x +sin 2 x 的通解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +-2=0， 特征值为 1 =-2， 2 =1，y“+y“-2y=0 的通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e x . 设 y“+y“-2y=xe x (*) y“+y“-2y=sin 2 x (*) 令(*)的特解为 y 1 (x)=(ax 2 +bx)e x ，代入(*)得 由 y“+y“-2y=sin 2 x 得 ， 显然 有特解 对 ，令其特解为 y=Acos2x+Bsin2x，代入得 则 ，所以原方程的通解为 22.设 （分数
16、：11.00）_正确答案：()解析：解 情形一：a0 当 a0 且 a-b+10 时，方程组有唯一解； 当 a0 且 a-b+1=0；方程组有无数个解， 由 方程组的通解为 情形二：a=0 当 b1 时，方程组无解； 当 b=1 时，方程组有无数个解， 由 方程组的通解为 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 （分数：11.00）(1).求正交矩阵 Q；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 显然 A 的特征为 1 = 2 =-1， 3 =2，A*的特征值为 1 = 2 =-2， 3 =1 因为 为 A*的属于特征值 3 =1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值 3 =2 的特征向量，令= 3 . 令 A 的属于特征值 1 = 2 =-1 的特征向量为 ，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以-x 1 -x 2 +x 3 =0，则 A 的属于特征值 1 = 2 =-1 的线性无关的特征向量为 令 (2).求矩阵 A（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由
