1、考研数学二-442 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：10.00)1.微分方程 y“-y=e x +1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数)_. A.aex+b B.axex+b C.aex+bx D.axex+bx（分数：5.00）A.B.C.D.2.在下列微分方程中以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是_.（分数：5.00）A.y“+y“-4y“-4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“-y“-4y“+4y=0D.y“-y“+4y“-4y=0二、解
2、答题(总题数：18，分数：90.00)3.设函数 y=y(x)满足 （分数：5.00）_4.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意实数 a，b，都有等式 f(a+b)=e a f(b)+e b f(a)成立，又f“(0)=1，求 f(x) （分数：5.00）_5.设当 u0 时 f(u)一阶连续可导，且 f(1)=0，又二元函数 z=f(e x -e y )满足 （分数：5.00）_6.求微分方程 （分数：5.00）_7.微分方程 （分数：5.00）_8.求微分方程 （分数：5.00）_9.求微分方程 xy“+(1-x)y=e 2x (x0)的满足 （分数：5.00）_10.求微分方程 y
3、“+ycosx=(lnx)e -sinx 的通解 （分数：5.00）_11.求微分方程 （分数：5.00）_12.求微分方程(1-x 2 )y“-xy“=0 的满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的特解 （分数：5.00）_13.已知微分方程 y“+y=f(x)，其中 （分数：5.00）_14.解方程(3x 2 +2)y“=6xy“，已知其解与 e x -1(x0)为等价无穷小 （分数：5.00）_15.求微分方程 yy“+(y“) 2 =0 的满足初始条件 （分数：5.00）_16.设函数 y=y(x)满足微分方程 y“-3y“+2y=2e x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线
4、 y=x 2 -x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(x) （分数：5.00）_17.求微分方程 y“-y=4cosx+e x 的通解 （分数：5.00）_18.设连续函数 f(x)满足： （分数：5.00）_19.设 f(x)二阶可导，且 （分数：5.00）_20.设 满足 （分数：5.00）_考研数学二-442 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：10.00)1.微分方程 y“-y=e x +1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数)_. A.aex+b B.axex+b C.aex+bx D.axex+bx（分数：5.00）A.B.
5、 C.D.解析：解 y“-y=0 的特征方程为 2 -1=0，特征值为 1 =-1， 2 =1， y“-y=e x 的特解形式为 y 1 =axe x ，y“-y=1 的特解形式为 y 2 =b， 故方程 y“-y=e x +1 的特解形式为 y=axe x +b，应选 B2.在下列微分方程中以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是_.（分数：5.00）A.y“+y“-4y“-4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“-y“-4y“+4y=0D.y“-y“+4y“-4y=0 解析：解 因为通解为 y=C 1 e
6、x +C 2 cos2x+C 3 sin2x， 所以特征值为 1 =1， 2，3 =2i， 特征方程为(-1)(-2i)(+2i)=0，整理得 3 - 2 +4-4=0， 对应为微分方程为 y“-y“+4y“-4y=0，应选 D二、解答题(总题数：18，分数：90.00)3.设函数 y=y(x)满足 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 y=y(x)可导且 即 解得 由 y(0)=0 得 故 4.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意实数 a，b，都有等式 f(a+b)=e a f(b)+e b f(a)成立，又f“(0)=1，求 f(x) （分数：5.00）_正确答案：()
7、解析：解 取 a=0，b=0 得 f(0)=0. 通解为 5.设当 u0 时 f(u)一阶连续可导，且 f(1)=0，又二元函数 z=f(e x -e y )满足 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 6.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 令 原方程化为 整理得 积分得 7.微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 原方程化为 变量分离得 8.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 通解为9.求微分方程 xy“+(1-x)y=e 2x (x0)的满足 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原方程化为 由 得 C=-1，故
8、特解为 10.求微分方程 y“+ycosx=(lnx)e -sinx 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 通解为11.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原方程化为 12.求微分方程(1-x 2 )y“-xy“=0 的满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的特解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由(1-x 2 )y“-xy“=0 的 由 y“(0)=1 得 C 1 =1，从而 13.已知微分方程 y“+y=f(x)，其中 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 0x1 时，y“+y=2 的通解为 y=C 1 e -x +2； 当 x
9、1 时，y“+y=0 的通解为 y=C 2 e -x ， 即 由 y(0)=0 得 C 1 =-2，再由 C 1 e -1 +2=C 2 e -1 得 C 2 =2e-2， 故所求的特解为 14.解方程(3x 2 +2)y“=6xy“，已知其解与 e x -1(x0)为等价无穷小 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 从而 y“=C 1 (3x 2 +2)，解得 y=C 1 x 3 +2C 1 x+C 2 ， 因为 C 1 x 3 +2C 1 x+C 2 e x -1x，所以 故所求的解为 15.求微分方程 yy“+(y“) 2 =0 的满足初始条件 （分数：5.00）_正确答案：(
10、)解析：解 由 yy“+(y“) 2 =0 得(yy“)“=0，从而 yy“=C 1 ， 进一步得 于是 由 得 故 16.设函数 y=y(x)满足微分方程 y“-3y“+2y=2e x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x 2 -x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(x) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 -3+2=0，特征值为 1 =1， 2 =2， y“-3y“+2y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 令特解 y 0 =axe x ，代入得 a=-2， 原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x -2xe x 曲线
11、y=x 2 -x+1 在(0，1)处的斜率为 y“| x=0 =-1， 由题意得 y(0)=1，y“(0)=-1，从而 17.求微分方程 y“-y=4cosx+e x 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 -1=0，特征值为 1 =-1， 2 =1， y“-y=0 的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e x ， 令 y“-y=4cosx 的特解为 y 1 =acosx+bsinx，代入得 a=-2，b=0； 令 y“-y=e x 的特解为 y 3 =cxe x ，代入得 特解为 18.设连续函数 f(x)满足： （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 19.设 f(x)二阶可导，且 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 两边求导得 20.设 满足 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 由对称性得 f“(lnr)=r 5 ，从而 f“(t)=e 5t ，
