1、考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 5及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 y=f(x)可微，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2-x垂直，则 （分数：2.00）A.-1B.0C.1D.不存在3.设曲线 y=x 2 +ax+b和 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)处相切，其中 a，b 是常数，则（分数：2.00）A.a=0，b=2B.a=1，b=-3C.a=-3，b=1D.a=-1，b=
2、-14.设 f(x 0 )0，f(x)在 x=x 0 连续，则 f(x)在 x 0 可导是f(x)在 x 0 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分非必要.B.充分必要.C.必要非充分.D.既非充分也非必要.5.设 f(x)在点 x=x 0 处可导，且 f(x 0 )=0，则 f(x 0 )=0是f(x)在 x 0 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分非必要.B.充分必要.C.必要非充分.D.既非充分也非必要.6.设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)=0是 F(x)在 x=a可导的( )条件（分数：2.00）A.充分必要.B.充分
3、非必要.C.必要非充分.D.既非充分也非必要.7.函数 f(x)=(x 2 -x-2)x 2 -x的不可导点有（分数：2.00）A.3个B.2个C.1个D.0个8.设 f(x+1)=a f(x)总成立，f(0)=b，a1，b1 为非零常数，则 f(x)在点 x=1处（分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(1)=aC.可导且 f(1)=bD.可导且 f(1)=ab二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设 f(x)在 x 0 可微，f(x 0 )0，则x0 时 f(x)在 x=x 0 处的微分与x 比较是 1 无穷小，y=f(x 0 +x)-f(x 0 )
4、与x 比较是 2 无穷小，y-df(x) x=x0 与x比较是 3 无穷小（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_10.设 y=f(lnx)e f(x) ，其中 f(x)可微，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=f(x)可导，且 y0若 y=f(x)二阶可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.对数螺线 r=e 在点(r，)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x)，g(x)均在
5、 x 0 处可导，且 f(x 0 )=g(x 0 )，则f(x 0 )=g(x 0 )； ()若 x(x 0 -，x 0 +)，xx 0 时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x=x 0 处有相同的可导性； ()若存在 x 0 的一个邻域(x 0 -，x 0 +)，使得 x(x 0 -，x 0 +)时 f(x)=g(x)，则(x)与 g(x)在 x 0 处有相同的可导性若可导，则 f(x 0 )=g(x 0 )（分数：2.00）_15.说明下列事实的几何意义： ()函数 f(x)，g(x)在点 x=x 0 处可导，且 f(x 0 )=g(x 0 )f(x 0 )=g(x 0 )；
6、 ()函数 y=f(x)在点 x=x 0 处连续，且有 （分数：2.00）_16.设函数 f(x)在 x=x 0 处存在 f + (x 0 )与 f - (x 0 )，但 f + (x 0 )f - (x 0 )，说明这一事实的几何意义（分数：2.00）_17.设 f(x)存在，求极限 （分数：2.00）_18.设 f(x)在 x=a处可导，且 f(a)=1，f(a)=3，求数列极限 （分数：2.00）_19.求下列函数的导数 y： ()y=arctane x2 ； ()y= （分数：2.00）_20.设 y=(1+x 2 ) arctanx ，求 y（分数：2.00）_21.设 y=f(x)
7、可导，且 y0若已知 y=f(x)的反函数 x=(y)可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式.（分数：2.00）_22.设 a为常数，求 （分数：2.00）_23.()设 e x+y =y确定 y=y(x)，求 y，y； ()设函数 y=f(x+y)，其中 f具有二阶导数，且 f1，求 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.设 f(x)= （分数：2.00）_27.设函数 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f 2 (x)，则 f (n) (x)=_(n2)（分数：2.00）_28.求下列 y (n) ： （分数：2.00）_29.设 y=s
8、in 4 x，求 y (n) （分数：2.00）_30.设 y=x 2 e 2x ，求 y (n) （分数：2.00）_31.求下列函数的导数与微分：()设 y= ，求 dy；()设 y= （分数：2.00）_32.设 y= 0 x e t2 dt+1，求它的反函数 x=(y)的二阶导数 （分数：2.00）_33.设 （分数：2.00）_34.求下列隐函数的微分或导数：()设 ysinx-cos(x-y)=0，求 dy；()设方程 （分数：2.00）_35.设 （分数：2.00）_36.确定常数 a和 b，使得函数 （分数：2.00）_37.已知 y= 1 1 其中 t=t(x)由 确定，求
9、（分数：2.00）_考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 5答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 y=f(x)可微，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2-x垂直，则 （分数：2.00）A.-1B.0 C.1D.不存在解析：解析：由题设可知 f(x 0 )=1，又y-dy=o(x)，dy=f(x 0 )x=x，于是 3.设曲线 y=x 2 +ax+b和 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)
10、处相切，其中 a，b 是常数，则（分数：2.00）A.a=0，b=2B.a=1，b=-3C.a=-3，b=1D.a=-1，b=-1 解析：解析：曲线 y=x 2 +ax+b在点(1，-1)处的斜率 y=(x 2 +ax+b) x=1 =2+a 将方程 2y=-1+xy 3 对 x求导得 2y=y 3 +3xy 2 y由此知，该曲线在(1，-1)处的斜率 y(1)为 2y(1)=(-1) 3 +3y(1)，y(1)=1因这两条曲线在(1，-1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即 2+a=1，a=-1又曲线 y=x 2 +ax+b过点(1，-1)，所以 1+a+b=-1，b=-2-a=-1因此选
11、(D)4.设 f(x 0 )0，f(x)在 x=x 0 连续，则 f(x)在 x 0 可导是f(x)在 x 0 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分非必要.B.充分必要. C.必要非充分.D.既非充分也非必要.解析：解析：由 f(x 0 )0 f(x 0 )0 或 f(x 0 )0，因 f(x)在点 x 0 处连续，则 f(x)在 x 0 某邻域是保号的，即 ，当x-x 0 时， 5.设 f(x)在点 x=x 0 处可导，且 f(x 0 )=0，则 f(x 0 )=0是f(x)在 x 0 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分非必要.B.充分必要. C.必要非充分.D.既非充分也非必
12、要.解析：解析：按定义f(x)在 x 0 可导 存在， 即 均存在且相等 6.设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)=0是 F(x)在 x=a可导的( )条件（分数：2.00）A.充分必要. B.充分非必要.C.必要非充分.D.既非充分也非必要.解析：解析：因为 (a)不存在，所以不能对 g(x)(x)用乘积的求导法则；当 g(a)0 时，若 F(x)在x=a可导，可对 用商的求导法则 ()若 g(a)=0，按定义考察 即 F(a)=g(a)(a) ()再用反证法证明：若 F(a)存在，则必有 g(a)=0若 g(a)0，由商的求导法则即知
13、(x)在 x=a可导，与假设条件 (a)=7.函数 f(x)=(x 2 -x-2)x 2 -x的不可导点有（分数：2.00）A.3个B.2个 C.1个D.0个解析：解析：函数x，x-1，x+1分别仅在 x=0，x=1，x=-1 不可导且它们处处连续 f(x)=(x 2 -x-2)xx-1x+1，只需考察 x=0，1，-1 是否可导 考察 x=0，令 g(x)=(x 2 -x-2)x 2 -1，则 f(x)=g(x)x，g(0)存在，g(0)0，(x)=x在 x=0连续但不可导，故 f(x)在 x=0不可导 考察 x=1，令 g(x)=(x 2 -x-2)x 2 +x，(x)=x-1，则 g(1
14、)存在，g(1)0，(x)在 x=1连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在 x=1不可导 考察 x=-1，令 g(x)=(x 2 -x-2)x 2 -x，(x)=x+1，则 g(-1)存在，g(-1)=0，(x)在 x=-1连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在 x=-1可导因此选(B)8.设 f(x+1)=a f(x)总成立，f(0)=b，a1，b1 为非零常数，则 f(x)在点 x=1处（分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(1)=aC.可导且 f(1)=bD.可导且 f(1)=ab 解析：解析：按定义考察二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.请用等价、同阶、低阶、高
15、阶回答：设 f(x)在 x 0 可微，f(x 0 )0，则x0 时 f(x)在 x=x 0 处的微分与x 比较是 1 无穷小，y=f(x 0 +x)-f(x 0 )与x 比较是 2 无穷小，y-df(x) x=x0 与x比较是 3 无穷小（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：同阶）填空项 1:_ （正确答案：同阶）填空项 1:_ （正确答案：高阶）解析：解析：df(x) x=x0 =f(x 0 )x，由 =f(x 0 )0 知这时 df(x) x=x0 与x 是同阶无穷小量；按定义 10.设 y=f(lnx)e f(x) ，其中 f(x)可微，则 dy= 1（分数：2.00）
16、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e f(x) ）解析：解析：利用一阶微分形式不变性，可得 dy=df(lnx)e f(x) =e f(x) df(lnx)+f(lnx)de f(x) =e f(x) f(lnx)dlnx+f(lnx)e f(x) df(x) =e f(x) 11.设 y=f(x)可导，且 y0若 y=f(x)二阶可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.对数螺线 r=e 在点(r，)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对数螺线的参数方程为 于是它在点 处切线的斜率为 当 = 时x=0，
17、y= 因此该切线方程为三、解答题(总题数：25，分数：50.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x)，g(x)均在 x 0 处可导，且 f(x 0 )=g(x 0 )，则f(x 0 )=g(x 0 )； ()若 x(x 0 -，x 0 +)，xx 0 时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x=x 0 处有相同的可导性； ()若存在 x 0 的一个邻域(x 0 -，x 0 +)，使得 x(x 0 -，x 0 +)时 f(x)=g(x)，则(x)与 g(x)在 x 0 处有相同的可导
18、性若可导，则 f(x 0 )=g(x 0 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关仅有 f(x 0 )=g(x 0 )不能保证 f(x 0 )=g(x 0 )正如曲线 y=f(x)与 y=g(x)可在某处相交但并不相切 ()不正确例如 f(x)=x 2 ，g(x)= 显然，当 xO 时 f(x)=g(x)，但 f(x)在 x=0处可导，而 g(x)在 x=0处不可导(因为 g(x)在 x=0不连续) ()正确由假设可得当 x(x 0 -，x 0 +)，xx 0 时 )解析：15.说明下列事实的几何意义： ()函数
19、f(x)，g(x)在点 x=x 0 处可导，且 f(x 0 )=g(x 0 )f(x 0 )=g(x 0 )； ()函数 y=f(x)在点 x=x 0 处连续，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()曲线 y=f(x)，y=g(x)在公共点 M 0 (x 0 ，f(x 0 )即(x 0 ，g(x 0 )处相切 ()点 x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线 y=f(x)在点 M 0 (x 0 ，f(x 0 )处有垂直于 x轴的切线 x=x 0 (见图 21) )解析：16.设函数 f(x)在 x=x 0 处存在 f + (x 0 )与 f - (x 0 )，但 f + (x 0 )
20、f - (x 0 )，说明这一事实的几何意义（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线在点 M 0 (x 0 ，f(x 0 )处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 y=f(x)的尖点)，见图 22. )解析：17.设 f(x)存在，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按导数定义，将原式改写成 原式 )解析：18.设 f(x)在 x=a处可导，且 f(a)=1，f(a)=3，求数列极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是指数型数列极限，先转化成 其指数是 型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关
21、系及导数定义知 )解析：19.求下列函数的导数 y： ()y=arctane x2 ； ()y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()当 x0 时，由求导法则得 f(x)= ；当 x=0时，由导数定义得 )解析：20.设 y=(1+x 2 ) arctanx ，求 y（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将函数化为 y=e arctanxln(1+x2) ，然后对 x求导即得 y=(1+x 2 ) arctsn arctanxln(1+x 2 )=(1+x 2 ) arctan )解析：21.设 y=f(x)可导，且 y0若已知 y=f(x)的反函数 x=(y)可导，试由复
22、合函数求导法则导出反函数求导公式.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 y=f(x)的反函数是 x=(y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出： 由 y=f(y)，两边对 y求导得 因此 )解析：22.设 a为常数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 继续对 x求导，并注意 t是 x的函数，得 )解析：23.()设 e x+y =y确定 y=y(x)，求 y，y； ()设函数 y=f(x+y)，其中 f具有二阶导数，且 f1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()注意 y是 x的函数，将方程两端对 x求导得 e x+y (1+y)=y，即 y= (这里用方程
23、 e x+y =y化简) 再将 y的表达式对 x求导得 或将 的表达式，同样可求得 ()y=y(x)由方程 f(x+y)-y=0确定，f 为抽象函数，若把 f(x+y)看成 f(u)，而 u=x+y， y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题注意，f(x+y)及其导函数 f(x+y)均是 x的复合函数 将 y=f(x+y)两边对 x求导，并注意 y是 x的函数，f 是关于 x的复合函数，有 y=f.(1+y)，即 y= (其中f=f(x+y) 又由 y=(1+y)f再对 x求导，并注意 y是 x的函数，f即 f(x+y)仍然是关于 x的复合函数，有 y=(1+y)f+(1+y)(f) x
24、 =yf+(1+y)f.(1+y)=yf+(1+y) 2 f， 将 y= 代入并解出 y即得 (其中 f=f(x+y)，f=f(x+y) 或直接由 再对 x求导，同样可求得 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中用到了等价无穷小因子替换： )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 f(1+0)= =f(1)，f(-1-0)= =f(-1)，故 f(x)又可以写成 所以 f + (1)= f - (1)=(arctanx) x=1 = f + (-1)=(arctanx) x=-1 = f - (-1)= 因此 f(1)=f(-1)= )解
25、析：26.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，由求导法则得 f(x)=3x 2 sin 当 x=0时，可用以下两种方法求得 f(0) 显然 =0=f(0)，f(x)在点 x=0处连续，又 因此 f(0)=0 于是 )解析：27.设函数 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f 2 (x)，则 f (n) (x)=_(n2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)=f 2 (x)两边求导得 f(x)=2f(x)f(x)=2f 3 (x)，再求导得 f(x)=3!f 2 (x)f(x)=3!f 4 (x) 由此可归纳证明 f (n) (x)=n!f n
26、+1 (x)解析：28.求下列 y (n) ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 n为奇数时，x n +1可被 x+1整除，x n +1=(x+1)(x n-1 -x n-2 +-x+1) =(x n-1 -x n-2 +-x+1)- y (n) = 当 n为偶数时，x n 除 x+1得 x n =(x+1)(x n-1 -x n-2 +x-1)+1 y= =x n-1 -x n-2 +x-1+ ， y (n) =0+(-1) n ()由于 ，于是 )解析：29.设 y=sin 4 x，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y= (1-2cos2xcos 2
27、 2x)= (1+cos4x)， )解析：30.设 y=x 2 e 2x ，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用莱布尼兹法则并注意(x 2 ) (k) =0(k=3，4，)，(e 2x ) (k) =2 k e 2x ，得 y (n) = C n k (x 2 ) (k) (e 2x ) (n-k) =x 2 (e 2x ) (n) +n(x 2 )(e 2x ) (n-1) + (x 2 )(e 2x )(n-2) =2 n e 2x x 2 +nx+ )解析：31.求下列函数的导数与微分：()设 y= ，求 dy；()设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答
28、案：() ()这是求连乘积的导数，用对数求导法方便因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得 lny=lnx-1+ ln2-x 对 x求导，得 因此 若只求y(1)，用定义最简单利用 y(1)=0可得 )解析：32.设 y= 0 x e t2 dt+1，求它的反函数 x=(y)的二阶导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由变限积分求导法先求得 =e x2 ，再由反函数求导法得 =e -x2 ，最后由复合函数求导法得 =-2xe -x2 .e -x2 =-2xe -2x2 由原方程知 y=1 )解析：33.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，将该式对 x求导，右端先对 t求导
29、再乘上 得 )解析：34.求下列隐函数的微分或导数：()设 ysinx-cos(x-y)=0，求 dy；()设方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用一阶微分形式不变性求得 d(ysinx)-dcos(x-y)=0， 即sinxdy+ycosxdx+sin(x-y)(dx-dy)=0， 整理得sin(x-y)-sinxdy=ycosx+sin(x-y)dx， 故 ()将原方程两边取对数，得等价方程 ln(x 2 +y 2 )=arctan (*) 现将方程两边求微分得 化简得 xdx+ydy=xdy-ydx，即(x-y)dy=(x+y)dx， 由此解得 为求 y，将 y满足的方
30、程(x-y)y=x+y两边再对 x求导，即得 (1-y)y+(x-y)y=1+y 代入 y表达式即得 )解析：35.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是分段函数，分界点 x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即 x0，于是可得 当 x0 时，f(x)= +2cos2x，x=0 处是左导数：f - (0)=2； 当 x0 时， 又 =f(0)，即 f(x)在 x=0右连续 f + (0)=2于是 f(0)=2因此 ()f(x)也是分段函数，x=0 是分界点为讨论 f(x)在 x=0处的可导性，要分别求 f + (0)与 f - (0)同前可得 按定义求 f + (0)，则有
31、)解析：36.确定常数 a和 b，使得函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在 x=0处可导，得 f(x)在 x=0处连续由表达式知，f(x)在 x=0右连续于是，f(x)在 x=0连续 (sinx+2ae x )=2a=f(0) 2a=-2b，即 a+b=0 又 f(x)在 x=0可导 f + (0)=f - (0)在 a+b=0条件下，f(x)可改写成 于是 f + (0)=9arctanx+2b(x-1) 3 x=0 = +6b(x-1)2 2 x=0 =9+6b， f - (0)=(sinx+2ae x ) x=0 =1+2a 因此 f(x)在x=0可导 )解析：37.已知 y= 1 1 其中 t=t(x)由 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由式给出 y=y(t)，由参数式给出 t=t(x)于是 y(t)与 t=t(x)复合的结果 y是 x的函数，由复合函数求导法可得 是变限积分求导，求 是参数式求导 由式得 由得 因此 )解析：
