1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 21 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 y=x+sinx，dy 是 y 在 x=0 点的微分，则当x0 时，( )（分数：2.00）A.dy 与x 相比是等价无穷小量B.dy 与x 相比是同阶无穷小量C.dy 是比x 高阶的无穷小量D.dy 是比x 低阶的无穷小量3.已知 y=y(x)在任意点 x 处的增量 （分数：2.00）A.B.2C.D.4.设 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f”(x)0，x 为自变量
2、 x 在点 x 0 处的增量，y 与 dy 分别为f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则( )（分数：2.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D.dyy05.设 f(x)处处可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.(1)设 y=(1+sinx) x ,则 dy| x= = 1； (2)设 y=y(x)由方程 2 xy =x+y 确定，则 dy| x=0 = 2（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：27，分数：54.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.设曲线 f(x
3、)=x n (n 为正整数)在点(1，1)处的切线与 x 轴相交于点( n ，0)，求 （分数：2.00）_9.曲线的极坐标方程为 r=a(1+cos )，求该曲线上对应于 （分数：2.00）_10.对数螺线 r=e 在(r，)= （分数：2.00）_11.求曲线 （分数：2.00）_12.曲线 （分数：2.00）_13.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)一 3f(1-sinx)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小量，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：
4、2.00）_14.设函数 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)=3，证明至少存在一点，使得 f()=0（分数：2.00）_15.设函数 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，试证在(0，1)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_16.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_17.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明： (1)至少存在一点(0，1)，使得 f()=1； (2)存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：2.00）_
5、18.设 f(x)在a，b(a0)上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明存在 ，(a，b)使（分数：2.00）_19.设函数 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0，如果 存在，证明： (1)f(x)0，x(a，b)； (2)存在 (a，b)，使得 (3)存在与(2)中 不同的 (a，b)，使得f()(b 2 a 2 )= （分数：2.00）_20.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(a)=g(b)=1，f(x)0证明存在，(a，b)，使 （分数：2.00）_21.设函数 f(x)在区间-1，1上有三阶连续导数，且 f
6、(一 1)=0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在(一 1，1)内至少存在一点 ，使得 f“()=3（分数：2.00）_22.设 y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且 f“(x)0，试证：(1)对(-1，1)内的任一 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x)成立；(2) （分数：2.00）_23.设 f(x)在a，+)上连续，在(a，+)内可导，且 f(x)k0(k 为常数)，又 f(a)0，证明方程f(x)=0 在 （分数：2.00）_24.已知 f(x)在(一，+)内可导，且 （分数：2.00）_25.设 a1，n 为正整数，证明： （分数：
7、2.00）_26.设函数 f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数 f(x)在(a，b)内有界时，函数 f(x)在(a，b)内也有界（分数：2.00）_27.设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，f(x)不恒为常数，证明：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()0（分数：2.00）_28.设在区间0，2上，|f(x)|1，|f”(x)|1证明：对于任意的 x0,2，有|f(x)|2（分数：2.00）_29.设 f(x)在(一，+)内二阶可导，且 f”(x)0，f(0)=0，证明：(x)= （分数：2.00）_30.设函数 f(x)在区间0，+)上
8、连续且单调增加，证明 g(x)= （分数：2.00）_31.判断函数 （分数：2.00）_32.求函数 （分数：2.00）_33.设 f(x)= （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 21 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 y=x+sinx，dy 是 y 在 x=0 点的微分，则当x0 时，( )（分数：2.00）A.dy 与x 相比是等价无穷小量B.dy 与x 相比是同阶无穷小量 C.dy 是比x 高阶的无穷小量D.dy
9、是比x 低阶的无穷小量解析：解析： 因为 dy=(1+cosx)x，所以 dy| x=0 =2x，于是 3.已知 y=y(x)在任意点 x 处的增量 （分数：2.00）A. B.2C.D.解析：解析：由已知条件和微分的定义，知 两端积分 ，得 ln |y|=arctan x+C 1 ， 故y=Ce arctanx ，令 x=0，得 C=，从而 y=e arctanx ，即 y(1)=e arctan1 = 4.设 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f”(x)0，x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，y 与 dy 分别为f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则( )（分数：2.0
10、0）A.0dyy B.0ydyC.ydy0D.dyy0解析：解析：由于 f(x)0，故 f(x 0 )0，而 dy=f(x 0 )x，又x0，从而 dy0 又 f”(x)0，从而 f(x)单调递增，而 y=f(x 0 +x)-f(x 0 )=f()x，x 0 x 0 +x，于是y=f()xf(x 0 )x=dy，所以应选(A)5.设 f(x)处处可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：如果令 f(x)=x，则选项(A)、(C)显然不正确 如果令 f(x)=x 2 ，则选项(B)不正确 事实上，如果 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.(1)设 y=(1+sinx
11、) x ,则 dy| x= = 1； (2)设 y=y(x)由方程 2 xy =x+y 确定，则 dy| x=0 = 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1)一 dx (2)(ln 2 一 1)dx）解析：解析： (1)应填一 dx 因为 dy=de xln(1+sinx) =(1+sinx) x dxln(1+sinx)= 三、解答题(总题数：27，分数：54.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.设曲线 f(x)=x n (n 为正整数)在点(1，1)处的切线与 x 轴相交于点( n ，0)，求 （分数：2.00）_正
12、确答案：(正确答案：y=nx n-1 ，y(1)=n，所以曲线 y=x n 在点(1，1)处的切线方程为 y-1=n(x 一1)， )解析：9.曲线的极坐标方程为 r=a(1+cos )，求该曲线上对应于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由直角坐标与极坐标的关系，有 x=a(1+cos)cos，y=a(1+cos)sin ，所以 )解析：10.对数螺线 r=e 在(r，)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对数螺线的参数方程为 可知点 的直角坐标为 ，曲线在该点的切线斜率为 因此所求的切线方程为 )解析：11.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
13、12.曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由公式得切线斜率为 )解析：13.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)一 3f(1-sinx)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小量，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(1+sinx)一 3f(1 一 sin x)=8x+(x)，令 x0，得 f(1)一 3f(1)=0， 故f(1)=0又 )解析：14.设函数 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 f
14、(0)=1，f(1)=0，f(2)=3，证明至少存在一点，使得 f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f(x)在0，2上连续，且 f(1)f(0)f(2)，由介值定理，存在一点 x 0 (1，2)，使 f(x 0 )=f(0)=1，在0，x 0 上，由罗尔定理，至少存在一点 (0，x 0 ) )解析：15.设函数 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，试证在(0，1)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=f(x)一 f(1)-f(0)arctanx，x0，1， 从而 F(x)在0，1上满足罗尔定理条件，故至少存在一点 (0
15、，1)，使 F()=0，即(1+ 2 )f()= )解析：16.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=e f(x) arctanx，x0，1，则 由定积分中值定理，存在 ，即 F(x 0 )=F(1) 显然 F(x)在x 0 ，1上满足罗尔定理条件，故至少存在一点 (x 0 ，1) )解析：17.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明： (1)至少存在一点(0，1)，使得 f()=1； (2)存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：2.00）_正确答
16、案：(正确答案： (1)令 F(x)=f(x)+x 一 1，x0，1，则由已知 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=一 1，F(1)=1 根据介值定理，至少存在一点 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1 一 (2)根据已知条件，对 f(x)在0，1上分别用拉格朗日中值定理，有 将(1)的结论代入，得 )解析：18.设 f(x)在a，b(a0)上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明存在 ，(a，b)使（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 F(x)=x n f(x)，在a，b上应用拉格朗日中值定理，则 (a，b)，使 再对 G(x)=x n 在a，b上应用
17、拉格朗日中值定理，则 (a，b)，使 从而 n n-1 =n n-1 f()+ n f()，即 )解析：19.设函数 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0，如果 存在，证明： (1)f(x)0，x(a，b)； (2)存在 (a，b)，使得 (3)存在与(2)中 不同的 (a，b)，使得f()(b 2 a 2 )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)由于 f(x)在a，b上连续，所以 f(a)= 又 f(x)0，故 f(x)单调递增，对 x(a，b)，有 f(x)f(a)=0 (2)对函数 g(x)=x 2 和 h(x)= a x f(t)dt 在a，b
18、上利用柯西中值定理，存在 (a，b)，使 (3)在a，上由拉格朗日中值定理，存在 (a，)，使得f()=f()( 一 a)，再由(2)的结论可得 f()(b 2 -a 2 )= )解析：20.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(a)=g(b)=1，f(x)0证明存在，(a，b)，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 (x)=e x g(x)和 f(x)在a，b上应用柯西中值定理，则 (a，b)，使 再对 (x)=e x 和 f(x)在a，b上应用柯西中值定理，则 (a，b)，使 )解析：21.设函数 f(x)在区间-1，1上有三阶连续导数，且 f(一
19、1)=0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在(一 1，1)内至少存在一点 ，使得 f“()=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)在 x=0 处展成泰勒公式， 当 x=1 时，有 上面两式相减得 f“( 1 )+f“( 2 )=6 由 f“(x)的连续性知，f“(x)在 2 ， 1 上有最大值 M 和值小值 m，则 再由连续函数的介值定理知，至少存在 2 ， 1 (一 1，1)，使 )解析：22.设 y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且 f“(x)0，试证：(1)对(-1，1)内的任一 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x)成
20、立；(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)对(一 1，1)内任一 x0，由拉格朗日中值定理知， (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x) 因为 f”(x)在(一 1，1)内连续且 f”(x)0，所以 f”(x)在(一 1，1)内不变号，即 f(x)单调，故 (x)是唯一的 (2)再由泰勒公式知，存在介于 0 与 x 之间的 ，使 )解析：23.设 f(x)在a，+)上连续，在(a，+)内可导，且 f(x)k0(k 为常数)，又 f(a)0，证明方程f(x)=0 在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在区间 上对 f(x)应用拉格朗日中值定理，有 由于
21、 f(a)0，f(x)k0，所以 )解析：24.已知 f(x)在(一，+)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由拉格朗日中值定理，有 f(x)-f(x 一 1)=f().1， 介于 x 一 1 与 x之间 当 x时，故 于是，由题设条件可得 )解析：25.设 a1，n 为正整数，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对 f(x)=a x 在 上用拉格朗日中值定理，有 )解析：26.设函数 f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数 f(x)在(a，b)内有界时，函数 f(x)在(a，b)内也有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 0 ，x(
22、a，b)，则 f(x)在以 x 0 ，x 为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件，因此有 f(x)-f(x 0 )=f()(x-x 0 )，其中 介于 x 0 与 x 之间 因为 f(x)在(a，b)内有界，即存在 M 1 0，使|f(x)|M 1 ，x(a，b)，所以 |f(x)|=|f(x)-f(x 0 )+f(x 0 )| |f(x)-f(x 0 )|+|f(x 0 )| |f()(b-a)|+|f(x 0 )| M 1 (b-a)+|f(x 0 )|=M， 即 f(x)在(a，b)内有界)解析：27.设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，f(x)不
23、恒为常数，证明：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，所以至少存在一点 c(a，b)，使 f(c)f(a)=f(b) 不妨设 f(c)f(a)，则在a，c上由拉格朗日中值定理，至少存在一点 (a，c) (a，b)，使得 )解析：28.设在区间0，2上，|f(x)|1，|f”(x)|1证明：对于任意的 x0,2，有|f(x)|2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对于任意的 x0，2，由泰勒公式，有 令 y=0 和 y=2，得 )解析：29.设 f(x)在(一，+)内二阶可导，且 f”(x)0
24、，f(0)=0，证明：(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设函数 f(x)在区间0，+)上连续且单调增加，证明 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 即 g(x)在 x=0 处是右连续的 当 x0 时， )解析：31.判断函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x)的定义域为一，一 1)(0，+)又 )解析：32.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 y=0，得驻点 x=0 和 x=一 1，列表有 即函数的极大值为 )解析：33.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(0)不存在令 f(x)=0，得 f(x)0， 当 由极限的保号性知， )解析：
