1、考研数学二-413 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：27，分数：100.00)1.证明：当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 . （分数：3.00）_2.当 x0 时，证明： （分数：3.00）_3.设 0ab，证明： （分数：3.00）_4.求由方程 x 2 +y 2 -xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值. （分数：3.00）_5.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f(1)=f“(1)=0.证明：方程 f“(x)-f(x)=0 在(0，1)内有根. （分数：3.00）_6.设
2、f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20? （分数：3.00）_7.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=-2，f“(0)=1，f“(x)0.证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根. （分数：3.00）_设 f n (x)=x+x 2 +x n (n2).（分数：6.00）(1).证明方程 f n (x)=1 有唯一的正根 x n ；（分数：3.00）_(2).求 （分数：3.00）_8.设 a0，讨论方程 ae x =x 3 根的个数. （分数：3.00）_9.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 -3x+k=0 根的个
3、数. （分数：3.00）_10.设 k 为常数，方程 （分数：3.00）_11.设 f(x)在-1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f“(0)=0，f“(0)=4.求 （分数：3.00）_12.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0.曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：3.00）_设函数 （分数：9.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：3.00）_(2).求 f“(x)；（分数：3.00）_(3).讨论 f“(x)在 x=0 处的连续性.（分数：3.00
4、）_13.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“+(a)f“-(b)0.证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0. （分数：3.00）_14.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 （分数：3.00）_15.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b). 证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：3.00）_16.设函数 y=f(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y). （分数：3.00）_17.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （
5、分数：3.00）_18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0.证明：存在 (0，1)，使得 f“()= （分数：3.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分数：3.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 （分数：12.00）(1).存在 c(a，b)，使得 f(c)=0；（分数：3.00）_(2).存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f“( i )+f( i )=0(i=1，2)；（分数：3.00）_(3).存在 (a，b)
6、，使得 f“()=f()；（分数：3.00）_(4).存在 (a，b)，使得 f“()-3f“()+2f()=0.（分数：3.00）_20.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a 2 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0.证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：3.00）_21.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f“(x+h)h(01).证明： （分数：3.00）_22.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0.证明：存在 0，1，使得 （分数：3.00）_23.求
7、 （分数：3.00）_24.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值. （分数：4.00）_考研数学二-413 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：27，分数：100.00)1.证明：当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 . （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=(x 2 -1)lnx-(x-1) 2 ，(1)=0. 则 故 x=1 为 “(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 “(1)=20，故“(x)0(x0) 由 得 2.当 x0 时，证明： （分数：
8、3.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 对 因为 所以 ，从而 f“(x)0(x0) 由 得 f(x)f(0)=0(x0)，即 方法二 令 显然 f(0)=0，F(0)=0. 由柯西中值定理，存在 (0，x)，使得 令 由 得 当 时，f“(x)0；当 时，f“(0)0，则 为 (x)在(0，+)内的最大值点，最大值为 所以 3.设 0ab，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 首先证明 因为 ，所以令 由 而 ba，所以 (b)0，即 再证 方法一 因为 ，所以令 f(x)=(x 2 +a 2 )(lnx-lna)-2a(x-a)，f(a)=0， 由 因为 ba，所
9、以 f(b)f(a)=0，即 方法二 令 f(x)=lnx，则存在 (a，b)，使得 ，其中 0ab，则 所以 4.求由方程 x 2 +y 2 -xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 根据隐函数求导数法，得 令 得 y=2x，再将 y=2x 代入原方程得 函数值为 将 代入 y“得 所以 为函数的极大值点，且极大值为 5.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f(1)=f“(1)=0.证明：方程 f“(x)-f(x)=0 在(0，1)内有根. （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=
10、e -x f(x)+f“(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 “(c)=0， 而 “(x)=e -x f“(x)-f(x)且 e -x 0，所以方程 f“(c)-f(c)=0 在(0，1)内有根6.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20? （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(x)20 等价于 A20x 3 -3 x5， 令 (x)=20x 3 -3x 5 ，由 “(x)=60x 2 -15x 4 =0，得 x=2， “(x)=120x-60x 3 ，因为 “(2)=-2400，所以 x=2
11、 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20.7.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=-2，f“(0)=1，f“(x)0.证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根. （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调不减，当 x0 时，f“(x)f“(0)=1. 当 x0 时，f(x)-f(0)=f“()x，从而 f(x)f(0)+x，因为 所以 由 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)=-20， 设 f n (x)=x+x 2 +x n (n2).（分数：6.00）(1).证明方程 f n (
12、x)=1 有唯一的正根 x n ；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 n (x)=f n (x)=1，因为 n (0)=-10， n (1)=n-10，所以 n (x)在(0，1) (2).求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 f n (x n )-f n+1 (x n+1 )=0，得 从而 x n x n+1 ，所以 单调减少，又 x n 0(n-1，2，)，故 存在，设 显然 Ax n x 1 =1，由 得 两边求极限得 ，解得 8.设 a0，讨论方程 ae x =x 3 根的个数. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ae x =x 2 等价于 x 2
13、 e-x-a=0. 令 f(x)=x 2 e -x -a，由 f“(x)=(2x-x 2 )e -x =0 得 x=0，x=2. 当 x0 时，f“(x)0；当 0x2 时，f“(x)0；当 x2 时，f“(x)0， 于是 x=0 为极小点，极小值为 f(0)=-a0；x=2 为极大点，极大值为 又 (1)当 ，即 时，方程有三个根； (2)当 即 时，方程有两个根 (3)当 即 9.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 -3x+k=0 根的个数. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 10.设 k 为常数，方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 (1)若 k0，由
14、 所以原方程在(0，+)内恰有一个实根； (2)若 k=0， 所以原方程也恰有一个实根； (3)若 k0， 又 所以 为 f(x)的最大值，令 得 ，所以 k 的取值范围是 11.设 f(x)在-1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f“(0)=0，f“(0)=4.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 对 x0，有 ，同理 12.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0.曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的
15、切线方程为 Y-f(x)=f“(x)(X-x)， 令 Y=得 由泰勒公式得 于是 设函数 （分数：9.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (2).求 f“(x)；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， 而 所以 (3).讨论 f“(x)在 x=0 处的连续性.（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 13.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“+(a)f“-(b)0.证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0. （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 不妨设 f“ + (a
16、)0，f“ - (b)0，根据极限的保号性，由 则存在 0(b-a)，当 0x-a 时， 14.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 先作一个函数 P(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，使得 则 令 g(x)=f(x)-P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c 1 (0，1)，c 2 (1，2)，使得 g“(c 1 )=g“(1)=g“(c 2 )=0，又存在 d 1 (c 1 ，1)，d 2 (1，c 2 )使得 g“(d 1 )=g“(d 2 )=0，再由罗尔定理，存在 (d
17、1 ，d 2 ) (0，2)，使得 g“()=0，而 g“(x)=f“(x)-2，所以 f“()=2. 方法二 由泰勒公式，得 两式相减，得 15.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b). 证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)， 所以 f(a)=aa+ha+(n-1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性， 存在 ac 1 c 2 c n-1 b，使得 f(c 1 )=a+h，f(c 2 )=a+2h，
18、f(c n-1 )=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得 f(c 1 )-f(a)=f“( 1 )(c 1 -a)， 1 (a，c 1 )， f(c 2 )-f(c 1 )=f“( 2 )(c 2 -c 1 )， 2 (c 1 ，c 2 )， f(b)-f(c n-1 )=f“( n )(b-c n-1 )， n (c n-1 ，b)， 从而有 16.设函数 y=f(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 于是 17.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在
19、x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由微分中值定理得 f(x)-f(x 0 )=f“()(x-x 0 )，其中 介于 x 0 与 x 之间，则 ，由 得 18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0.证明：存在 (0，1)，使得 f“()= （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=(x-1) 2 f“(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f“(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 “()=0，而 “(x
20、)=2(x-1)f“(x)+(x-1) 2 f“(x)，所以 2(-1)f“()+(-1) 2 f“()=0，整理得 19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在0，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且 所以由 端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 由微分中值定理，存在 (0，c)，(c，1)，使得 整理得 两式相加得 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 （分数：12.00）(1).存在 c(a，b)，使得 f(c)=
21、0；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F“(x)=f(x)故存在 c(a，b)，使得 (2).存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f“( i )+f( i )=0(i=1，2)；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 h(x)=e x f(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h“( 1 )=h“( 2 )=0， 而 h“(x)=e x f“(x)+f(x)且 e x 0，所以 f“( i )+f( i )=0(i=1，2)(3
22、).存在 (a，b)，使得 f“()=f()；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -x f“(x)+f(x)，( 1 )=( 2 )=0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (4).存在 (a，b)，使得 f“()-3f“()+2f()=0.（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 g(x)=e -x f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 g“( 1 )=g“( 2 )=0， 而 g“(x)=e -x f“(x)-f(x)且 e -x 0，所以 f“( 1 )-f( 1 )=0，f“( 2 )
23、-f( 2 )=0. 令 (x)=e -2x f“(x)-f(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) 20.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a 2 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0.证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 当 c=a i (i=1，2，n)时，对任意的 (a 1 ，a n )，结论成立； 设 c 为异于 a 1 ，a 2 ，a n 的数，不妨设 a 1 ca 2 a n 令 构造辅助函数 (x)=f(x)-k(x-
24、a 1 )(x-a 2 )(x-a n )，显然 (x)在a 1 ，a 2 上 n 阶可导，且(a 1 )=(c)=(a 2 )=(a n )=0， 由罗尔定理，存在 使得 在(a 1 ，a 2 )内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n-1) (x)在(a 1 ，a n )内至少有两个不同零点，设为 c 1 ，c 2 (a 1 ，a n )，使得 (n-1) (c 1 )= (n-1) (c 2 )=0， 再由罗尔定理，存在 (c 1 ，c 2 ) (a 1 ，a 2 )，使得 (n) ()=0. 而 (n) (x)=f (n) (x)-n!k，所以 f (n) ()=n!k，从
25、而有 21.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f“(x+h)h(01).证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由泰勒公式得 其中 介于 x 与 x+h 之间 由已知条件得 两边同除以 h，得 而 两边取极限得 ，而 f“(x)0，故 22.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0.证明：存在 0，1，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“(x)在区间0，1上连续，所以 f“(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对f(x)-f(0)=f“(c)x(其 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 由 mf“
26、(c)M 得 即 由介值定理，存在 0，1，使得 23.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 由 得 ，令 f“(x)=0 得 x=e 当 x(0，e)时，f“(x)0；当 x(e，+)时，f“(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大点，于是 的最大项为 因为 所以最大项为 24.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 x 3 -3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 3x 2 -3y-3xy“+3y 2 y“=0， 解得 由 得 因为 y“(-1)=10，所以 x=-1 为极小点，极小值为 y(-1)=1； 因为 ，所以 为极大点，极大值为
